2021_2022学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用章末测评含解析北师大版必修第二册.doc

章末综合测评(二)平面向量及其应用(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题正确的是()A若R，ab，则a，b不共线B若|a|b|，则a±bC若a和b都是单位向量，则abD若m3a2b，nab，则mnD由m2n，得mn.2已知|a|8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影数量为()A B C4 D4Da在e方向上的投影为|a|cos 8×4.3若向量(1，2)，(4，2)，则|()A2 B. 5 C. 20 D. 25B因为(3，4)，所以|5.4已知向量a，b满足|a|1，|ab|，a(ab)，则|b2a|()A. 2 B2 C4 D4A|b2a|2ab|(ab)a|2.5若向量(3，4)，d(1，1)，且d·5，那么d·()A0 B4C4 D4或4Cd·d·()d·d·514.6已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若3 20，则等于()A B C1 D2D由已知，得()2()0，即20.2，2.7已知ABC的面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C D4A由已知得，外接圆的半径为R1，由三角形的面积公式，得ab sin C，又sin C，abc1.8.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120°，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为()A BC D3A如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60°，ACDACB30°，则D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，).设E(0，y)(0y)，则(1，y)，·y2y(0y)，当y时，·有最小值.故选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9已知向量ab(2，8)，ab(8，16)，则下列结论正确的是()A5B13Ca在b方向上的投影数量为Da在b方向上的投影数量为ABD由已知得a(3，4)，b(5，12)，所以5，13，a·b63.所以a在b方向上的投影为.10黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2，解得b.根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件()AA30°，B45°Bc1，cos CCB60°，c3 DC75°，A45°ABC，A错；cos C，B错；cos 60°，C错；对于D，由正弦定理得，b，故D正确11已知|a|1，a·b，|ab|1，则下列结论正确的是()A|b|1Bb在a方向上的投影数量为C|ab|Da与b的夹角等于ABCD因为|ab|2|a|2|b|22a·b1，即1|b|211，故|b|1.又|ab|2|a|2|b|22a·b3，所以|ab|，设a与b的夹角为，因为a·b|a|b|·cos ，且|a|1，所以|b|cos .由得cos .又0，所以.12设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是()A若，则点M是边BC的中点B若2，则点M在边BC的延长线上C若，则点M是ABC的重心D若xy，且xy，则MBC的面积是ABC面积的ACDA项，即，则点M是边BC的中点，所以A正确；B项，2，即，则点M在边CB的延长线上，所以B错误C项如图，设BC的中点为D，则2，由重心性质可知C正确D项，xy，且xy22x2y，2x2y1，设2，所以2x2y，2x2y1，可知B，C，D三点共线，所以MBC的面积是ABC面积的，所以D正确三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为_2或11(k，12)(4，5)(k4，7)，(k，12)(10，k)(k10，12k).因为A，B，C三点共线，所以，所以(k4)(12k)7(k10)0，整理得k29k220，解得k2或11.14如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_B，P，N三点共线存在，使.().(1).又m，m1.15在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则·_，与夹角的余弦值为_. 选，为基，则，··()22·×1×1×cos 60°.又，则与夹角的余弦值为. 16平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足a·e2，且|a|25·|ate|对任意实数t成立，则|a|的取值范围是_，2不妨设e(1，0)，由于a·e2，可设a(2，s)，则对任意实数t，有4s2|a|25·|ate|5，这等价于4s25|s|，解得|s|1，4，即s21，16，于是|a|，2.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR).(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，则a·b(1，x)·(2x3，x)2x3x20.即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1×(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，|ab|(1，0)(3，0)|(2，0)|2.当x2时，a(1，2)，b(1，2)，|ab|(1，2)(1，2)|(2，4)|2.18(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解如图所示，连接A1B2.由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2.又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知A1B120，B1A1B2105°60°45°.在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×10×200，B1B210.因此，乙船的速度的大小为×6030(海里/小时).答：乙船每小时航行30海里19.(本小题满分12分)如图，已知RtOAB中，AOB90°，OA3，OB2，M在OB上，且OM1，N在OA上，且ON1，P为AM与BN的交点，求MPN.解设a，b且，的夹角为，则b，a.又ba，ab，··5，|，|，cos .又0，.又MPN即为向量，的夹角，MPN.20(本小题满分12分)已知ABC的外接圆圆心为O，AB2，AC3，BC，求·.解··()··，在上的投影数量为|，·|·|2.同理，·|·|.·2.21(本小题满分12分)在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，已知2cos C(a cos Bb cos A)c.(1)求C；(2)若c，求ABC的面积的最大值解(1)由2cos C(a cos Bb cos A)c，得2cos Cc，所以2c cos Cc，所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由余弦定理得a2b22ab cos 7，整理得a2b2ab7，又a2b22ab，所以ab7，当且仅当ab时，取等号，所以ABC的面积为ab sin C×7×，所以ABC的面积的最大值为.22(本小题满分12分)已知ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3450.(1)求·；(2)求ABC的面积解 (1)3450，345，即(34)2(5)2.可得9224·162252.又|OA|OB|OC|1，2221，·0.同理·，·.·()·()····01.(2)|，|，又cos A，则sin A，SABC|sin A×××.- 11 -