2021_2022版高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和素养评价检测含解析新人教A版必修.doc
等差数列的前n项和 (20分钟35分)1.(2020·大庆高一检测)正项等差数列an的前n项和为Sn,已知a3+a7-+15=0,则S9=()A.35B.36C.45D.54【解析】选C.在正项等差数列an中,由等差数列的性质得a3+a7=2a5,因为a3+a7-+15=0,所以2a5-+15=0,即-2a5-15=0,解得a5=5或a5=-3,因为数列an是正项等差数列,所以a5=5,所以S9=9a5=9×5=45.【补偿训练】若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()A.12B.13C.14D.15【解析】选B.因为S5=5a3=25,所以a3=5,所以d=a3-a2=5-3=2,所以a7=a2+5d=3+10=13.2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27【解析】选B.由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45.3.(2020·大连高二检测)等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选C.因为等差数列an中,|a6|=|a11|,且公差d>0,所以a6<0,a11>0,a6=-a11,a1=-d,有Sn=(n-8)2-64,所以当n=8时前n项和取最小值.4.(2020·惠州高二检测)等差数列an的前n项和为Sn,若a4+a5=25,S6=57,则an的公差为. 【解析】设等差数列an的公差为d,因为a4+a5=25,S6=57,所以2a1+7d=25,6a1+d=57,解得d=3.答案:3【补偿训练】(2020·西安高二检测)在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,则插入的50个数的和等于. 【解析】根据题意,在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,设这个等差数列为an,且a1=3,a52=156,插入的50个数的和S=3 975.答案:3 9755.(2020·新高考全国卷)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为. 【解析】由题意知数列2n-1为1,3,5,7,9,11,13,3n-2为1,4,7,10,13,16,19,所以数列为1,7,13,19,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列的前n项和为=3n2-2n.答案:3n2-2n6.已知数列an是等差数列,Sn是an的前n项和,a10=16,a8=10.(1)判断2 024是否是数列an中的项,并说明理由;(2)求Sn的最值.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,又因为a10=16,所以d=3.所以a1+7×3=10,解得a1=-11.所以an=-11+3(n-1)=3n-14,令2 024=3n-14,解得n=不是整数,所以2 024不是数列an中的项.(2)由3n-140,可得n4+.所以Sn有最小值,无最大值.最小值为S4=-26. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设Sn是等差数列an的前n项和,若a2=1,S5+S7>31,则S10的取值范围是()A.(45,+)B.(50,+)C.(55,+)D.(60,+)【解析】选A.因为a2=1,S5+S7>31,所以S5+S7=5a3+7a4=5(1+d)+7(1+2d)>31,所以d>1,所以S10=10a1+45d=10(1-d)+45d=10+35d>45.2.数列an为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+,则的值是()A.-2B.-1C.0D.1【解析】选B.因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,所以=-1.3.一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差为10°,最小内角为100°,则边数n=()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.由等差数列的求和公式和多边形的内角和公式可得100n+×10=(n-2)×180,化简可得n2-17n+72=0,即(n-8)(n-9)=0,解得n=8或n=9.当n=9时最大内角为100°+8×10°=180°,不满足多边形为凸n边形,应舍去.所以n=8.4.已知等差数列an中,前m项(m为偶数)和为126,其中偶数项之和为69,且am-a1=20,则数列an的公差为()A.-4B.4C.6D.-6【解析】选B.由题意可得,a1+a3+am-1=57,a2+a4+am=69,所以57+=69,因为am-a1=(m-1)d=20,解得,d=4.【补偿训练】在等差数列an中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,an+an-1+an-2+an-3=60,又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以+得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.Sn=100.将代入中得n=10.5.若等差数列an的前n项和Sn有最大值,且<-1,那么使Sn取最小正值的项数n=()A.15B.17C.19D.21【解析】选C.由于Sn有最大值,所以d<0,因为<-1,所以<0,所以a10>0>a11,且a10+a11<0,所以S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0,S19=19a10>0,又a1>a2>>a10>0>a11>a12>,所以S10>S9>>S2>S1>0,S10>S11>>S19>0>S20>S21>,又S19-S1=a2+a3+a19=9(a10+a11)<0,所以S19为最小正值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·南昌高二检测)已知数列an中a1=-1,且an+1=an+3n-1,则数列的通项公式an=. 【解析】依题意,因为an+1=an+3n-1,所以an+1-an=3n-1,所以,等式左右两端相加得:an-a1=2+5+(3n-4)=×(n-1)=,(2+5+(3n-4)为首项为2,公差为3的等差数列的前(n-1)项的和),又因为a1=-1,所以an=.答案:7.(2019·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则=. 【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4.答案:4【补偿训练】设等差数列an的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=. 【解析】因为Sn是等差数列an的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.答案:48.已知Sn是等差数列an的前n项和,且S6>S7>S5,有下列四个结论:d<0;S11>0;S12<0;S8>S5,正确结论的序号是.(填序号) 【解析】依题意,因为S6>S7>S5,所以a7=S7-S6<0,a6=S6-S5>0,a6+a7=S7-S5>0.所以d=a7-a6<0,故对;S11=11a6>0,故对;S12=×12=×12>0,故不正确;S8-S5=a6+a7+a8=3a7<0,故错误.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.(1)求通项an.(2)求数列bn的前n项和Tn的最小值.【解析】(1)由a3=10,S6=72,得所以an=4n-2.(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.由得n,因为nN*,所以n=15.所以bn的前15项为负值,所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.10.已知an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,且S7=7,S15=75,求数列的前n项和Tn.【解析】设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+d.因为S7=7,S15=75,所以即解得所以=a1+d=-2+,所以-=,所以数列是等差数列,且其首项为-2,公差为.所以Tn=n2-n.1.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方(如图(1)所示).将1,2,9填入3×3的方格内(如图(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,n2填入n×n的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn,如N3=15,那么N9=()A.41B.45C.369D.321【解析】选C.根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.根据等差数列的求和公式得Nn=,则N9=369.2.已知Sn是等差数列an的前n项和,S2=2,S3=-6.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn;(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设数列an的公差为d,则所以所以an=4-6(n-1)=10-6n,Sn=na1+d=7n-3n2.(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4,若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.
