2017年江苏数学高考试卷含答案和解析.docx

2017 年江苏数学高考试卷一.填空题1（5 分）已知集合 A =1，2，B =a，a +3若 A B =1，则实数 a 的值为22（5 分）已知复数 z=（1+i）（1+2i），其中 i是虚数单位，则 z 的模是3（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4（5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是5（5 分）若 tan（ ）= 则 tan=6（5 分）如图，在圆柱 O O 内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记12圆柱 O O 的体积为 V ，球 O 的体积为 V ，则的值是12127（5 分）记函数 f（ x）=定义域为 D 在区间4，5上随机取一个数 x，则 xD的概率是2017 数学1 8（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，Q ，其焦点是 F ，F ，则四边形 F PF Q 的面积是12129（5 分）等比数列a 的各项均为实数，其前 n 项为 S ，已 知 S = ，S =，则 a =nn36810（5 分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 11（5 分）已知函数 f（x）= x 2x+ e x，其 中 e 是自然对数的底数若 f（a1）+f（2a ）230则实数 a 的取值范围是12（5 分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ， 与 的夹角为 ，且 tan=7， 与 的夹角为 45°若 =m +n （m ，nR ），则 m +n=13（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（12，0），B（0，6），点 P 在圆 O ：x2+y2=50上若20，则点 P 的横坐标的取值范围是14（5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，f（x）=，其中集合 D =x|x=，nN ，则方程 f（x）lgx=0 的解的个数是*二.解答题15（14 分）如图，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC BD ，平面 ABD 平面 BCD ，点E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD ，BD 上，且 EF AD 求证：（1）EF 平面 ABC ；（2）AD AC 2017 数学2 16（14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， = （3， ），x0，（1）若 ，求 x 的值；（2）记 f（x）=，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值17（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F ，F ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象12限，过点 F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作直线 PF 的垂线 l111222（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l，l 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标1218（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm ，容器的底面对角线 AC 的长为 10 cm ，容器的两底面对角线 EG ，E G 的长分11别为 14cm 和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l放在容器中，l的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 上，求 l没入水中部分1的长度；（2）将 l放在容器中，l的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 上，求 l没入水中部分1的长度2017 数学3 19（16 分）对于给定的正整数 k，若数列 a 满足： a +a+a +a +annknk+1n1n+1n+k+a =2ka 对任意正整数 n（nk）总成立，则称数列a 是“P（k）数列”1n+knn（1）证明：等差数列a 是“P（3）数列”；n（2）若数列a 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：a 是等差数列nn20（16 分）已知函数 f（x）= x + ax +bx+1（a0，bR）有极值，且导函数 f（x）的极值23点是 f（x）的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 3a；2（3）若 f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 0 分）21如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C ，AP PC ，P 为垂足求证：（1）PAC = CAB ；（2）AC =AP AB 2选 修 4-2：矩阵与变换22已知矩阵 A=（1）求 AB ；，B =（2）若曲线 C ：=1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C ，求 C 的方程1222017 数学4 选 修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l的参数方程为（t为参数），曲线 C 的参数方程为值（s 为参数）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l的距离的最小选修 4-5：不等式选讲24已知 a，b，c，d 为实数，且 a +b =4，c +d =16，证明 ac+bd82222【必做题】25如图，在平行六面体ABCD A B C D 中，AA 平面 ABCD ，且 AB =AD =2 ，AA =，111111BAD =120°（1）求异面直线 A B 与 AC 所成角的余弦值；11（2）求二面角 BA D A 的正弦值126已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，nN ，n2），这些球除颜色外全部相同现*将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，m +n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（k=1，2，3，m +n）123m +n（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p；（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E （X ）是 X 的数学期望，证明 E（X）2017 数学5 2017 年江苏高考数学参考答案与试题解析一.填空题1（5 分）（2017 江苏）已知集合 A =1，2，B =a，a +3若 A B =1，则实数 a 的值为21 【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 A =1，2，B =a，a +3A B =1，2a=1 或 a +3=1 ，2解得 a=1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用2（5 分）（2017 江苏）已知复数 z=（1+i）（1+2i），其中 i是虚数单位，则 z 的模是【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：复数 z=（1+i）（1+2i）=12+3i=1+3i，|z|=故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5 分）（2017 江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件【分析】由题意先求出抽样比例即为的数目，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取【解答】解：产品总数为 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 辆进行检验，抽样比例为=，2017 数学6 则应从丙种型号的产品中抽取 300×故答案为：18=18 件，【点评】本题的考点是分层抽样分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取4（5 分）（2017 江苏）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为 ，则输出 y 的值是 2 【分析】直接模拟程序即得结论【解答】解：初始值 x=所以 y=2+ log =2故答案为：2，不满足 x1，= 2，2【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题5（5 分）（2017 江苏）若 tan（ ）= 则 tan=【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：tan（ ）=6tan6=tan+1，2017 数学7 解得 tan= ，故答案为： 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6（5 分）（2017 江苏）如图，在圆柱 O O 内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母12线均相切，记圆柱 O O 的体积为 V ，球 O 的体积为 V ，则的值是1212【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果【解答】解：设球的半径为 R ，则球的体积为：圆柱的体积为：R22 R=2R3R ，3则= 故答案为： 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力7（5 分）（2017 江苏）记函数 f（x）=个数 x，则 xD 的概率是 定义域为 D 在区间4，5上随机取一【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：由 6+ xx 0 得 x x60，得2x3，22则 D =2，3，则在区间4，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率 P= ，2017 数学8 故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键8（5 分）（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线y =1 的右准线与它的两条2渐近线分别交于点 P，Q ，其焦点是 F ，F ，则四边形 F PF Q 的面积是1212【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积【解答】解：双曲线 y =1 的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y=2x，所以 P（ ，）， Q （ ，），F （2，0）F （2，0）12则四边形 F PF Q 的面积是：=212故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力9（5 分）（2017 江苏）等比数列a 的各项均为实数，其前 n 项为 S ，已知 S = ，S =，nn36则 a = 32 8【分析】 设等比数列 a 的公比 为 q1 ， S = ， S =，可得= ，n36=，联立解出即可得出【解答】解：设等比数列a 的公比为 q1，nS = ，S =，= ，=，36解得 a = ，q=21则 a =328故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中2017 数学9 档题10（5 分）（2017 江苏）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是30 【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4 x，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x4×2×=240（万元）当且仅当 x=30 时取等号故答案为：30【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5 分）（2017 江苏）已知函数 f（x）= x 2x+ e x，其中 e 是自然对数的底数若 f3（a1）+ f（2a ）0则实数 a 的取值范围是 1， 2【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为 2a 1a，运用二次不等式的解2法即可得到所求范围【解答】解：函数 f（x）= x 2x+ e x的导数为：3f（x）=3x 2+e +x2+2=0，2可得 f（x）在 R 上递增；又 f（x）+ f（x）= （x） +2 x+ ee +x 2x+ e =0，3xx3x可得 f（x）为奇函数，则 f（a1）+ f（2a ）0，2即有 f（2a ）f（a1）=f（1a），2即有 2a 1a，22017 数学10 解得1a ，故答案为：1， 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题12（5 分）（2017 江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ，与 的夹角为 ，且 tan=7， 与 的夹角为 45°若 =m +n （m ，nR），则m +n= 3 【分析】如图所示，建立直角坐标系A （1，0）由 与 的夹角为 ， 且 tan=7可得cos=，sin=C可 得 co（s +45 ）=°°s i（n +45 ）= B利用 =m +n （m ，nR），即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A （1，0）由 与 的夹角为 ，且 tan=7cos=C，sin=cos（+45°）=（cossin）=sin（+45 ）=°（sin+cos）= B =m +n （m ，nR）， =m n， =0+ n，2017 数学11 解得 n= ，m = 则 m + n=3故答案为：3【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5 分）（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A（12，0），B（0，6），点 P 在圆 O ：x +y =50 上若2 220，则点 P 的横坐标的取值范围是 5 ，1 【分析】根据题意，设 P（x ，y ），由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x +y +50，分0000析可得其表示表示直线 2x+y+50 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案【解答】解：根据题意，设 P （x ，y ），则有 x +y =50 ，220000=（12x ，y ） （x ，6y ）=（12+ x ）x y （6y ）=12 x +6y+x +y 20，2020000000000化为：12x +6 y +300，00即 2x +y +50，表示直线 2x+y+50 以及直线下方的区域，00联立，解可得 x = 5 或 x =1，00结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x 的取值范围是5 ，1，0故答案为：5 ，12017 数学12 【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 x 、y 的关系式0014（5 分）（2017 江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，f（x）=8 ，其中集合 D =x|x=，nN ，则方程 f（x）lgx=0 的解的个数是*【分析】由已知中（f x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，（f x）=，其中集合 D =x|x=案，nN ，分析 f（x）的图象与 y=lgx图象交点的个数，进而可得答*【解答】解：在区间0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间1，2）上，f（x）=，此时 f（x）的图象与 y= lgx 有且只有一个交点；同理：区间2，3）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；区间3，4）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；区间4，5）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；2017 数学13 区间5，6）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；区间6，7）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；区间7，8）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；区间8，9）上，f（x）的图象与 y=lgx有且只有一个交点；在区间9，+）上，f（x）的图象与 y= lgx无交点；故 f（x）的图象与 y= lgx有 8 个交点；即方程 f（x）lgx=0 的解的个数是 8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档二.解答题15（14 分）（2017 江苏）如图，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC BD ，平面 ABD 平面 BCD ，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD ，BD 上，且 EF AD 求证：（1）EF 平面 ABC ；（2）AD AC 【分析】（1）利用 AB EF 及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 CD 上点 G ，连结 FG 、EG 使得 FG BC ，则 EG AC ，利用线面垂直的性质定理可知 FG AD ，结合线面垂直的判定定理可知 AD 平面 EFG ，从而可得结论【解答】证明：（1）因为 AB AD ，EF AD ，且 A、B、E 、F 四点共面，所以 AB EF ，又因为 EF 平面 ABC ，AB 平面 ABC ，所以由线面平行判定定理可知：EF 平面 ABC ；（2）在线段 CD 上取点 G ，连结 FG 、EG 使得 FG BC ，则 EG AC ，因为 BC BD ，所以 FG BC ，2017 数学14 又因为平面 ABD 平面 BCD ，所以 FG 平面 ABD ，所以 FG AD ，又因为 AD EF ，且 EF F G =F，所以 AD 平面 EFG ，所以 AD EG ，故 AD AC 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题16（14 分）（2017 江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， = （3， ），x0，（1）若 ，求 x 的值；（2）记 f（x）=，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值，问题得以解决，【分析】（1）根据向量的平行即可得到 tanx=（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1） =（cosx，sinx）， =（3， ）， ， cosx=3sinx，tanx=x0，x=，（2）f（x）=x0，=3cosx sinx=2（cosx sinx）=2 cos（x+），x+ ，2017 数学15 1cos（x+当 x=0 时，f（x）有最大值，最大值 3，当 x= 时，f（x）有最小值，最大值2） ，【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17（14 分）（2017 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F ，F ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 P 在椭圆 E 上，且位12于第一象限，过点 F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作直线 PF 的垂线 l111222（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l，l 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标12【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得 a=2c，由椭圆的准线方程 x=±即可求得 a 和 c 的值，则 b =a c =3，即可求得椭圆方程；，则 2×=8，222（2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF 的斜率及直线 PF 的斜率，则即可求得 l 及 l 的斜率2121及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 y =x 1，联立即可求得 P 点坐标；2200【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率 e= = ，则 a=2 c，椭圆的准线方程 x=± ，由 2× =8 ，由解得：a=2，c=1，则 b =a c =3 ，222椭圆的标准方程：；2017 数学16 （2）设 P（x ，y ），则直线 PF 的斜率=，002则直线 l 的斜率 k =，直线 l 的方程 y=（x1），（x+1），222直线 PF 的斜率=，1则直线 l 的斜率 k =，直线 l 的方程 y=222联立，解得：，则 Q （x ，），0由 Q 在椭圆上，则 y =，则 y =x 1，22000则，解得：，则，又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：P（ ， ）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题2017 数学17 18（16 分）（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm ，容器的底面对角线 AC 的长为 10 cm ，容器的两底面对角线 EG ，E G 的长分别为 14cm 和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一11根玻璃棒 l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l放在容器中，l的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 上，求 l没入水中部分1的长度；（2）将 l放在容器中，l的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 上，求 l没入水中部分1的长度【分析】（1）设玻璃棒在 CC 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，过 N 作 NP MC ，1交 AC 于点 P ，推导出 CC 平面 ABCD ，CC AC ，NP AC ，求出 MC =30cm ，推导出11ANP AMC ，由此能出玻璃棒 l没入水中部分的长度（2）设玻璃棒在 GG 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，过点 N 作 NP EG ，交 EG1于点 P，过点 E 作 EQ E G ，交 E G 于点 Q ，推导出 EE G G 为等腰梯形，求出 E Q =24cm ，1111111E E =40cm ，由正弦定理求出 sinGEM = ，由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度1【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，1在平面 ACM 中，过 N 作 NP MC ，交 AC 于点 P，ABCD A B C D 为正四棱柱，CC 平面 ABCD ，11111又AC 平面 ABCD ，CC AC ，NP AC ，1NP =12cm ，且 AM =AC + MC ，解得 MC =30cm ，222NP MC ，ANP AMC ，=，得 AN =16cm 玻璃棒 l没入水中部分的长度为 16cm 2017 数学18 （2）设玻璃棒在 GG 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，1在平面 E EGG 中，过点 N 作 NP EG ，交 EG 于点 P，11过点 E 作 EQ E G ，交 E G 于点 Q ，1111EFGH E F G H 为正四棱台，EE =GG ，EG E G ，1 1111111EG E G ，11EE G G 为等腰梯形，画出平面 E EGG 的平面图，1111E G =62cm ，EG =14cm ，EQ =32cm ，NP =12cm ，11E Q =24cm ，1由勾股定理得：E E =40cm ，1sinEE G = ，sinEGM =sinEE G = ，cos，1111根据正弦定理得：=，sin，cos，sinGEM =sin（EGM + EMG ）=sinEGMcos EMG + cosEGMsin EMG = ，EN =20cm 玻璃棒 l没入水中部分的长度为 20cm 【点评】本题考查玻璃棒 l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题2017 数学19 19（16 分）（2017 江苏）对于给定的正整数 k，若数列 a 满足： a +a+annknk+1n+a +a+a =2ka 对任意正整数 n（nk）总成立，则称数列a 是“P（k）数列”1n+1n+k 1n+knn（1）证明：等差数列a 是“P（3）数列”；n（2）若数列a 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：a 是等差数列nn【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a +a +a +a +a +a =（a +a ）n 3n 2n 1n+1n+2n+3n 3n+3+（a +a ）+ （a +a ）2×3a ，根据“P（k）数列”的定义，可得数列a 是“P（3）n 2n+2n 1n+1nn数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则 a +a +a +a =4 a ，a +a +a +a +a +a =6a ，n 2n 1n+1n+2nn 3n 2n 1n+1n+2n+3n变形整理即可求得 2a =a +a ，即可证明数列a 是等差数列nn 1n+1n【解答】解：（1）证明：设等差数列a 首项为 a ，公差为 d，则 a =a +（n1）d，n1n1则 a +a +a +a +a +a ，n 3n 2n 1n+1n+2n+3=（a +a ）+ （a +a ）+ （a +a ），n 3n+3n 2n+2n 1n+1=2a +2 a +2a ，nnn=2×3a ，n等差数列a 是“P（3）数列”；n（2）证明：由数列a 是“P（2）数列”则 a +a +a +a =4a ，nn 2n 1n+1n+2n数列a 是“P（3）数列”a +a +a +a +a +a =6a ，nn 3n 2n 1n+1n+2n+3n由可知：a +a +a +a =4a ，n 3n 2nn+1n 1a +a +a +a =4 a ，n 1nn+2n+3n+1由（+）：2a =6a 4a 4a ，nnn 1n+1整理得：2a =a +a ，nn 1n+1数列a 是等差数列n【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题20（16 分）（2017 江苏）已知函数 f（x）= x + ax + bx+1 （a0，bR ）有极值，且导函数23f（x）的极值点是 f（x）的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 3a；22017 数学20 （3）若 f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围【分析】（1）通过对 f（x）= x + ax + bx+1 求导可知 g（x）=f（x）=3x +2 ax+ b，进而再求导232可知 g（x）=6x+2a，通过令g（x）=0 进而可知 f（x）的极小值点为x= ，从而 f（ ）=0，整理可知 b=+ （a0），结合 f（x）= x + ax + bx+1 （a0，bR ）有极值可知 f23（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a3（2）通过（1）构造函数 h（a）= b 3a=2+=（4a 27）（a 27），结33合 a3 可知 h（a）0，从而可得结论；（3）通过（1）可知 f（x）的极小值为 f（ ）= b可知 y= f（x）的两个极值之和为 +2，进而问题转化为解不等式 b+2= ，因式分解即得结论【解答】（1）解：因为 f（x）= x + ax + bx+1，利用韦达定理及完全平方关系+32所以 g（x）=f（x）=3x +2ax+b，g（x）=6x+2a，2令 g（x）=0，解得 x= 由于当 x 时 g（x）0，g（x）=f（x）单调递增；当 x 时 g（x）0，g（x）=f（x）单调递减；所以 f（x）的极小值点为 x= ，由于导函数 f（x）的极值点是原函数 f（x）的零点，所以 f（ ）=0，即所以 b= + （a0）因为 f（x）= x + ax + bx+1 （a0，bR ）有极值，+1=0 ，32所以 f（x）=3x +2 ax+ b=0 有两个不等的实根，2所以 4a 12b0，即 a 2+ 0，解得 a3，2所以 b=+ （a3）2017 数学21 （2）证明：由（1）可知 h（a）=b 3a=2+=（4a 27）（a 27），33由于 a3，所以 h（a）0，即 b 3a；2（3）解：由（1）可知 f（x）的极小值为 f（ ）= b，设 x ，x 是 y= f（x）的两个极值点，则 x +x =，x x = ，12121 2所以 f（ x ）+f（x ）=+a（+）+b（x +x ）+21212=（x +x ）（x +x ） 3x x +a（x +x ） 2x x +b（x +x ）+22212121 2121 212=+2，又因为 f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于 ，所以 b+2= ，因为 a3，所以 2a 63a540，3所以