2021_2021学年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用训练含解析新人教A版必修.doc

第一章三角函数16三角函数模型的简单应用A组学业达标1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 sB sC0.5 s D1 s解析：单摆来回摆动一次所需的时间为函数s6sin的周期又因为T1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s，故选D.答案：D2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，“五一”期间某一天商场的人流量满足函数F(t)504sin(t0)，则人流量增加的时间段是()A0，5 B5，10C10，15 D15，20解析：由2k2k，kZ，知函数F(t)的单调递增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5因为10，153，5，故选C.答案：C3设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t/时03691215182124y/米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(t)的图象下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sint，t0，24By123sin，t0，24Cy123sint，t0，24Dy123sin，t0，24解析：在给定的四个选项中，我们不妨代入t0及t3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.答案：A4.如图所示的是一半径为3 m的圆形水轮，水轮的中心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始旋转，15 s旋转一圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式yAsin(x)2，则有()A，A3 B，A3C，A5 D，A5解析：T15，.显然ymaxymin6，A3.答案：A5.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角(<<)与时间t(s)满足函数关系式sin，t0，)，则当t0时，角的大小及单摆频率是()A2， B.，C.， D2，解析：当t0时，sin，由函数解析式易知单摆周期为，故单摆频率为.答案：B6已知某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i5sin，t0，)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行_次解析：周期T(s)，频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次答案：257据市场调查，某种商品每件的售价按月份x呈f(x)Asin(x)B的模型波动，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)_，x1，2，12.解析：由题意得解得周期T2×(73)8，f(x)2sin6.又当x3时，y8，82sin6.sin1.|<，.f(x)2sin6.答案：2sin68一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间的关系的一个三角函数关系式为_t/s00.10.20.30.40.50.60.70.8y/cm4.02.80.02.84.02.80.02.84.0解析：设yAsin(t)，则从表中可以得到A4，T0.8，y4sin.又由4sin 4.0，得sin 1，取，故y4sin4cost，t0.答案：y4cost，t09已知某地一天从416时的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4，16(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？解析：(1)由函数易知，当x14时，函数取得最大值，此时最高温度为30 ，当x6时，函数取得最小值，此时最低温度为10 ，所以最大温差为301020.(2)令10sin2015，得sin，因为x4，16，所以x.令10sin2025，得sin.因为x4，16，所以x.故该细菌能存活的最长时间为(小时)10如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解析：(1)由已知可设y40.540cos t，t0，由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6，即，所以y40.540cost(t0)(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米由60.540.540cost0，得cost0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟)B组能力提升11动点A(x，y)在圆x2y2 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知当时间t0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A0，1 B1，7C7，12 D0，1和7，12解析：由已知可得该函数的周期T12，.又当t0时，A，ysin，t0，12可解得函数的单调递增区间是0，1和7，12答案：D12.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是() 解析：如图，过O作ODAP于D.由题意知，AOD，OA1，AD，sin，即d2sin.结合图象知选C.答案：C13如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A>0，>0)，x0，4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120°，则M，P两点间的距离为_km.解析：依题意，有A2，3.又因为T，所以，所以y2sinx，x0，4当x4时，y2sin3，所以M(4，3)又因为P(8，0)，所以|MP|5(km)，即M，P两点间的距离为5 km.答案：514某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数yaAcos(x1，2，3，12)来表示已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温为_.解析：根据题意得28aA，18aAcosaA，解得a23，A5，所以y235cos.令x10，得y235cos235cos20.5.答案：20.515.如图，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面距离是h.(1)求h与之间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少解析： (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为，故点B坐标为.h5.64.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.h5.64.8sin，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin1，得t，t30.缆车到达最高点时，用的最少时间是30 s.16某港口水的深度y(m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，记作y f(t)，下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，yf(t)的曲线可以近似地看成函数yAsin xb的图象(1)试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5 m或5 m以上时是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?解析：(1)由已知数据，易知函数yf(t)的周期T12，振幅A3，b10，y3sint10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于56.511.5(m)，3sint1011.5，sint，解得2kt2k(kZ)，即12k1t12k5(kZ)，在同一天内，取k0或k1，1t5或13t17.该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时