2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2导数的运算法则课时素养评价含解析新人教A版选修2_.doc
课时素养评价四导数的运算法则(15分钟30分)1.函数y=xcos x-sin x的导数为()A.xsin xB.-xsin xC.xcos xD.-xcos x【解析】选B. y=(xcos x)-(sin x)=xcos x+x(cos x)-cos x=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.2.函数f(x)=x2+ln x+sin 3x+1的导数是()A.f(x)=2x+cos 3x+1B.f(x)=2x-+cos 3xC.f(x)=2x+-cos 3xD.f(x)=2x+cos 3x【解析】选D.由f(x)=x2+ln x+sin 3x+1,得f(x)=2x+cos 3x.3.(2020·全国卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.4.已知函数f(x)=x3+2f(1)x-3,则f(2)=_. 【解析】由f(x)=x3+2f(1)x-3,得f(x)=3x2+2f(1),令x=1得f(1)=3+2f(1),解得f(1)=-3,所以f(x)=3x2-6,所以f(2)=6.答案:65.已知函数f=x3+x-16.(1)求f.(2)求曲线y=f在点处的切线的方程.【解析】(1) f=3x2+1.(2)可判定点在曲线y=f上.因为f(x)=3x2+1,所以在点处的切线的斜率k=f=13.所以切线的方程为y+6=13,即y=13x-32.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·全国卷)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0【解析】选C.由y=2sin x+cos x可得y=2cos x-sin x,当x=时,y=-2,即切线的斜率为-2,所以切线方程为2x+y-2+1=0.2.(2020·北京高二检测)下列求导正确的是()A.=1+B.=C.(x2sin x)=-2xcos xD.(xln x)=ln x+【解析】选A.对于A选项,=1+,故A选项正确.对于B选项, =,故B选项错误.对于C选项,(x2sin x)=2xsin x+x2cos x,故C选项错误.对于D选项,(xln x)=ln x+1,故D选项错误.3.(2020·龙岩高二检测)已知曲线f(x)=xcos x+3x在点(0,f(0)处的切线与直线ax+4y+1=0垂直,则实数a的值为()A.-4B.-1C.1D.4【解析】选C.由题意,f=cos x-xsin x+3,f=cos 0+3=4,则曲线f在点处的切线斜率为4,由于切线与直线ax+4y+1=0垂直,则-×4=-1,解得a=1.4.已知函数f的导数为f,f=2x2-3xf+ln x,则f=()A.B.C.D.【解析】选D.f=2x2-3xf+ln x,所以f=4x-3f+,将x=2代入得f=8-3f+f=.5.(2020·桂林高二检测)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是()A.1B.C.1或D.1或-【解析】选C.因为(0,0)在f(x)上,当O(0,0)为f(x)的切点时,因为f(0)=2,所以直线l的方程为y=2x,又直线l与y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足=4-4a=0,得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时,设切点为(x0,-3+2x0),则f(x0)=3-6x0+2,所以=3-6x0+2,得x0=,所以f=-,所以直线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0,由题意得=-4a=0,所以a=.综上得a=1或a=.【误区警示】若条件含有过一点作曲线的切线时,解题要注意讨论该点是否在曲线上,否则容易漏解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·天津高考)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为_. 【解析】y=-sin x-,当x=0时其值为-,故所求的切线方程为y-1=-x,即x+2y-2=0.答案:x+2y-2=07.(2020·重庆高二检测)已知函数f=fex+x2-1,f是f(x)的导数,则f(1)=_. 【解析】f(x)=f(1)ex+2xf(1)=,所以f(1)=.答案:【补偿训练】已知f=x2+2xf,则f=_. 【解析】f=2x+2f,令x=-,则f=-+2f,故f=.答案:8.(2020·赤峰高二检测)设P为曲线C:y=x3-x2+2上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为_. 【解析】由于曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是,则切线斜率的取值范围是,对函数y=x3-x2+2求导得y=3x2-2x,令0y1,即03x2-2x1,解不等式3x2-2x0,得x0或x;解不等式3x2-2x1,即3x2-2x-10,解得-x1.所以,不等式组03x2-2x1的解集为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数:(1)y=x.(2)y=.(3)y=3xex-2x+e.(4)y=sin(x2).【解析】(1)因为y=x=x3+1+,所以y=3x2-.(2)y=-.(3)y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln 3·ex+3xex-2xln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.(4)因为y=sin(x2),所以y=2xcos(x2).10.已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若过点(0,0)的直线l与函数y=f(x)的图象相切,求l的方程.【解析】(1)y=2xln x+x,x=1时,y=0,y=1,所以这个图象在x=1处的切线方程为y=x-1.(2)设l与这个图象的切点为(x0,ln x0),l的方程为y-ln x0=(2x0ln x0+x0)(x-x0),由l过点(0,0),所以-ln x0=(2x0ln x0+x0)(-x0),所以ln x0=2ln x0+1,所以ln x0=-1,所以x0=,所以l的方程为y=-x.1.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4【解析】选B.将点代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1,得k=-,所以,f=k=-,由于点在函数y=f的图象上,则f=1,对函数g=xf求导得g=f+xf,所以g=f+3f=1+3×=0.2.已知函数f(x)=x3-2x2+ax(xR,aR),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.则实数a的值为_,切线l的方程为_. 【解析】因为f(x)=x3-2x2+ax,所以f(x)=x2-4x+a.由题意可知,方程f(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根.所以=16-4(a+1)=0,所以a=3.所以f(x)=x2-4x+3=-1,即x2-4x+4=0.解得切点横坐标为x=2,所以f(2)=×8-2×4+2×3=,所以切线l的方程为y-=(-1)×(x-2),即3x+3y-8=0.所以a=3,切线l的方程为3x+3y-8=0.答案:33x+3y-8=0
