2021_2021学年新教材高中数学模块素养评价一含解析新人教B版选择性必修第三册.doc

模块素养评价(一)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若数列-1,2,5,8,11,x,中的项按一定规律变化,则实数x最有可能的值是()A.12B.13C.14D.15【解析】选C.根据题意,数列-1,2,5,8,11,x,分析可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于3,所以x=11+3=14.2.(2020·梅州高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn,a4=4,S9=45,a10=()A.20B.10C.44D.55【解析】选B.设等差数列an的公差为d.因为等差数列an的前n项和为Sn,a4=4,S9=45,所以解得a1=1,d=1,所以a10=1+9=10.3.(2020·唐山高二检测)已知an为等差数列,若<-1,且数列an的前n项和Sn有最大值,则Sn的最小正值为()A.S1B.S19C.S20D.S37【解析】选D.因为<-1,且数列an的前n项和Sn有最大值,故a19>0,a20<0,a19+a20<0,所以S37=37a19>0,S38=19(a19+a20)<0,即满足条件的Sn的最小正值为S37.4.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+2k(kN+),则()A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+3【解析】选B.f(k)=k+(k+1)+(k+2)+2k(kN+),则f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-k+(k+1)+(k+2)+2k=3k+3.5.已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为,且8a5=a1-2a3,则a3=()A.B.C.D.【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为前4项和为,且8a5=a1-2a3,所以q1,=,8a1q4=a1-2a1q2,解得a1=1,q=.则a3=.6.过曲线y=ex-x外一点(e,-e)作该曲线的切线l,则l在y轴上的截距为()A.-eeB.-ee+2C.-ee+1D.ee+2【解析】选B.设切线l在曲线y=ex-x上的切点为(x0,y0),则y0=-x0,由y=ex-x,得y=ex-1,则切线l的斜率k=y=-1,所以切线l的方程为y-y0=(-1)(x-x0),因为l过曲线y=ex-x外一点(e,-e),所以-e-y0=(-1)(e-x0),所以由,得x0=e+1,y0=ee+1-(e+1),所以l在y轴上的截距y0+(-1)(-x0)=-ee+2.7.已知关于x的不等式1+2xln xmx2在1,+)上恒成立,则m的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.依题意,1+2xln xmx2m+,令g(x)=+,故g(x)=,令h(x)=x-xln x-1,则h(x)=-ln x,故当x1,+)时,h(x)=-ln x0,h(x)在1,+)上单调递减,所以h(x)h(1)=0,所以g(x)0,故g(x)=+在1,+)上单调递减,故mg(x)max=g(1)=1,故m的最小值为1.8.(2020·玉林高二检测)已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f(x),当x>0时,xf(x)>f(x).若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】选C.令g(x)=(x0),由于f(x)为R上的奇函数,所以g(x)=(x0)为定义域上的偶函数,又当x>0时,xf(x)>f(x),所以,当x>0时,g(x)=>0,所以,偶函数g(x)在(0,+)上单调递增;又0<sin<1<log46<log49=log23,所以g<g(log46)<g(log49)=g(log23)=g(-log23),即c<b<a.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列选项中能满足数列1,0,1,0,1,0,的通项公式的有()A.an=B.an=sin 2C.an=cos 2D.an=【解析】选ABCD.可以验证,当n为奇数时,ABCD对应的项均为1,当n为偶数时,ABCD对应的项均为0.10.记Sn为等差数列an的前n项和.若a1+3a5=S7,则以下结论一定正确的是()A.a4=0B.Sn的最大值为S3C.S1=S6D.|a3|<|a5|【解析】选AC.设等差数列an的公差为d,则a1+3(a1+4d)=7a1+21d,解得a1=-3d,所以an=a1+(n-1)d=(n-4)d,所以a4=0,故A正确;因为S6-S1=5a4=0,所以S1=S6,故C正确;由于d的正负不清楚,故S3可能为最大值或最小值,故B不正确;因为a3+a5=2a4=0,所以a3=-a5,即|a3|=|a5|,故D错误.11.(2020·南京高二检测)若函数f(x)的图象上存在两个不同的点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,称函数f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的有()A.y=ex-xB.y=x4-x2C.y=x3D.y=x+sinx【解析】选BD.由题意可得,性质T指函数f(x)图象上有两个不同点的切线是重合的,即两个不同点所对应的导数值相等,且两点处函数的切线方程也相同.对于A选项,y=ex-x,则y=ex-1,导函数为增函数,不存在不同的两个x使得导数值相等,故A不符合;对于B选项,y=4x3-2x,设两切点分别为(x1,-),(x2,-)且4-2x1=4-2x2,取x1=-,x2=,则y1=-=y2,两切点处的导数值为y=0,两切点连线的直线斜率为k=0,所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率,符合性质T,所以B选项符合;对于C选项,设两切点分别为(x1,)和(x2,),则两切点处的导数值相等有:3=3,解得:x1=-x2,令x1=a,则x2=-a,两切点处的导数y=3a2,两切点连线的斜率为k=a2,则3a2=a2,得a=0,两切点重合,不符合题意,所以C选项不符合;对于D选项,y=1+cos x,设两切点的横坐标分别为x1和x2,则1+cos x1=1+cos x2,所以cos x1=cos x2,取x1=,x2=,则y1=+1,y2=+1,两切点处的导数值为y=1,两切点连线的直线斜率为k=1,所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率,符合性质T,所以D选项符合.12.已知函数f=,则下列结论正确的是()A.函数f存在两个不同的零点B.函数f既存在极大值又存在极小值C.当-e<k<0时,方程f=k有且只有两个实根D.若x时,f=,则t的最小值为2【解析】选ABC.对于A.f=0x2+x-1=0,解得x=,所以A正确;对于B.f=-=-,当f>0时,-1<x<2,当f<0时,x<-1或x>2,故,是函数的单调递减区间,是函数的单调递增区间,所以f是函数的极小值,f是函数的极大值,所以B正确.对于C.当x+时,y0,根据B可知,函数的最小值是f=-e,再根据单调性可知,当-e<k<0时,方程f=k有且只有两个实根,所以C正确;对于D.由图象可知,t的最大值是2,所以不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.(2020·湘潭高二检测)设Sn是等差数列an的前n项和,若a2=1,S5+S7>31,则S10的取值范围是_. 【解析】设等差数列an的公差为d.因为a2=1,S5+S7>31,所以S5+S7=5a3+7a4=5(1+d)+7(1+2d)>31,所以d>1,所以S10=10a1+45d=10(1-d)+45d=10+35d>45.答案:(45,+)14.用数学归纳法证明不等式“+>(n>1且nN+)”的过程中,第一步:当n=2时,不等式左边应等于_. 【解析】根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立;结合本题,要验证n=2时,不等式左边为+=.答案:15.已知正项等比数列an满足a2 020=2a2 018+a2 019,若存在两项am,an使得=4a1,则的最小值是_,此时m2+n2=_. 【解析】根据题意,设正项等比数列an的公比为q,若an满足a2 020=2a2 018+a2 019,则有q2=2+q,解得q=2或q=-1(舍去),若存在两项am,an使得=4a1,即am·an=16,变形可得2m+n-2=16=24,则有m+n=6,则=+=(m+n)=,又由+2×=4,当且仅当n=2m即n=2m=4时,等号成立,则=(5+4)=,此时m2+n2=20.答案:2016.(2020·常德高二检测)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x+ex-1,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为_. 【解析】因为函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ln x+ex-1,所以当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln (-x)+e-x-1,所以f(-1)=1,又当x<0时,f(x)=-,所以f(-1)=-2,所以曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为2x+y+1=0.答案:2x+y+1=0四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S2=8,S3=9.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最大值.【解析】(1)由题意,可知:S3=a1+a2+a3=3a2=9,故a2=3.又因为S2=8,即a1+a2=8,所以a1=5.所以公差d=a2-a1=-2.所以an=5-2(n-1)=7-2n,nN+.(2)由(1)可知a1=5,an=7-2n,所以Sn=n(6-n)=6n-n2=-(n-3)2+9.所以根据二次函数的性质,可知当n=3时,Sn取得最大值9.18.(12分)已知函数f(x)=x3-3ax+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y+m=0.(1)求实数a,m的值;(2)求f(x)在区间1,2上的最值.【解析】(1)f(x)=3x2-3a,因为曲线f(x)=x3-3ax+2在x=1处的切线方程为3x+y+m=0,所以解得a=2,m=0.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x+2,则f(x)=3x2-6,令f(x)=0,解得x=±,所以f(x)在1,)上单调递减,在(,2上单调递增,又f(1)=1-6+2=-3,f(2)=23-6×2+2=-2,f=-6×+2=2-4,所以f(x)在区间1,2上的最大值为-2,最小值为2-4.19.(12分)(2020·延庆高二检测)已知数列an是等差数列,Sn是an的前n项和,a10=16,_. (1)判断2 024是否是数列an中的项,并说明理由;(2)求Sn的最值.从a8=10,a8=8,a8=20中任选一个,补充在上面的问题中并作答.【解析】答案不唯一.方案一:选择a8=10.(1)设等差数列an的公差为d,因为a10=16,所以d=3.所以a1+7×3=10,解得a1=-11.所以an=-11+3(n-1)=3n-14,令2 024=3n-14,解得n=679,不是整数,所以2 024不是数列an中的项.(2)由3n-140,可得n4.所以Sn有最小值.为S4=-26,Sn无最大值.方案二:选a8=8.(1)设等差数列an的公差为d,则所以,所以an=a1+(n-1)d=4n-24,令4n-24=2024,所以n=512,所以2024是an中的第512项.(2)由(1)知an=4n-24,令an>0得n>6.所以n7时an>0,a6=0,1n5时,an<0,所以当n=5或n=6时,Sn的最小值为S5=S6=-20×5+×4=-60,Sn无最大值.方案三:选a8=20.(1)解法同方案二,可得所以an=-2n+36,令-2n+36=2024,n=-994不合题意.所以2024不是数列an中的项.(2)令an>0得n<18,所以1n17时,an>0,a18=0,n19时,an<0,所以n=17或18时,Sn的最大值为S17=S18=34×18+×(-2)=306,Sn无最小值.20.(12分)已知函数f=ex.(1)求曲线y=f在原点处的切线方程.(2)当x2时,求函数y=f的零点个数.【解析】(1)由题意,函数f=ex,则f=ex,则f=-2,从而曲线y=f在原点处的切线方程为y=-2x.(2)由(1)知f=ex,令f=0得x=或x=-,从而函数y=f的单调增区间为,单调减区间为,当x<-时,f=ex>0恒成立,所以在上没有零点;当-<x<时,函数在区间上单调递减,且f=0,存在唯一零点;当x>时,函数在区间上单调递增,且f=0,存在唯一零点.综上,当x2时,函数y=f的零点个数为2.21.(12分)用数学归纳法证明:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+).【证明】当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.假设当n=k(k1,kN+)时,等式成立,即k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2,那么当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+3(k+1)-2=k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)-k+(3k-1)+3k+(3k+1)=(2k-1)2+8k=(2k+1)2=2(k+1)-12.这就是说当n=k+1时,等式也成立.根据和,可知等式对任何nN+都成立.22.(12分)已知等比数列an的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=anloan,Sn=b1+b2+bn,求使Sn+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.【解析】(1)因为由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2),因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以解得或又q>1.所以a1=2,q=2,所以an=2n.(2)因为bn=anloan=2n·lo2n=-n·2n.Sn=b1+b2+bn=-(1×2+2×22+n·2n)则2Sn=-(1×22+2×23+n·2n+1)-,得Sn=(2+22+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,即数列bn的前n项和Sn=2n+1-2-n·2n+1,则Sn+n·2n+1=2n+1-2>62,所以n>5,即正整数n的最小值为6.