2021_2022学年高中数学第一章解三角形1.2第1课时距离和高度问题课后巩固提升含解析新人教A版必修5.docx
第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离和高度问题课后篇巩固提升1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边bB.角A,B和边aC.边a,b和角CD.边a,b和角A解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.答案D2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=200米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50(+1)米C.100(+1)米D.200米解析设AB=h,在RtACB中,ACB=45°,所以BC=AB=h.在RtABD中,D=30°,所以BD=h.又因为BD-BC=CD,即h-h=200,解得h=100(+1).答案C3.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得CAB=45°,CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+)mB.6(3-)mC.6(3+2)mD.6(3-2)m解析由AB=AD+BD=CD=12CD=6(3-)m,故选B.答案B4.如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.20海里B.10海里C.10(1+)海里D.20海里解析连接AB,如图所示,由题意可知CD=20,ADC=105°,BDC=45°,BCD=90°,ACD=30°,CAD=45°,ADB=60°.在ACD中,由正弦定理,得,AD=10.在RtBCD中,BDC=45°,BCD=90°,BD=CD=20.在ABD中,由余弦定理,得AB=10(海里).故选B.答案B5.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角OAP=30°,在B处测得点P的仰角OBP=45°,又测得AOB=60°,则旗杆的高度为()A.20()mB. mC. mD.10()m解析由已知,得AO=h,BO=h,则在ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos60°,即400=3h2+h2-h2,解得h=(m).答案C6.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m. 解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则BAD=45°,CAD=30°,BDC=30°,AD=30m.在RtABD与RtACD中,tan45°=,tan30°=,则DB=30m,DC=10m.在DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°,即BC2=302+(10)2-2×30×10,解得BC=10(m).答案107.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为小时. 解析设t小时时,B城市恰好处于危险区,则由余弦定理,得(20t)2+402-2×20t×40cos45°=302,即4t2-8t+7=0,t1+t2=2,t1·t2=.故|t1-t2|=1.答案18.如图,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD=6 000 m,ACD=45°,ADC=75°,目标出现于地面B处,测得BCD=30°,BDC=15°,求炮兵阵地与目标的距离.解由ACD=45°,ADC=75°,得CAD=60°.在ACD中,由正弦定理,得,则AD=CD.在BCD中,可得CBD=135°,由正弦定理,得BD=CD.又ADB=ADC+BDC=75°+15°=90°,连接AB,则在ABD中,AB=CD=×6000=1000(m).故炮兵阵地与目标的距离为1000m.9.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.解法一在ACD中,ADC=60°-DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=.在ABC中,ABC=75°-60°=15°,ACB=60°,由正弦定理,得AB=.在ADB中,BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=.即点B,D间的距离为 km.解法二如图,过点D作DH垂直于水平线于点H,过点B作BE垂直于水平线于点E,记AD与BC的交点为M.由已知,得CDA=DCH-DAC=60°-30°=30°,所以DAC=CDA=30°,所以AC=DC.又易知MCD=MCA=60°,所以AMCDMC,所以M为AD的中点,所以BA=BD.又在ABC中,ABC=75°-60°=15°,所以AB=,所以BD=.所以点B,D间的距离为 km.4
