2021_2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积优质作业含解析新人教B版必修第四册.docx
第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础达标练1.圆台的体积为7,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()A.3B.4C.5D.6答案A解析由题意,V=13(+2+4)h=7,h=3.2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()A.1B.12C.32D.34答案D解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,r=2R.故V柱V锥=R2h13r2h=34.故选D.3.(2020全国高一课时练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.4答案B解析绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得AC=1,AB=12,所以圆柱的底面半径r=12-122=32,所以圆柱的体积是V=r2h=×322×1=34.4.(2020全国高一课时练习)如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为()A.8273B.4273C.16273D.32273答案D解析由题意,设球的半径为r,作出球的组合体的轴截面(图略),可得一个半径为r的圆内切于一个边长为4的正三角形,此时正三角形的高为h=23,根据三角形重心的性质可得,球的半径为r=13h=233,所以球的体积为V=43r3=43×2333=32327,即溢出溶液的体积为32327.5.(2020全国高一课时练习)算数书中记载有求“盖”的体积的方法:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.355113答案B解析设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意,L=2r,13r2h=275(2r)2h,所以13=8752,即的近似值为258,故选B.6.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为()A.1B.2C.3D.4答案A解析设两球的半径分别为R,r(R>r),则由题意得43R3+43r3=12,2R+2r=6,解得R=2,r=1.故R-r=1.故选A.7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论正确的是()A.AC平面BEFB.AE,BF始终在同一个平面内C.EF平面ABCDD.三棱锥A-BEF的体积为定值答案ACD解析由AC平面BB1D1D,即AC平面BEF,A对;EFBD,BD面ABCD,EF面ABCD,得EF平面ABCD,C对;SBEF=12×22×1=24,设AC,BD交于点O,AO平面BB1D1D,AO=22VA-BEF=13×24×22=112,D对;B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,AE,BF不在同一个平面内,B错误.故选ACD.8.已知圆锥SO的高为4,体积为4,则底面半径r=. 答案3解析设底面半径为r,则13r2×4=4,解得r=3,即底面半径为3.9.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是. 答案10解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120.因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1,由长方体的性质知CC1底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12CD·BC·CE=13×12AB·BC·12CC1=112×120=10.10.一个正方体的八个顶点都在体积为43的球面上,则正方体的表面积为. 答案8解析由43R3=43,得R=1.设正方体的棱长为a,则3a=2R,所以a=23,故正方体的表面积S表=6a2=6×232=8.11.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球的质量为145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(取3.14,结果精确到1 cm,2.24311.240 98).解由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×43×5023516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000<516792,所以钢球是空心的.设球的直径为2xcm,那么球的质量为7.9×43×5023-43x3=145000.解得x311240.98,x22.4,2x45.即钢球是空心的,其内径约为45cm.能力提升练1.(2015课标全国,理6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.米堆底部弧长为8尺,14·2R=8,R=16.体积V=14×13·R2h=112××162×5.3,V3209(尺3).堆放的米约为3209×1.6222(斛).2.三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x0,3),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是()答案A解析V=13SAMC·NO=1312×3x×sin30°·(8-2x)=-12(x-2)2+2,x0,3.故选A.3.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.56B.62C.2D.512答案B解析作出过正方体的对角面的截面,如图所示,设球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC=2a2,在RtC'CO中,得CC'2+OC2=OC'2,即a2+2a22=R2,解得R=62a,所以半球的体积为V1=12×43R3=23×62a3=62a3,正方体的体积为V2=a3,所以半球与正方体的体积比为62a3a3=62,故选B.4.有64个直径都为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲>V乙且S甲>S乙B.V甲<V乙且S甲<S乙C.V甲=V乙且S甲>S乙D.V甲=V乙且S甲=S乙答案C解析计算得V甲=16a3,S甲=4a2,V乙=16a3,S乙=a2,V甲=V乙,且S甲>S乙.故选C.5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2R2B.圆锥的侧面积为2R2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为312答案CD解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2R×2R=4R2,A错误;圆锥的母线长为(2R)2+R2=5R,故圆锥的侧面积为R×5R=5R2,B错误;球面面积为4R2,等于圆柱的侧面积,C正确;V圆柱=R2·2R=2R3,V圆锥=13R2·2R=23R3,V球=43R3,V圆柱V圆锥V球=2R323R343R3=312,D正确.6.如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm. 答案29解析设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知·32·h2+·12·(20-h2)=·12·h1+·32·(28-h1),整理得8(h1+h2)=232,所以h1+h2=29.7.(2019全国)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为. 图1图2答案262-1解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=2×22x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.8.(2020全国高一课时练习)在半径为15的球O内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.解如图所示,由题意知OA=OB=OC=OD=15.设H为BCD的中心,则A,O,H三点在同一条直线上.HB=HC=HD=23×32×123=12,OH=OB2-HB2=9.正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.又SBCD=12×32×(123)2=1083,VA-BCD=13×1083×24=8643.如图所示,同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,SBCD=1083,VA-BCD=13×1083×6=2163.综上,正三棱锥A-BCD的体积为8643或2163.素养培优练如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?解(1)因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V球=43R3=43·27=36(cm3).又圆柱筒的体积为V圆柱=R2·h=×9×2=18(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36+18=54169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4R2=4××9=36(cm2),又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2Rh=2××3×2=12(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=36+12104=48104(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×48104=12(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12=1200(克).
