2022年线性代数试题套卷及答案 .pdf

Fpg Fpg （线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分）在每小题列出四个备选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填写在题后括号内。错选、多选或未选均无分。1设nmA为实矩阵 ,则线性方程组0Ax只有零解是矩阵)(AAT为正定矩阵(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。2已知32121,为四维列向量组，且行列式4,1321A，1,2321B，则行列式BA(A) 40；(B) 16；(C) 3；(D) 40。3设向量组s，21)2( s线性无关，且可由向量组s，21线性表示，则以下结论中不能成立是(A) 向量组s，21线性无关；(B) 对任一个j，向量组sj，2线性相关；(C) 存在一个j，向量组sj，2线性无关；(D) 向量组s，21与向量组s，21等价。4对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确是(A) 若A列向量组线性无关，则0Ax有非零解；(B) 若A行向量组线性无关，则0Ax有非零解；(C) 若A列向量组线性相关，则0Ax有非零解；(D) 若A行向量组线性相关，则0Ax有非零解。5设A为n阶非奇异矩阵)2(n，A为A伴随矩阵，则题号一二三总 分总分人复分人得分得分评卷人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg (A) AAA11|)(；(B)AAA|)(1；(C)111|)(AAA；(D)11|)(AAA。二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分）请在每小题空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 列向量111是矩阵2135212baA对应特征值一个特征向量. 则，a，b。7设n阶向量Txx)00(，0 x；矩阵TEA, 且TxEA11，则x_ _。8已知实二次型322123222132, 12224),(xxxaxxxxxxxf正定 , 则常数a取值范围为 _。9设矩阵33)(jiaA，jiA是| A中元素jia代数余子式，jijiAa，13121132aaa，已知011a，则11a。10设403212221A，11a，已知向量A与线性相关，则a。三、分析计算题(本大题共 5 小题，每小题10 分，共 50 分) 11 (1) 求方程0)(xf根，其中2123112362543122)(22xxxf；得分评卷人得分评卷人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg (2) 计算n阶行列式nnnnnnnnxxxxyxxxyxxxyxxxyxxxD121121121121。12设实向量Taaa321，其中01a，3T，矩阵TEA(1) 试说明矩阵A能相似于对角阵；(2) 求可逆矩阵P，使APP1为对角阵，并写出此对角阵；(3) 求行列式|EA。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 13已知线性方程组2) 1(2221)1(321321321kxxkkxxkxkxxxkkx，试讨论：(1) k取何值时，方程组无解； (2) k取何值时 , 方程有唯一解，并求出其解；(3) k取何值时 , 方程有无穷多解，并求出其通解。14. 设实二次型323123212221321845452)(xxxxxxxxxxxxf，求：正交变换yQx，将f化为标准型。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 15. 设3R基为1111，0112，0013。(1) 试由321，构造3R一个标准正交基321，；(2) 求由基321321，到，过渡矩阵P；(3) 已知向量321，求向量在基321，下坐标。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 线性代数期末试卷（ A）参考答案一、选择题1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)二、填空题6 -1,-3,0； 7. 1； 8. 2/7| a； 9 76； 10. 1。三、计算题11 （ 1）)9)(1(5)(22xxxf，x1， 1，3， 3；（4分）（2）nininnyxyD112)1()() 1(。（10 分）12(1) A为实对称矩阵，所以相似于对角阵。(2 分) (2) 因为2)()(TTEA，所以21是A特征值。又秩1)(Tr，0|TAE，所以132是A另两个特征值。设Txxx),(321为A对应132特征向量，则由0),(332211xaxaxa，得A对应132线性无关特征向量TTaaaa),0,(,)0,(132121，令13123212100),(aaaaaaaP则1000100021APP。(7 分) (3) EA特征值为 21=1，1+1=2，1+1=2，因此4|EA。(10 分) 13(1) 0k时，3)(2)(ArAr，无解 (2分) (2)20kk，时，3)()(ArAr，唯一解TTkkxxx)0,1,2(),(321(6 分) (3) 2k时，2)()(ArAr，无穷多解 , 通解201010321cxxx。 (10分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 1432534513253503153252Q； (8分) 23222110yyyf。 (10分) 15(1)111311,211612,011213，（3 分）(2)3001202222361),(),(3211321P（6 分）(3)321216336123（10 分）注：本题答案不唯一，如0011，0102，1003，则001011111P，32123（线性代数）（ B 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分）在每小题列出四个备选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填写在题后括号内。错选、多选或未选均无分。1 设33)(jiaA特征值为1，2，3，jiA是行列式| A中元素jia代数余子式，则)(|3322111AAAA（）题号一二三总 分总分人复分人得分得分评卷人内不要答题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg a. 621；b. 611；c. 311；d. 6。2已知AAPPaaaaaaaaaAPnm若，333231232221131211001010100，则以下选项中正确是（）a. 45 nm，；b. 55 nm，；c. 54 nm，；d. 44nm，。3n 维向量)3(,21nss线性无关充要条件是（）a存在不全为零数skkk,21，使02211sskkk；bs,21中任意两个向量都线性无关；cs,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；ds,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4设BA，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21kk ，为任意常数）（）a. BA ；b. BA；c. BA；d. BkAk21。5已知矩阵222222aaaA，伴随矩阵0A，且0 xA有非零解，则（）a. 2a；b. 2a或4a；c. 4a；d. 2a且4a。二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分）请在每小题空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 行 列 式300002010D，jiA是D中 元 素jia 代 数 余 子 式 ， 则3131ijjiA。7 设A是 实 对 称 可 逆 矩 阵 ， 则 将AXXfT化 为YAYfT1 线 性 变 换 为_。得分评卷人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 8设矩阵53342111xA有特征值6，2，2，且A能相似于对角阵，则x_ _。9已知0是n维实列向量，矩阵TkEA，k为非零常数，则A为正交矩阵充分必要条件为k。10. 设232221321111aaaaaaA，111b，其中ia互不相同，3, 2, 1i，则线性方程组bxAT解是 _ _。三、分析计算题(本大题共 5 小题，每小题10 分，共 50 分) 11计算n阶行列式：nnnnnnnnxxxyxxxyxxxyxxxyxxxxD121121121121。12已知线性方程组bxaxxxxxx321312111，得分评卷人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg （1）试问：常数ba，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。13设111111aaaA，211，已知线性方程组Ax有解但不唯一。试求：（1）a值；（2）正交矩阵AQQQT使得，为对角矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 14设矩阵A伴随矩阵8030010100100001*A，且EBAABA311。求矩阵B。15已知线性空间3R基321，到基321，过渡矩阵为P，且1011，0102，2213；034223122P试求： (1) 基321，；(2) 在基321321,与下有相同坐标全体向量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 线性代数期末试卷（ B）参考答案一 选择题1.b 2.d 3.c 4.a 5.c 二 填空题6. 11；7. YAX1；8.2x；92|2k；10.T001；三 计算题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 11. )()1(112)1(niinnnxyyD。(10 分) 12. （1）110101100201Aab1,2ba无穷多解；2a唯一解；1,2ba无解（5 分）（ 2）Rkkxxx,111001321（10 分）13. 解： （ 1）方程组AX有解但不唯一，所以3)()(ArAr，故2a。（3 分）（2） 特征值为31，32，03。（6 分）31612131620316121Q，000030003AQQT。（10 分）14由1*|nAA，有8|3A，得2| A。（3 分）用*A，A左右乘方程两端，得EBAE6)2(*（6 分）1*)2(6AEB1030060600600006603001010010000161（10 分）15 （ 1）设),(321A,),(321B, 则APB，故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - Fpg Fpg 101161，8852，1213；（3 分）（2）设所求向量坐标为x，则APxAx，即0)(xEPA，因为A为可逆矩阵，得0)(xEP，由（6 分）000110101134213121)(EP得Tkx），111(，（8 分）故Tkk）， 312()(321（10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -