2022年三角函数图象和性质 .pdf

学习好资料欢迎下载三角函数的基本性质及解题思路1.掌握常用公式的变换。2.明确一般三角函数化简求值的思路。第一部分三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos( +)=cos cos -sin sin cos( - )=cos cos +sin sin sin( )=sincos cos sin tan( +)=(tan +tan )/(1-tantan ) tan( - )=(tan-tan )/(1+tantan 2、倍角公式：sin(2)=2sin cos =2/(tan+cot ) cos(2 )=(cos)2-(sin)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2 )=2tan/(1-tan2) cot(2)=(cot2-1)/(2cot) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsin coscos sinsin22sin cos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2()()，22，222等） 。如：1、已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是 _/3222、02，且129cos()，223sin()，求cos()/4907293、已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为_/23431(1)555yxxx(2) 三角函数名互化( 切割化弦 ) ，如1、求值sin50 (13 tan10 )/1 2、已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2 )的值 /18(3) 公式变形使用（tantantan1tantan。如1、 A、 B为锐角，且满足tantantantan1ABAB， 则c o s ()AB_/222、ABC，33tan Atan Btan Atan B，34sin Acos A， _ 三角形/等边(4) 三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21 cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin) 。如1、若32(,)，化简111122222cos为_/sin22、255 3f( x )sin xcos xcos x532( xR)递增区间51212 k,k( kZ )(5) 式子结构的转化( 对角、函数名、式子结构化同) 。如1、tan(cossin)sintancotcsc /sin2、求证：21tan1 sin212sin1tan22；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3、化简：42212cos2cos22tan()sin ()44xxxx /1cos22x(6) 常值变换主要指“1”的变换 （221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等） 。如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）(7) 正余弦“ 三兄妹 sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”。如1、若sincosxxt，则sincosxx _ （答：212t) ，特别提醒 ：这里2,2t；2、若1(0,),sincos2，求tan的值。 /4733、已知2sin22sin1tank()42，试用k表示sincos的值 /1k（8） 、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由tanba确定 )在求最值、化简时起着重要作用。如（1） 若方程sin3cosxxc有实数解， 则c的取值范围是_. /2,2（2）当函数23ycos xsin x取得最大值时，tanx的值是 _/32（3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan= /2 专题辅导二三角函数的图像性质及解题思路课时： 10 课时学习目标：1 会求三角函数的定义域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2 会求三角函数的值域3 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法。如xysin与xycos的周期是. 4 会判断三角函数奇偶性5 会求三角函数单调区间6 对sin()(0,0)yAxA函数的要求（1）五点法作简图（2）会写sinyx变为sin()(0,0)yAxA的步骤（3）会求sin()yAx的解析式（4）知道cos()yAx，tan()yAx的简单性质7 知道三角函数图像的对称中心，对称轴8 能解决以三角函数为模型的应用问题（一）、知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyx2、正弦函数sin ()yx xR、余弦函数cos ()yx xR的性质 ：（1）定义域 ：都是 R。（2）值域 ：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载322xkkZ时，y取最小值 1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值 1，当2xkkZ时，y取最小值 1。如（1）若函数sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a_，b1,12ab或1b） ；（2）函数xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是 _/ 1, 2 （3）若2，则6ycossin的最大值和最小值分别是_、_/7，5 （4）函数2( )2cossin()3sin3f xxxxsincosxx的最小值是 _，此时x_ （答： 2；()12kkZ） ；（5）己知21cossin，求cossint的变化范围 /10,2（ 6 ）cos2sin2sin22， 求22s i ns i ny的 最 值 /1maxy，222miny）特别提醒 ：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质4、周期性 ：sinyx，cosyx的最小正周期都是2；定义域R R 值域 1, 1 1, 1R 周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）ZkkxRxx,21|且xytanxycosxysin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的 最 小 正 周 期 都 是2|T。如(1) 若3sin)(xxf，则(1)(2)(3)(2003)ffff_/1/2 (2)函数4( )cosfxx2sincosxx4sin x的最小正周期为_/(3) 设函数)52sin(2)(xxf，若对任意Rx都有)()()(21xfxfxf成立，则|21xx的最小值为 _/2 5、奇偶性与对称性：(1) 正弦函数sin()yx xR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；(2) 余弦函数cos ()yx xR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ； （正 ( 余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如（1）函数522ysinx的奇偶性是 _、（答：偶函数） ；（2）已知函数31f ( x)axb sin x(a,b为常数），且57f ()，则5f()_ （答： 5） ；（ 3） 函数)cos(sinc os2xxxy的图象的对称中心和对称轴分别是_ 、_ （答：128k(, )( kZ )、28kx(kZ )） ；（4）已知3f ( x)sin( x)cos( x)为偶函数，求的值。（答：6k( kZ )）6、单调性 ：sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递减， 在2,22kkkZ上单调递增。 特别提醒 ，别忘了kZ！7、 三角形中的有关公式：(1) 内角和定理 ：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和 与第三个角总互补，任意两半角和 与第三个角的半角总互余.锐角三角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2) 正弦定理 ：2sinsinsinabcRABC( R 为三角形外接圆的半径). 注意：正弦定理的一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2 sin,2sin,2siniiiaRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3) 余弦定理 ：2222222cos ,cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状 . (4) 面积公式 ：111sin()222aSahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径）.如ABC中，若CBABA22222sinsincoscossin，判断ABC的形状（答：直角三角形）。特别提醒： （1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：,sin()sin,sincos22ABCABCABC； （2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）ABC中，A、B 的对边分别是ab、，且A=6064, a, b，那么满足条件的ABCA、 有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（答： C） ；（2）在ABC中， AB 是sin AsinB成立的 _条件（答：充要） ；（3）在ABC中，112(tan A)(tan B )，则2log sinC_ （答：12） ；(4)在ABC中 ，a , b ,分别是 角A 、B 、 C所 对 的 边 ， 若( abc)(sin Asin B3sinC )a sin B，则C_ （答：60） ；（5）在ABC中，若其面积2224 3abcS，则C=_ （答：30） ；（6）在ABC中，601A, b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是 _ （答：2 393） ；（7） 在 ABC 中， a、 b、 c 是角 A、 B、 C 的对边，213,cos,cos32BCaA则= ，22bc的最大值为（答：1 93 2;） ；（8）在 ABC 中 AB=1 ，BC=2，则角 C 的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（答：06C） ；（9）设 O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C，且,AOBBOCCOA的面积满足关系式3AOBBOCCOASSS，求A（答：45） 8、反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在,22内( 11)a。(2) 反 正 弦arcsinx、 反 余 弦arccosx、 反 正 切arctanx的 取 值 范 围 分 别 是)2,2(,0,2,2.在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l到2l的角、1l与2l的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,0,0,22，,0，0,),0,),0,29、求角的方法 ：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若,(0,)，且tan、tan是方程2560 xx的两根，则求的值_ （答：34） ；（2）ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA，则C_ （答：3） ；（3）若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值（答：23）. 专题辅导三形如sin()yAx函数 的基本性质及解题思路课时： 4 课时学习目标：1、掌握 形如sin()yAx函数 的基本性质。2、知道解题方法。（一）、知识要点梳理1、几个物理量：A：振幅；1fT频率（周期的倒数） ；x：相位；：初相；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2、函数sin()yAx表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如( )sin()(0,0f xAxA，|)2的图象如图所示， 则( )f x_（答：15( )2sin()23f xx） ；3、函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系 ：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的图象； 函 数si nyx图 象 的 纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 变 为 原 来 的1， 得 到 函 数si nyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k） ，得到sinyAxk的图象。要特别注意 ，若由sinyx得到sinyx的图象， 则向左或向右平移应平移|个单位， 如（1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？（答：2sin(2)14yx向上平移 1 个单位得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin 2yx的图象，横坐标扩大到原来的2 倍得2sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）；(2) 要得到函数cos()24xy的图象，只需把函数sin2xy的图象向 _平移 _个单位（答：左；2） ；（3） 将函数72sin(2)13yx图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(, 1)6a） ；（4）若函数cossin0,2fxxx x的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是23题 图29YX-223名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（答：1,2)）附录一、三种基本变换规律：1平移变换规律(1)水平平移： yf(x) 的图象，可由yf( x) 的图象向左 ( 0), 或向右 ( 0)平移 | | 个单位得到。(2)垂直平移： yf(x)+ b 的图象，可由yf(x) 的图象向上 ( b0)或向下 ( b0) 平移 | b|个单位得到。2对称变换规律(1) y f(x)与 yf(x)的图象关于x 轴对称。(2) yf(x)与 yf(x)的图象关于y 轴对称。(3) yf 1(x)与 yf(x)的图象关于直线yx 对称。(4) y f-1(x)与 yf(x) 的图象关于直线y x 对称。(5) y f(x)与 yf(x)的图象关于原点对称3伸缩变换规律(1) 水平伸缩： yf( x)( 0) 的图象，可由yf(x) 的图象上每点的横坐标伸长( 01) 或缩短 ( 1) 到原来的1倍( 纵坐标不变 ) 得到。(2) 垂直伸缩 :yAf(x)( A0) 的图象，可由yf( x) 的图象上每点的纵坐标伸长(A1)或缩短 ( 0A1) 到原来的 A 倍( 横坐标不变 ) 得到。注：函数yAsin( x)( A0, 0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y=Af( x) ( A0, 0)也成立。例 1：要得到函数ysin( 2x3 ) 的图象，只需将函数ysin2x 的图象 ( ) (A) 向左平移3个单位 (B) 向右平移3个单位(C) 向左平移6个单位 (D) 向右平移6个单位例 2：函数 y1x1的图象是 ( ) 例 3：如果直线l 沿 x 轴负方向平移3 个单位，再沿y 轴正方向平移1 个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是 ( ) (A) 13(B) 3(C) 13(D) 3 例 4：设函数f(x) 11x2 (-1x0)，则函数 yf 1( x) 的图象是 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 5：将 y2x的图象 ( ) (A) 先向左平行移动1 个单位(B) 先向右平行移动1 个单位(C)先向上平行移动1 个单位(D) 先向下平行移动1 个单位再作关于直线yx 对称的图象，可得到ylog2( x+1) 的图象。例 6：函数 ytan(x23 ) 在一个周期内的图象是( ) 例 7：函数 y12cos2x3 2sinxcosx1 的图象可由ysinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？5、 研 究 函 数sin()yAx性 质 的 方 法 ： 类 比 于 研 究sinyx的 性 质 ， 只 需 将sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在 求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如（1）函数23ysin(x)的递减区间是 _ （答：51212 k,k( kZ )） ；（2）1234xylogcos()的递减区间是 _ （答：336644k, k( kZ )） ；（3）设函数)22, 0, 0)(sin()(AxAxf的图象关于直线32x对称，它的周期是，则A、)21,0()(的图象过点xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载B、( )f x在区间52,123上是减函数C、)0,125()(是的图象的一个对称中心xfD、( )f x的最大值是A （答： C） ；（4）对于函数2sin23fxx给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线12x成轴对称；图象可由函数2sin 2yx的图像向左平移3个单位得到；图像向左平移12个单位，即得到函数2cos 2yx的图像。其中正确结论是_ （答：） ；（5）已知函数( )2sin()f xx图象与直线1y的交点中，距离最近两点间的距离为3，那么此函数的周期是_ （答：）6、正切函数tanyx的图象和性质 ：（1）定义域：|,2x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如xyxysin,sin2的周期都是, 但sinyxcosx的周期为2，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx，| tan|yx的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ，特别提醒 ：正 (余 )切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点， 另一类是渐近线与x轴的交点， 但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -