高等数学向量代数与空间解析几何习题课ppt课件资料.ppt
习题课习题课向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数1 1、向量的概念、向量的概念向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、零向量、零向量、自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、平行向量、平行向量、 向径向径.2 2、向量的线性运算、向量的线性运算加、减、数乘加、减、数乘3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：模、方向余弦的坐标表示式模、方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、向量积、混合积、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件两向量平行、垂直的条件直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系2 2、曲面、曲面旋转曲面、旋转曲面、 柱面、柱面、 二次曲面二次曲面3 3、空间曲线、空间曲线4 4、平面、平面5 5、空间直线、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12(2)点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML二、典型例题二、典型例题例例解解共面共面且且，使使，求一单位向量求一单位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例已知已知2, ADBbACaAB证明证明2|2|bbabaBAD 的面积的面积 的面积最大的面积最大的夹角为何值时，的夹角为何值时，当当BADba ,证证 ADCBBDADSBAD 21 sin|cos|21aa 2sin|412 a而而 cos| baba sin| baba2|2|bbaba 222|2sincos| |bba 2sin|412 a2|2|bbabaSBAD 因因 2cos|212adds 令令0 dds得唯一驻点得唯一驻点)2, 0(4 而而424222sin| adsd0|2 a4 时时BADS 面积最大面积最大)|41(2a 例例设设)27()4( , )57()3(babababa 求求的的夹夹角角与与ba解解由题设知由题设知0)57()3( baba0)27()4( baba0|1516|722 bbaa0|830|722 bbaa两式相减得两式相减得2|2346bba 2|21bba 代入前式有代入前式有|ba 故故|),cos(bababa 21|2| ab321arccos),( ba例例已知向量已知向量 2 , 1 , 2,3 , 2, 1,1 , 3, 2 cba求与求与ba,同时垂直，且在同时垂直，且在c上投影为上投影为 1的向量的向量v解解由于由于v同时垂直于同时垂直于ba,bav /而而321132 kjibakji 57故可设故可设)(batv ttt ,5,7tttcv2514 t21 而而3| c故故|Pr1ccvvjc t7 71 t故，所求向量为故，所求向量为 71,75, 1v例例解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其法向量其法向量.8, 4, 1 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx例例解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线都相交的直线且与两直线且与两直线求过点求过点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1243:,12:21tztytxLtztytxL的交点分别为的交点分别为与与设所求直线设所求直线21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三点共线三点共线与与BAM).(00为实数为实数故故 BMAM 即有即有,00对应坐标成比例对应坐标成比例于是于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同在直线同在直线和和点点LBM的方程为的方程为故故 L.211111 zyx例例求过点求过点)4 ,0 ,1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与直线21311zyx 相交的直线方程相交的直线方程解解设所求直线的方向数为设所求直线的方向数为pnm,则直线方程为则直线方程为pznymx41 化成参数方程，有化成参数方程，有mtx 1nty ptz 4代入已知直线方程，得代入已知直线方程，得24131ptntmt 102,3 ntptntmt又所求直线与已知平面平行又所求直线与已知平面平行ns 043 pnm（两边同乘以（两边同乘以 ）t解得解得28,19,16 ptntmt直线方程为直线方程为28419161 zyx例例解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的平面束方程为的平面束方程为过直线过直线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代入平面束方程代入平面束方程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 例例过点过点 作一直线，使和作一直线，使和 z 轴相交，且轴相交，且)3 , 2, 1( B和直线和直线 垂直，求其方程垂直，求其方程22334 zyx分析分析求直线方程，或者求出直线所在的平面求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程上的两点得两点式方程解一解一用交面式用交面式直线直线 过点过点 B 且与且与 L 垂直垂直L 故直线故直线 在过在过 B 且与且与 L 垂直的平面垂直的平面 内内1L oxyzLL B 2, 3 , 41 n0)3(2)2(3)1(4:1 zyx即即08234 zyx又又 过过B且与且与z 轴相交轴相交L 故故 在由在由B 及及z 轴所组成的平面轴所组成的平面 内内2L kOBn 2100321 kji 0 , 1, 2 0)2()1(2:2 yx即即02 yx所求直线方程为所求直线方程为08234 zyx02 yx解二解二用点向式用点向式已知已知 过过B，故只须求出其方向向量故只须求出其方向向量 L s 而而LL 故故ss 又又 过过 B 且与且与z 轴相交，轴相交，L 即即 在由在由B及及z 轴所组成的平面内轴所组成的平面内L 亦即亦即 共面共面kOBs, 0)( kOBs)(kOBs )(kOBss 012234 kji 1, 2, 12 所求直线方程为所求直线方程为112211 zyx解三解三用两点式用两点式已知已知 过过B，故只须求出第二个点，故只须求出第二个点L 又又 与与z轴相交，可设法求出这个交点轴相交，可设法求出这个交点L 过过B作平面作平面 ，使，使 得得11 L0)3(2)2(3)1(4:1 zyx即即08234 zyx求出求出 z 轴与轴与 的交点的交点1将将 代入，有代入，有0, 0 yx交点为交点为)4 , 0 , 0(而而 在在 上又和上又和 z 轴相交，轴相交，L 1现现 与与 z 轴只有唯一的交点轴只有唯一的交点1oxyzLL B故故 即为即为 与与 z 轴的交点轴的交点)4 , 0 , 0(L 434020010: zyxL即即1421 zyx思考与练习思考与练习,2) 1 (2xy 抛物柱面0z平面; 1224zyx及P338 题21 画出下列各曲面所围图形:,1)2(2zx抛物柱面; 10, 0yxzy及平面,)4(222xyzyx柱面旋转抛物面0z平面. 1x及P338 题21(1)解答解答:xyzoxy 220z1224zyx)0, 1 ,2()0,2,8(4xyzo2xyz1111xyzP338 21 (2)1111ozx121 yx0y0z1) 1 , 1 () 1, 1 ( zxyozyx22xy 20z1xP338 21(4)241312zyx练练1 1. 求直线求直线与平面与平面062zyx的交点的交点 . . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t练练2 2.求过点求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线且与直线12131zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P练练3 3.求直线求直线0101zyxzyx在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1练练4 4.设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的求该平面法线的的方向余弦的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s417211kji)4,5,3(2所求为
