2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程§22.1抛物线及其标准方程课后巩固提升含解析北师大版选修2_1.docx
§2抛物线2.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升A组1.若点M(x,y)满足,则动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线答案D2.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x答案A3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是()A.B.C.1D.答案D4.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标是()A.B.(2,2)C.(1,)D.(0,0)答案B5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则()A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列答案A6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x答案B7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线C上,AF的中点坐标为(2,2),则C的方程为. 答案y2=8x8.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是. 答案x=-9.若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是. 答案y2=4x10.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;(2)焦点是(-2,0);(3)准线是y=-;(4)焦点到准线的距离是2;(5)焦点到直线x=-5的距离是8.解(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:焦点为(4,0)时,=4,p=8,方程为y2=16x;焦点为(0,3)时,=3,p=6,方程为x2=12y.故所求方程为y2=16x或x2=12y.(2)焦点为(-2,0),=2,p=4,方程为y2=-8x.(3)准线为y=-,p=3,开口向上,方程为x2=6y.(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),|x0+5|=8,x0=3或x0=-13,焦点为(3,0)或(-13,0),=3或-13,p=6或-26.方程为y2=12x或y2=-52x.B组1.点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为()A.y2=16xB.y2=-16xC.y2=24xD.y2=-24x答案B2.设x1,x2R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x0,则动点P(x,)的轨迹方程是. 答案y2=4ax(y0)3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在抛物线上求一点P,使得|PM|+|PF|的值最小,并求出最小值.解抛物线的方程可化为x2=8y,其焦点为F(0,2),准线为y=-2,将x=-2代入抛物线方程,得y=,因为点M的纵坐标4>,所以点M在抛物线的上侧,如图所示,设点P到准线的距离为d,则由抛物线的定义,得|PF|=d,所以|PM|+|PF|=|PM|+d,通过观察易得,当点P和点M的横坐标相同时,|PM|+d最小,此时点P的坐标为,最小值为4-(-2)=6.4.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为 m,问:水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线上(设AA'为水面宽,且AA'=8 m),所以16=-2p×(-5),2p=,所以抛物线方程为x2=-y(-4x4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B'(B'与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由22=-y,得y=-,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+=2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.5.如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a1),求弦AB的中点M与x轴的最近距离.解设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B'(如图).由抛物线的定义,得|AF|=|AA'|=y1+=y1+,|BF|=|BB'|=y3+=y3+,y1=|AF|-,y3=|BF|-.又M是线段AB的中点,y2=(y1+y3)=.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为.4
