2011-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编――11立体几何.doc

2011年2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11立体几何一、选择题（2018·9）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD（2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D（2017·10）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D（2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A20B24C28D322014，6 · 2015，62016，6（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）ABCD （2015·9）已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90º，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）A36B64C144D256（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）ABCD（2014·11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）ABCD（2013·4）已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（ ）A. / 且l / B.且C.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于（2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A.B.C.D.（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18（2012·11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A.B. C. D. （2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A. B. C. D.二、填空题（2018·16）16已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_（2016·14）、是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果mn，m，n，那么.（2）如果m，n，那么mn.（3）如果，m，那么m.  （4）如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)（2011·15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，则棱锥O-ABCD的体积为 .三、解答题（2017·19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 （2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H. 将DEF沿EF折到D´EF的位置，.（）证明：平面ABCD；（）求二面角的正弦值.（2015·19）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线AF与平面所成角的正弦值.（2014·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB / 平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.（2013·18）如图，直三棱柱中，分别是，的中点，.（）证明：/平面；（）求二面角的正弦值.CBADC1A1B1（2012·19）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AA1的中点，DC1BD.（）证明：DC1BC；（）求二面角A1-BD-C1的大小.（2011·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. （2018·20）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值2011年2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11立体几何（逐题解析版）一、选择题（2018·9）C（2017·4）B【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分， 剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为， ；上面阴影的体积是上面部分体积的一半，即，与的比为高的比（同底），即，故总体积.方法2：，其余同上，故总体积.（2017·10）B【解析】解法一：在边上分别取中点，并相互连接.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，通过几何关系求得，利用余弦定理可求得异面直线和所成的夹角余弦值为. 解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角，通过几何关系可知：，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为.解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系， ， （2016·6）C解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为由图得， ，由勾股定理得：， ，故选C（2015·6）D解析：由三视图得，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去四面体A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.（2015·9）C解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时，故R=6，则球O的表面积为，故选C（2014·6）C解析：原来毛坯体积为·32·6=54 (cm2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：·32·2+·22·4=34 (cm2)，则切削掉部分的体积为54-34 =20(cm2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为.（2014·11）C解析：取BC的中点P，连结NP、AP， M，N分别是A1B1，A1C1的中点，四边形NMBP为平行四边形，BM/PN，所求角的余弦值等于ANP的余弦值，不妨令BC=CA=CC1=2，则AN=AP=，NP=MB=， .【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=C1C=2，则A(0, 2, 2)，B(2, 0, 2)，M(1, 1, 0)，N(0, 1, 0)， （2013·4）D解析：因为m，lm，l，所以l. 同理可得l. 又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选D.（2013·7）A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为右图，则它在平面zOx上的投影即正视图为右图，故选A.（2012·7）B解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为.（2012·11）A解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为，故，.（2011·6）D解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选D.二、填空题（2018·16）（2016·14）【答案：】（2011·15）解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M，则AM=，OM=，.三、解答题（2017·19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 【基本解法1】（1）证明：取中点为，连接、，因为，所以，因为是的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以直线平面，（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图设，则，所以，设，则，因为点在棱上，所以，即，所以，所以，平面的法向量为，因为直线与底面所成角为，所以，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以求二面角的余弦值.（2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H. 将DEF沿EF折到D´EF的位置，.（）证明：平面ABCD；（）求二面角的正弦值.解析：证明：，四边形为菱形，；又，又，面建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，（2015·19）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线AF与平面所成角的正弦值.（2015·19）解析：（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为M，则，因为为正方形，所以，于是，所以，以D为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，即，所以可取，又，故，所以AF与平面所成角的正弦值为.（2014·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB / 平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.解析：（）证明：连结交于点，连结底面为矩形，点为的中点，又为的中点，平面，平面，/平面.（）以为原点，直线、分别为、轴建立空间直角坐标系，设，则，设是平面的法向量，则，解得：，令，得，又是平面AED的一个法向量， 解得，.（2013·18）如图，直三棱柱中，分别是，的中点，.（）证明：/平面；（）求二面角的正弦值.解析：（）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF. 因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1 / 平面A1CD.（）由ACCB得，ACBC. 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则，即可取n(1, -1, -1)同理，设m是平面A1CE的法向量，则，可取m(2, 1, -2)从而cosn，m，故sinn，m. 即二面角DA1CE的正弦值为.CBADC1A1B1（2012·19）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AA1的中点，DC1BD.（）证明：DC1BC；（）求二面角A1-BD-C1的大小.CBADC1A1B114解析：（） 证明：设，直三棱柱， ，. 又，平面. 平面，.（）由 ()知，又已知，. 在中，. ，.<法一>取的中点，则易证平面，连结，则，已知，平面，是二面角平面角. 在中，. 即二面角的大小为.<法二>以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则. ，,设平面的法向量为，则，不妨令，得，故可取.同理,可求得平面的一个法向量. 设与的夹角为，则 , . 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角的大小为.（2011·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. 15解析：（）因为，由余弦定理得，从而BD2+AD2= AB2，故BDAD，又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，故 PABD.（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，. ， ，设平面PAB的法向量为n=(x, y, z)，则，即 ，因此可取，设平面PBC的法向量为m，则，可取，故二面角A-PB-C的余弦值为.（2018·20）解：（1）因为，为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知.由知平面.（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.13 / 13