2021_2022学年高中数学第三章不等式3.4第2课时基本不等式的应用课后巩固提升含解析新人教A版必修5.docx
第三章不等式3.4基本不等式:第2课时基本不等式的应用课后篇巩固提升基础巩固1.函数f(x)=x+-1的值域是()A.(-,-35,+)B.3,+)C.(-,-53,+)D.(-,-44,+)解析当x>0时,x+-12-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0时,x+-1=-1-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-,-53,+).答案C2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()A.1+B.1+C.3D.4解析f(x)=x+=x-2+2.x>2,x-2>0.f(x)=x-2+22+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立.又f(x)在x=a处取最小值,a=3.答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()A.2B.1C.4D.解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为,于是依题意有a+b+=4+2.由基本不等式知a+b+=4+22,即2,所以ab4,当且仅当a=b=2时,取等号.故三角形的面积S=ab2.答案A4.若x,y>0,且xy-(x+y)=1,则有()A.x+y2(+1)B.xy+1C.x+y(+1)2D.xy2(+1)解析由xy-(x+y)=1,得xy=1+(x+y),即(x+y)2-4(x+y)-40.因为x>0,y>0,所以解得x+y2+2=2(+1),当且仅当x=y时,取等号.答案A5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m解析设两条直角边长分别为am,bm,直角三角形框架的周长为lm,则斜边长为 m,ab=2,即ab=4.所以l=a+b+2=4+26.828,当且仅当a=b=2时,取等号.由于要求够用且浪费最少,故选C.答案C6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为. 解析由基本不等式可得x+4y2=4,于是44,xy1,当且仅当x=4y时,取等号.故xy的最大值为1.答案17.要建造一个容积为18 m3,深为2 m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么水池的最低造价为元. 解析设水池底的长为xm,宽为ym,则有2xy=18,即xy=9.这时水池的造价p=200xy+150×2×(2x+2y),即p=1800+600(x+y),于是p1800+600×2=1800+600×2=5400,当且仅当x=y=3时,等号成立.故水池的最低造价为5400元.答案5 4008.已知不等式k对所有正数x,y都成立,则k的最小值是. 解析因为x>0,y>0,所以x+y22(x+y)()2,即,要使k对所有正数x,y都成立,即k,故k,即k的最小值为.答案9.求函数y=(x>1)的最大值.解函数y=2+.令x-1=t(t>0),则x=1+t.所以y=2+=2+2+=2+,当且仅当t=2,即x=3时,函数取得最大值.10.为了夏季降温和减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为2万元,设每年的能源消耗费用为C(单位:万元),隔热层的厚度为x(单位:cm),二者满足函数关系式:C(x)=(0x15,k为常数).已知隔热层的厚度为10 cm时,每年的能源消耗费用是1万元.设f(x)为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值.解(1)当x=10时,C(x)=1,k=15,即C(x)=,f(x)=30×+2x=+2x(0x15).(2)f(x)=+2x=+2(x+5)-102-10=50,当且仅当=2(x+5),即x=10时,取等号.故当隔热层修建10cm厚时,总费用达到最小值50万元.能力提升1.若a<1,则a+的最大值是()A.3B.aC.-1D.解析因为a<1,所以a-1<0,因此a+=a-1+1-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,取等号,故选C.答案C2.若x>0,y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是()A.B.1C.2D.1解析0<x+y4,故选项A不正确;(当且仅当x=y=2时,取等号),且,1,1,故选项B正确;4x+y2,2,当且仅当x=y=2时,取等号,故选项C不正确;又0<xy4,故选项D不正确.故选B.答案B3.已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为()A.2B.4C.D.解析当x=-2时,y=loga1-1=-1,函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a1)的图象恒过定点A(-2,-1).点A在直线mx+ny+2=0上,-2m-n+2=0,即2m+n=2.m>0,n>0,(2m+n)(当且仅当时,等号成立).答案D4.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 解析设阴影部分的长为xdm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是ydm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+28+2×2=56.当且仅当x=,即x=12时,等号成立.答案565.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是. 解析2x+2y=12,2x+y,即2x+y2-2.x+y-2,当且仅当x=y=-1时,取等号.故x+y的取值范围是(-,-2.答案(-,-26.若x>1时,不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是. 解析由于=(x-1)+22+2=6,当且仅当x=3时,取等号.所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-<m<.答案(-)7.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要使框架围成的总面积为4 m2,问x,y分别为多少时用料最省?并求最省用料.解设框架围成的总面积为S,则S=xy+=4,y=.所以框架总长为c=2x+2y+x=(2+)x+2x+2=4+4,当且仅当x=,即x=4-4,y=2时取等号,此时用料最省,且为(4+4)m.8.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.解由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得(1)因为x>0,y>0,所以3xy=x+y+12+1,所以3xy-2-10,即3()2-2-10.所以(3+1)(-1)0.所以1,所以xy1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x>0,y>0,所以x+y+1=3xy3·,所以3(x+y)2-4(x+y)-40,所以3(x+y)+2(x+y)-20.所以x+y2.当且仅当x=y=1时,取等号.所以x+y的最小值为2.4
