2021_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算课时作业含解析新人教A版选修2_.doc

课时作业15空间向量的数量积运算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b()A1B2C3 D4解析：pq且|p|q|1，a·b3p2q·(pq)3p2p·q2q23021.答案：A2已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角是()A60° B120°C30° D90°解析：a·b(e1e2)·(e12e2)ee1·e22e11×1×2，|a|，|b|.cosa，b.a，b120°.答案：B3设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)·()0，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析：因为2()().所以()·()|2|20，所以|，即ABC是等腰三角形答案：B4已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.与 B.与C.与 D.与解析：用排除法，因为PA平面ABCD，所以PACD，故·0，排除D；因为ADAB，PAAD，又PAABA，所以AD平面PAB，所以ADPB，故·0，排除B，同理·0，排除C.答案：A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；·()0；与的夹角为60°；正方体的体积为|··|.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：如图所示，()2()2232；·(·0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为|.综上可知，正确答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.解析：将|ab|两边平行，得(ab)27.因为|a|2，|b|2，所以a·b.又a·b|a|b|cosa，b，故cosa，b.答案：7已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_解析：，··()|21，cos，异面直线a，b所成角是60°.答案：60°8如图，已知PA平面ABC，ABC120°，PAABBC6，则PC等于_解析：因为，所以|2()22222·2·2·363636002|cos60°1082×6×6×144.所以PC12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：(1)·；(2)()·()解析：(1)·a·a·cos60°a2.(2)()·()()·()()·(2)a2a2cos60°2a2cos60°a2cos60°a22a2cos60°a2.10如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角解析：因为，所以·()·()····.因为BABC，BB1AB，BB1BC，所以·0，·0，·0，又·a2，所以·a2，又·|cos，所以cos，又，0，所以，.所以异面直线BA1与AC所成的角为.|能力提升|(20分钟，40分)11a，b是两个非零向量，现给出以下命题：a·b>0a，b；a·b0a，b；a·b<0a，b；|a·b|a|b|a，b.其中的真命题有()A1个 B2个C3个 D4个解析：a，b为非零向量，|a|0，|b|0，又a·b|a|b|cosa，b且0a，b，则cosa，b>0a，b；a·b0cosa，b0a，b；a·b<0cosa，b<0a，b.因此，命题均为真命题|a·b|a|b|cosa，b1a，b0或，|a·b|a|b|a，b不正确，即命题为假命题故选C.答案：C12“a·b<0”是“a，b为钝角”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件解析：当向量a，b反向共线时，a·b<0，但此时a，b，夹角不为钝角，所以“a·b<0”“a，b”，所以“a·b<0”是“a，b为钝角”的必要不充分条件答案：必要不充分13如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.求证：CA1B1D1.证明：因为，所以·B1D1()·()22·()|2|2··|2|2|cosC1CD|cosC1CB，又因为C1CBC1CD，底面ABCD为菱形，所以|2|2|cosC1CD|cosC1CB0，即·0.所以，故CA1B1D1.14如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解析：(1)证明：，.因为BB1平面ABC，所以·0，·0.又ABC为正三角形，所以，.因为·()·()··2·|cos，2110，所以AB1BC1，(2)由(1)知·|cos，221.又|BC1|，所以cos，所以|2，即侧棱长为2.