2021_2021学年新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.3.1组合与组合数组合数的性质课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册.doc

课时素养检测四组合与组合数、组合数的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.(多选题)下列等式正确的是()A.=B.=C.=D.=【解析】选ABC.由组合数公式知A，B，C正确，D中=，而=，故D错误.2.若=12，则n等于()A.8B.5或6 C.3或4 D.4【解析】选A.=n(n-1)(n-2)，=n(n-1)，所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1)，又nN*，且n3，所以n=8.【延伸探究】若将条件“=12”变为“=6”，结果如何？【解析】n(n-1)(n-2)=6·，又n3，解得n=7.3.满足方程=的x的值为()A.3，5B.1，3C.1，3，5D.1，3，5，-7【解析】选B.因为方程=，所以x2-x=5x-5或(x2-x)+(5x-5)=16 ，解得x=1或x=5(不合题意，舍去)，解得x=3或x=-7( 不合题意，舍去)；所以该方程的解是1或3.4.若=42，则的值为()A.6B.7C.35D.20【解析】选C.因为=42=×2×1，解得n=7，所以=35.5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A.70种B.80种C.100种D.140种【解析】选A.方法一(直接法)：一男两女，有=5×6=30种；两男一女，有=10×4=40种，共计70种.方法二(间接法)：任意选取有=84种，其中都是男医生有=10种，都是女医生有=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种.6.5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是()A.120B.72C.60D.36【解析】选C.将甲球放入A盒后分两类：一类是除甲球外，A盒还放其他球，共=24种放法；另一类是A盒中只有甲球，则其他4个球放入另外三个盒中，有·=36种放法，故总的放法有24+36=60种.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知5=(n+7)+3，则n=_. 【解析】因为5=(n+7)+3，所以5×=(n+7)×+3×(n+3)(n+2)，所以=+3，由nN*，解得n=2.答案：28.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是_； (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是_. 【解析】(1)先排前4次测试，只能取正品，有种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·=种测法，再排余下4件的测试位置，有种测法.所以共有不同测试方法··=103 680(种).(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法·(·)=576(种).答案：(1)103 680(2)576三、解答题(每小题10分，共20分)9.(1)已知=，求正整数n的值.(2)解不等式：>.【解题指南】利用组合数公式将方程或不等式化为一般的方程或不等式求解.【解析】(1)已知可化简为+1=，即=.即= ，整理得n2-3n-54=0，解得n=9或n=-6(舍去)，所以n=9即为所求.(2)由>得又nN*，所以该不等式的解集为6，7，8，9.【误区警示】1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根，(2)易忽略nN*而导致错误.2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由中的mN，nN*，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.10.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女生参加，有多少种选法？【解析】方法一：问题可以分成三类.第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有=40(种)选法；第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有=30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有=4(种)选法.根据分类加法计数原理，共有74种选法.方法二：从所有的9名学生中选出3名，有种选法，其中全为男生的有种选法.所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有-=74(种).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.某校高二年级数学组有8名女老师，4名男老师，物理组有4名女老师，3名男老师，学校决定从这两个学科组各选2名老师去镇江参加“极课大数据”培训活动，则选出的4人中恰好有2名女老师的不同方法有()A.84种B.120种C.384种D.504种【解析】选D.分3类：第一类，数学组选出2名女老师，物理组选出2名男老师，共有=84种方法，第二类，数学组选出2名男老师，物理组选出2名女老师，共有=36种方法，第三类，数学组选出1名女老师，物理组选出1名女老师，共有=384种方法，所以选出的4人中恰好有2名女老师的不同方法共有84+36+384=504种.2.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有()A.35种B.70种C.30种D.65种【解析】选B.先从7人中选出3人有=35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2=70(种).3.+=()A.B.C.D.【解析】选D.原式=+=+=+=+=.4.某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48【解析】选A.方法一：分类完成.第1类，选派1名女生、3名男生，有·种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有·种选派方案.故共有·+·=14(种)不同的选派方案.方法二：6人中选派4人的组合数为，其中都选男生的组合数为，所以至少有1名女生的选派方案有-=14(种).二、填空题(每小题5分，共20分)5.若-=(m为正整数且m4)，则m=_. 【解析】因为 -=，所以 -=，化简得(m-6)(m+1)=0，所以m=6.答案：66.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有_条. 【解析】要使路线最短，只能向东或向北走，途中不能向西或向南走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.答案：1267.以下四个式子：=；=n；÷=；=.其中正确的个数是_. 【解析】式显然成立；式中=n(n-1)(n-2)(n-m+1)，n=n(n-1)(n-2)(n-m+1)，所以=n，故式成立；对于式÷=，故式成立；对于式=，故式成立.答案：48.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种.(用数字作答) 【解析】第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有种不同的选法.根据分步乘法计数原理，共有=140种不同的安排方案.答案：140三、解答题(每小题10分，共30分)9.(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，列举出所有的选法.(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社会调查，列举出所有的选法.(3)以上两个问题有何区别与联系？【解析】(1)甲、乙；甲、丙；乙、丙.(2)甲，乙；甲，丙；乙，丙；乙，甲；丙，乙；丙，甲.(3)区别：前者没有顺序是组合问题，后者是有序问题.联系：后者是先选后排，前者是后者的一个步骤.10.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？【解析】(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有=2 100(种).所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种.(2)选取2件假货有种，选取3件假货有种，共有选取方法+=2 555(种).(3)选取3件的种数有，因此有选取方法-=6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.11.某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？【解析】可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有=6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场.综上，共有48+8+4+2+2=64(场)比赛.