2021_2022学年高中数学第三章不等式1不等关系课时素养评价含解析北师大版必修.doc
十六不 等 关 系 (20分钟35分)1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2.【补偿训练】已知a<b<|a|,则()A.>B.ab<1C.>1D.a2>b2【解析】选D.由a<b<|a|,可知0|b|<|a|,由不等式的性质可知|b|2<|a|2,所以a2>b2.2.(2020·九江高一检测)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()A.< B.ab<b2 C.-ab<-a2 D.-<-【解析】选D.由于a<b<0,不妨令a=-2,b=-1,可得=-,=-1,所以>,故A不正确.可得ab=2,b2=1,所以ab>b2,故B不正确.可得-ab=-2,-a2=-4,所以-ab>-a2,故C不正确.对于D,由a<b<0,可得-a>-b>0,故-<-成立.3.(2020·北京高一检测)若-1x<y1,则x-y的取值范围为()A.-2,2 B.-2,0)C.(0,2 D.(-2,2)【解析】选B.因为-1x<y1,所以-1-y<1,所以-2x-y<2,又因为x<y,所以x-y<0,所以-2x-y<0,即x-y的取值范围为-2,0).4.当x>2时,x2与2x的大小关系为. 【解析】x2-2x=x(x-2),因为x>2,故x(x-2)>0,即x2>2x.答案:x2>2x5.对于实数a,b,c,有下列结论:若a>b,则ac<bc;若ac2>bc2,则a>b;若a<b<0,则a2>ab>b2;若a>b,>,则a>0,b<0.其中正确结论的序号是. 【解析】c的正、负或是否为零未知,因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据,故不正确.由ac2>bc2知c0,所以c2>0,所以a>b,故正确.a2>ab,ab>b2,所以a2>ab>b2.故正确.a>ba-b>0,>->0>0.因为a-b>0,所以b-a<0,所以ab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0,故正确.答案:6.某中学为加强现代信息技术教学,拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房,每个计算机房只配置1台教师用机,若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台8 000元,学生用机每台3 500元;高级机房教师用机每台11 500元,学生用机每台7 000元.已知两机房购买计算机的总钱数相同,且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元.则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机?【解析】设该校拟建的初级机房有x台计算机、高级机房有y台计算机,则解得因为x,y为整数,所以或即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·哈尔滨高一检测)若a,b是任意实数,且a>b,则()A.a2>b2 B.<1C.a-b>1 D.<【解析】选D.令a=1,b=-2,则a2<b2,故A错误;令a=-1,b=-2,则>1,故B错误;令a=2,b=,则a-b<1,故C错误;对于选项D,指数函数y=为R上的减函数,因为a>b,所以<正确.2.如果a>0>b且a+b>0,那么以下不等式正确的个数是()< > a3b<ab3; a3<ab2; a2b<b3.A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由a>0>b知不正确,正确;a3b-ab3=ab(a+b)·(a-b)<0,故正确;a3-ab2=a(a+b)(a-b)>0,故不正确;a2b-b3=b(a+b)(a-b)<0,故正确.3.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是()A.d>b>a>cB.b>c>d>aC.d>b>c>aD.c>a>d>b【解析】选A.因为a+b=c+d,a+d>b+c,所以a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,所以b<d.又a+c<b,所以a<b.综上可得,d>b>a>c.4.(2020·南昌高一检测)已知实数a,b满足1a-b2,2a+b4,则4a-2b的取值范围是()A.3,12 B.(3,12)C.(5,10) D.5,10【解析】选D.设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),所以,解得,因为1a-b2,2a+b4,所以33(a-b)6,所以53(a-b)+(a+b)10,即54a-2b10.【误区警示】本题容易犯的错误是将条件式子中a,b范围求出,进而求4a-2b范围.5.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是()A.a>b B.a<b C.a=b D.ab【解析】选B.由题意得a=-=,b=-=,c>1,显然+>+>0,所以<,即a<b.【光速解题】设函数f(x)=-,则f(x)=为减函数,故f(c)<f(c-1),即a<b.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如果a>b,下列不等式:a3>b3;<3a>3b;lg a>lg b.其中恒成立的是(填序号). 【解析】a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)·>0;a=-1,b=-2时,=1,=结论不成立;因为y=3x是增函数,a>b,所以3a>3b;当a,b至少有一个是非正值时,lg a>lg b,显然不成立.答案:【补偿训练】已知a,bR,且ab0,则ab-a2b2(填“<”“>”或“=”). 【解析】因为ab-a2-b2=-b2<0,所以ab-a2<b2.答案:<7.如果30<x<36,2<y<6,则x-2y的取值范围为. 【解析】因为2<y<6,所以-12<-2y<-4,又因为30<x<36,所以30-12<x-2y<36-4,即18<x-2y<32,即x-2y的取值范围为(18,32).答案:(18,32)8.(2020·孝感高一检测)甲、乙两人同时从寝室出发去教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等),则先到教室.(填“甲”或“乙”) 【解析】设甲用时间为T,乙用时间为2t,步行速度为a,跑步速度为b,距离为s所以T=+=,ta+tb=s,所以2t=所以T-2t=-=s×=s·>0,所以乙先到教室.答案:乙三、解答题(每小题10分,共20分)9.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说:“你们买团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.【解析】设该单位有职工n人(nN*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x(n-1)=x+xn,y2=xn,所以y1-y2=x+xn-xn=x-xn=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当0<n<5时,y1>y2.因此,当单位人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.10.甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食,且两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购粮1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?【解析】设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg,且ab.则甲采购员两次购粮的平均单价为=元/kg,乙采购员两次购粮的平均单价为=元/kg.因为-=,又a+b>0,ab,(a-b)2>0,所以>0,即>.所以乙采购员的购粮方式更合算.1.(2020·北京高一检测)如图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C,的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则()A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2C.x2>x3>x1 D.x3>x2>x1【解题指南】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系,即可比较出大小.【解析】选C.依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,所以x1<x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10,所以x1<x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5,所以x3<x2,所以x1<x3<x2.2.设a>0,a1,t>0,比较logat与loga的大小.【解析】logat=loga,因为-=,所以当t=1时,=;当t>0且t1时,>.因为当a>1时,y=logax是增函数,所以当t>0且t1时,loga>loga=logat.当t=1时,loga=logat.因为当0<a<1时,y=logax是减函数,所以当t>0且t1时,loga<loga=logat,当t=1时,loga=logat.综上知,当t=1时,loga=logat;当t>0且t1时,若a>1,则loga>logat,若0<a<1,则loga<logat.
