2021_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc
课时素养检测 二十四平面(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图所示,下列符号表示错误的是()A.lB.PlC.lD.P【解析】选A.观察图知:Pl,P,l,则l是错误的.2.下面四个说法(其中A、B表示点,a表示直线,表示平面):因为A,B,所以AB;因为A,B,所以AB;因为Aa,a,所以A;因为Aa,a,所以A.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A.B.C.D.【解析】选C.错,应写为A,B;错,应写为AB;错,推理错误,有可能A;推理与表述都正确.3.下列命题中,正确的是()A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面【解析】选B.因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上【解析】选A.如图,因为EFHG=M,所以MEF,MHG,又EF平面ABC,HG平面ADC,故M平面ABC,M平面ADC,所以M平面ABC平面ADC=AC.二、填空题(每小题4分,共8分)5.用符号语言表示以下各概念:点A,B在直线a上_; 直线a在平面内_. 答案:Aa,Baa6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是_(把正确图形的序号都填上). 【解析】图形中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MNPQ,根据两条平行直线可以确定一个平面知正确.分析可知中四点共面,中四点均不共面.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.【证明】已知=l1,=l2,=l3,且l1,l2,l3两两不平行.求证:l1,l2,l3必交于一点.证明:因为l1,l2,l1与l2不平行,所以l1l2=P,因为Pl1,Pl2,所以P=l3,故l1,l2,l3交于一点.8.(14分)如图,ABC与A1B1C1不全等,且A1B1AB,B1C1BC,C1A1CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点.【证明】如图所示,因为A1B1AB,所以A1B1与AB确定一平面,记为平面.同理,将B1C1与BC所确定的平面记为平面,C1A1与CA所确定的平面记为平面.易知=C1C.又ABC与A1B1C1不全等,所以AA1与BB1相交,设交点为P,PAA1,PBB1.而AA1,BB1,所以P,P,所以P在平面与平面的交线上.又=C1C,所以PC1C,所以AA1,BB1,CC1交于一点.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列推理错误的是()A.Al,A,Bl,BlB.A,A,B,B=ABC.l,AlAD.Al,lA【解析】选C.若直线l=A,显然有l,Al,但A.2.下列四个说法:三点确定一个平面;一条直线和一个点确定一个平面;若四点不共面,则每三点一定不共线;三条平行直线确定三个平面.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.对于,三个不共线的点可以确定一个平面,所以不正确;对于,一条直线和直线外一点可以确定一个平面,所以不正确;对于,若三点共线了,四点一定共面,所以正确;对于,当三条平行线共面时,只能确定一个平面,所以不正确.3.如果点A在直线l上,而直线l又在平面内,那么可以记作()A.Al,lB.Al,lC.Al,lD.Al,l【解析】选D.点A在直线l上记作Al,l在平面内,记作l.4.(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是()A.六边形B.五边形C.菱形D.直角三角形【解析】选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形.5.空间中四点可确定的平面有()A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个【解析】选D.当四个点在同一条直线上时,经过这四个点的平面有无数个;当这四个点为三棱锥的四个顶点时,可确定四个平面;当这四个点为平面四边形的四个顶点时,确定一个平面;当其中三点共线于l,另一点不在直线l上时,也确定一个平面,故选D.6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.A.B.C.D.【解析】选D.当a=P时,Pa,P,但a,所以错;a=P时,错;如图,因为ab,Pb,所以Pa,所以由直线a与点P确定唯一平面.又ab,由a与b确定唯一平面,但经过直线a与点P,所以与重合,所以b,故正确;两个平面的公共点必在其交线上,故正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若直线l与平面相交于点O,A,Bl,C,D,且ACBD,则O,C,D三点的位置关系是_. 【解析】因为ACBD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面,则=直线CD.因为l=O,所以O.又因为OAB,所以O直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线8.下列说法:空间三条直线两两平行,则三条直线在同一个平面内;空间三条直线两两相交,则三条直线在同一个平面内;空间四点E,F,G,H在同一平面内,则直线EF与GH可能平行,也可能相交.其中正确的序号是_. 【解析】三棱柱的三条侧棱两两平行,但三条侧棱所在直线不在同一平面内,故错;若三条直线交于同一点,则三条直线可能不在同一平面内,故错;同一平面内的两条直线不平行,就相交,故正确.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在四面体A -BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.【证明】因为MPQ,直线PQ平面PQR,MBC,直线BC平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.10.(12分)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置;(2)设lA1B1=P,求线段PB1的长.【解析】(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.(2)因为M为AA1的中点,AA1DD1,所以AD=A1E=A1D1=a.因为A1PD1N,且D1N=a,所以A1P=D1N=a,于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.11.(14分)已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.【证明】(1)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且Ka.因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N所以NK,即b.同理,c,d,所以a,b,c,d共面.(2)无三线共点情况,如图.设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为ad=M,所以a,d可确定一个平面.因为Nd,Qa,所以N,Q.所以NQ,即b.同理,c,所以a,b,c,d共面.由(1)(2)可知,a,b,c,d共面.【补偿训练】已知:如图,空间四边形ABCD中,E、H分别为BC、AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DFFC=DGGA=12.求证:直线EF、BD、HG交于一点.【解题指南】先证EF、HG一定相交于一点,再证这一点在直线BD上.【证明】连接EH、AC、FG.因为E、H分别为BC、AB的中点,所以EH=AC且EHAC.因为DFFC=12,DGGA=12,所以FGAC,FG=AC,所以EHFG且EHFG.所以E,F,G,H四点共面且EF与GH不平行.所以EF与GH相交.设EFGH=O,则OGH,OEF.因为GH平面ABD,EF平面BCD,所以O平面ABD,O平面BCD.因为平面ABD平面BCD=BD,所以OBD,即直线EF、BD、HG交于一点.
