2021_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1第2课时空间中直线平面的垂直素养作业提技能含解析新人教A版选择性必修第一册.doc
第一章1.41.4.1第2课时请同学们认真完成练案 7 A组·素养自测一、选择题1若n(1，2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是(C)A(1，2,0)B(0，2,2)C(2，4,4)D(2,4,4)解析(2，4,4)2(1，2,2)2n，(2，4,4)可作为的一个法向量2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是(A)AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)解析选项A：P(2,3,3)，(1,4,1)，则n·61260，n，P(2,3,3)在内，故A正确，同理B，C，D不正确3已知平面的法向量为n(2，2,4)，(1,1，2)，则直线AB与平面的位置关系为(A)AABBABCAB与相交但不垂直DAB解析平面的法向量为n(2，2,4)，(1,1，2)，n2，n，即直线AB与平面垂直故选A4(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,2,3)，B(0，2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP平面OAB，则P点坐标可能为(AD)A(12，3,0)B(7,2，4)C(6,3,5)D(5，1,1)解析设P(x，y，z)，由CP平面OAB，可得CPOA，CPOB，即可得将四个选项代入检验可得正确选项将(12，3,0)代入满足方程组，所以选项A正确；将(7,2，4)代入不满足方程组，所以B不正确；将(6,3,5)代入不满足方程组，所以C不正确；将(5，1,1)代入不满足方程组，所以D不正确故选AD5(多选题)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(ABD)A·0B·0C·0D·0解析PA平面ABCD，BDPA又ACBD，ACPAA，BD平面PAC，PC平面PAC，PCBD故ABD成立二、填空题6同时垂直于a(2,2,1)、b(4,5,3)的单位向量是_或_解析设所求向量为c(x，y，z)，则解得或7设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_垂直_解析a·b0，所以8已知A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为_(1,0,2)_解析由题意得(x,1，z)，(1，1，1)，(2,0,1)，由，得·x1z0，由，得·2xz0，解得故点P的坐标为(1,0,2)三、解答题9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC平面BEF解析如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2，2，0)、D(0,2，0)、P(0,0,2)又E、F分别是AD、PC的中点，E(0，0)、F(1，1)(2,2，2)、(1，1)、(1,0,1)，·2420，·2020，PCBF，PCEF又BFEFF，PC平面BEF10如图所示，ABC是一个正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD求证：平面DEA平面ECA证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA2，则CE2，BD1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0，2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)所以(，1，2)，(0,0,2)，(0,2，1)分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨设n1(1，0)，n2(，1,2)，因为n1·n20，所以n1n2所以平面DEA平面ECAB组·素养提升一、选择题1如图，在三棱锥ABCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DBDC，E为BC中点，则·等于(A)A0B1C2D3解析如图，建立空间直角坐标系，设DCDBa，DAb，则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E，所以(a，a,0)，·002已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为(B)A，4B，4C，2,4D4，15解析，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得3(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)、(4,2,0)、(1,2，1)则(ABC)AAPABBAPADC是平面ABCD的法向量D解析·2×(1)(1)×2(4)×(1)2240，则·4×(1)2×200，则，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量AA(2,3,4)，显然B4(多选题)已知直线l1的方向向量是a(2,4，x)，直线l2的方向向量是b(2，y,2)若|a|6，且a·b0，则xy的值是(CD)A1B3C3D1解析由题意知|a|6，解得x±4，由a·b44y2x0得，x2y2当x4时，y3，所以xy1当x4时，y1，所以xy3综上，xy3或1二、填空题5空间直角坐标系中，两平面与分别以n1(2,1,1)与n2(0,2,1)为其法向量，若l，则直线l的一个方向向量为_(写出一个方向向量的坐标)解析设直线l的一个方向向量为a(x，y，z)，由两平面与分别以n1(2,1,1)与n2(0,2,1)为其法向量，可得a·n12xyz0，a·n22yz0，可得z2y，xy，可设y1，则x，z2，可得a6如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_垂直_解析以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E，F，(1,1，1)，(0，1,1)，设平面PBC的一个法向量n(x，y，z)，则n·0，n·0，即取y1，则z1，x0，n(0,1,1)n，n，EF面PBC7如图所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_2_解析以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，(1，x，z)，(1，ax,0)由·0，得1x(ax)0，即x2ax10当a240，即a2时，点Q只有一个三、解答题8如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D证明如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)(1)(0，2，2)、(2,2，2)，·0440，BC1AB1(2)取A1C的中点E，E(1,0,1)，(0,1,1)，又(0，2，2)，且ED和BC1不共线，则EDBC1又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D9如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90°，侧面PAD底面ABCD若PAABBCAD(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由解析因为PAD90°，所以PAAD又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCDBAD90°，所以AB，AD，AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)证明：(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得·0，·0，所以APCD，ACCD又因为APACA，所以CD平面PAC(2)设侧棱PA的中点是E，则E，设平面PCD的法向量是n(x，y，z)，则因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)所以n·(1,1,2)·0，所以n因为BE平面PCD，所以BE平面PCD综上所述，当点E为PA的中点时，BE平面PCD
