2021_2022学年新教材高中数学第一章直线与圆2.3直线与圆的位置关系课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx

第一章直线与圆§2圆与圆的方程2.3直线与圆的位置关系课后篇巩固提升合格考达标练1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离答案B解析由圆的方程得到圆心坐标(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=|1|12+(-1)2=22<1,即d<r,所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心.故选B.2.直线3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于()A.3或-3B.-3或33C.-33或3D.-33或33答案C解析圆的标准方程为(x-1)2+y2=3,由题意知圆心(1,0)到直线3x-y+m=0的距离等于半径,即|3+m|3+1=3,|3+m|=23,解得m=3或m=-33,故选C.3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是()A.6B.3C.26D.8答案A解析圆的标准方程为x2+(y-3)2=9,圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),即该直线过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为圆的直径6.4.(2020全国,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为(1-3)2+(2-0)2=22<3,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.106B.206C.306D.406答案B解析设圆的圆心为M,则M(3,4),半径r=5.当过点P的直线过圆心M时,对应的弦AC是最长的,此时,|AC|=2r=10;当过点P的直线与MP垂直时,对应的弦BD最小,此时在RtMPD中,|MD|=r=5,|MP|=1,故|BD|=2|MD|2-|MP|2=46.此时四边形ABCD的面积为S=12|AC|·|BD|=206,故选B.6.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为. 答案2x-y=0解析若所求直线斜率存在,设其方程为y=kx,即kx-y=0.由于直线kx-y=0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1,因此圆心到直线的距离等于12-(22) 2=0,即圆心(1,2)在直线kx-y=0上.于是有k-2=0,即k=2,因此所求直线方程是2x-y=0.易知直线斜率不存在时不符合题意.7.已知直线l:2mx-y-8m-3=0,则直线过定点,该直线被圆C:x2+y2-6x+12y+20=0截得最短弦长为. 答案(4,-3)215解析将直线l变形得2m(x-4)=y+3,即直线l恒过定点P(4,-3),圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.显然点P在圆内.当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,直线l被圆所截得的弦AB的长度最短.此时PCl,又kPC=-3-(-6)4-3=3,所以直线l的斜率为-13,则2m=-13,所以m=-16.因为|PC|=10,|AC|=5,所以|AB|=2|AC|2-|PC|2=215.故当m=-16时,直线l被圆C截得的弦长最短,最短弦长为215.8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且POQ=120°(其中O为原点),则k的值为.答案-3或 3解析由题意知直线y=kx+1恒过定点(0,1),圆x2+y2=1的圆心是(0,0),半径是1,取PQ的中点为E,连接OE,则OEPQ.因为POQ=120°,故POE=60°,所以|OE|=12.又直线l的方程为kx-y+1=0,所以|1|k2+1=12,故k=±3.9.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切?(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=22时,求直线l的方程.解圆C方程可化为x2+(y-4)2=4,此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有|4+2a|a2+1=2,解得a=-34,即当a=-34时,直线l与圆C相切.(2)过圆心C作CDAB,则根据题意和圆的性质,得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=|AC|2=22,|DA|=12|AB|=2,解得a=-7或a=-1,故所求方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.等级考提升练10.若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个不同的公共点,那么点(b,a)与圆x2+y2=4的位置关系是()A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定答案A解析因为直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个公共点,所以有|2|a2+b2<1,即a2+b2>2,因为点(b,a)与x2+y2=4的圆心的距离为a2+b2,圆x2+y2=4的半径为2,所以点(b,a)在圆外.故选A.11.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-12B.1C.2D.12答案C解析点P在圆上,在点P的圆的切线有斜率,设在点P(2,2)的圆的切线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,由于和圆相切,故|k+2-2k|k2+1=5,得k=-12,由于直线kx-y+2-2k=0与直线ax-y+1=0垂直,因此-12×a=-1,解得a=2,故选C.12.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为()A.-3B.-2C.2D.3答案C解析圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线的距离为5,所以|-2a-3|a2+b2=5,整理,得a2-12a+5b2-9=0,又直线过P(-1,2),代入,得-a+2b-3=0,由a2-12a+5b2-9=0,-a+2b-3=0,解得a=1,b=2,所以ab=2.13.(2021山西吕梁一模)已知直线l:x+by+1=0与圆C:(x+b)2+(y+2)2=8相交于A,B两点,且ABC是顶角为23的等腰三角形,则b等于()A.1B.-17C.-1D.1或-17答案D解析圆C:(x+b)2+(y+2)2=8的圆心为(-b,-2),半径为22,由题意ABC是顶角为23的等腰三角形可知圆心到直线l的距离为2,|-b-2b+1|1+b2=2,解得b=1或b=-17.故选D.14.(多选题)(2020山东泰安一中高二期中)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是()A.-1B.-33C.13D.2答案BC解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0),半径r=1.直线与圆有公共点,需|k-3k|k2+11,所以|2k|k2+1,得k213,所以-33k33,对照选项知B,C适合.15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(mR)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|CD|的最小值为. 答案43解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).C,D分别为OA,AB的中点,|CD|=12|OA|=2,当OPAB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)2-(2)2=26,|AB|CD|=2|AB|2×26=43.16.(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=;b=. 答案33-233解析由k>0,根据题意画出直线l:y=kx+b及两圆,如图所示.由对称性可知直线l必过点(2,0),即2k+b=0,并且|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1,由解得k=33,b=-233.17.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4变化时,求m的取值范围.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2a.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|4-2a|2=2|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得L=2(2a)2-(2|2-a|)2=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.0<a4,当a=3时,L的最大值为210.(2)直线l与圆C相切,则有|m-2a|2=2a,即|m-2a|=22a.点C在直线l的上方,a>-a+m,即2a>m,2a-m=22a,m=(2a-1)2-1.0<a4,0<2a22,m-1,8-42.新情境创新练18.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.解(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可设直线PQ的方程为x4+yb=1,即bx+4y-4b=0(b>2),PQ与圆A相切,|4-3b|b2+42=1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),则直线PQ方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.因为PQ与圆A相切,所以|b+a-ab|b2+a2=1,化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;因此PQ=a2+b2=(a+b)2-2ab=(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2.因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2a+b22,解得0<a+b4-22,或a+b4+22.因为a+b>4,所以a+b4+22,PQ=(a+b)-22+22,当且仅当a=b=2+2时取等号,所以PQ最小值为2+22,此时a=b=2+2.答:当P,Q两点距离两公路的交点O都为2+2(千米)时,新建公路PQ最短.6