2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程§33.2双曲线的简单性质课后巩固提升含解析北师大版选修2_1.docx

3.2双曲线的简单性质课后篇巩固提升A组1.已知双曲线C:=1(a,b>0)的离心率为,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线C的实轴长为()A.B.2C.2D.4答案C2.已知双曲线C:x2-=1的一个焦点为(-2,0),则双曲线C的一条渐近线方程为()A.x+y=0B.x+y=0C.x+y-=0D.x+y-=0答案B3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()A.B.C.D.答案D4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案A5.已知双曲线=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则=()A.-12B.-2C.0D.4答案C6.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0答案C7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为54,则双曲线的标准方程是. 答案=18.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是. 答案x2-=19.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为. 答案(±4,0)x±y=010.已知双曲线C与椭圆=1有相同的焦点,且它们的离心率之和为,求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长.解由=1可知椭圆中=25,=9,所以c2=16,解得c=4,所以椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),离心率为e1=,不妨设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则其离心率e=2,由c=4,可知a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12,b=2,故所求双曲线的标准方程为=1,渐近线方程为y=±x,实轴长为2a=4,虚轴长为2b=4.B组1.已知0<<,则双曲线C1:=1与C2:=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案D2.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若MAN=60°,则C的离心率为()A.2B.C.D.答案B3.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点B,则双曲线的离心率等于. 答案24.设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.求双曲线C的离心率e的取值范围.解由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.解得a(0,1)(1,),双曲线的离心率为e=,a(0,1)(1,),e(,+),即离心率取值范围为(,+).5.过双曲线=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|;(2)求AOB的面积;(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.(1)解由双曲线的方程得a=,b=,c=3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0,x1+x2=-,x1x2=-,|AB|=|x1-x2|=.(2)解直线AB的方程变形为x-y-3=0.原点O到直线AB的距离为d=.SAOB=|AB|·d=.(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,而直线AB的斜率为,故点A,B不可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线右支上,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2,|BF1|-|BF2|=2,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.同理,若点A在双曲线右支上,点B在双曲线左支上,同样成立.3