江苏省苏州市2021届高三第一学期期中考试数学试卷(含解析).docx

江苏省苏州市 20202021 学年度第一学期期中考试高三数学202011一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题5 分，共计40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） x x - x - 6 £ 0x x > 4221已知集合 A，B，则 A BA(2，3)B2，3C(2，3D2，3 2aaaa2角 的终边经过点(3sin ，cos )，则 sin 的值为15141334ABCD aa+ a + a = -24 a + a + a = 783等差数列A160中， 123， 181920，则此数列的前 20 项和等于D220nB180C200f (x) =x2 + 2x +1+ a4函数“的定义域为 R”是“a1”的B必要不充分条件A充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件(e -e )cos xx-xf (x) =x25函数的部分图像大致是f (x) = xln xy = f (x)6已知函数A2，若直线 l 过点(0，e)，且与曲线 C：相切，则直线 l 的斜率为B2CeDe7衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过 t 天后4体积 V 与天数 t 的关系式为：V = a×e-kt9已知新丸经过 50 天后，体积变为 a若一个新丸体积827变为a，则需经过的天数为B100A125C75D50 1 = a1Saa > 0n2 S < 2， na8设 为等比数列的前 n 项和，若，则等比数列的公比的取值范nnn围是32332443A(0， B(0， C(0， )D(0， )二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）f (x) = cos x - 3 sin x g(x) = f ¢(x)9已知函数，则pg(x)g(x)g(x)6A的图像关于点(2，0)对称BD的图像的一条对称轴是 x5p6ppp-g(x)63 3C在(， )上递减在(， )值域为(0，1) a> 0aS10等差数列的前 n 项和为 n ，若 1，公差 d0，则nS > SS > 0S = SA若C若59 ，则 15B若59 ，则7 ，则，则S7 是 Sn 中最大的项S > S6S > SS > S6S > S7 ，则78D若56f (x) = lg(x -1)f(a) = f (b)11已知函数，b > a >1且A1a2Babab11+> 22a-1 b -1Cab 的最小值为 1Dln x + kf (x) = e -1x12函数在(0，)上有唯一零点x0 ，则x+¥12< x <1x e =1x0=1k >10kABCD0三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）为偶函数，则不等式(x - 2) f (x) < 0的解集为f (x) = ax+ (a + 2)x + a2213已知函数yxy + = 2-4y2x14对任意正数 x，满足，则正实数 y 的最大值为15在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月底街缴房租600 元和水电费 400 元，余款作为资金 全部用于再进货，如此继续，预计2020 年小王的农产品加工厂的年利润为（取1.2 117.5，1.2 9）1216已知定义在 R 上的函数关于 y 轴对称，其导函数为f ¢(x)，当 x0 时，xf ¢(x) >1 - f (x)若f(x)e f (e ) - e + ax - axf (ax) > 0Îxxx对任意 x R，不等式恒成立，则正整数 a 的最大值为四、解答题（本大题共 6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）p(x) = sin(wx -j)jf2wp已知函数( 0， )的最小正周期为 pg(j) = f( )w6（1）求 的值及的值域；pj=( )f a3 sina 2cos a 0-=（2）若，求的值18（本小题满分 12 分）1af (x) = - x + x - 2x3232Î已知函数(a R)f (x)（1）当 a3 时，求函数的单调递减区间；f (x) < 2(a -1)成立，求实数 a 的取值范围Î+¥（2）若对于任意 x 1，)都有19（本小题满分 12 分）B+C2在csinasinC，2cosA(bcosCccosB)a，(sinBsinC) sin AsinBsinC 中任选一22个，补充在横线上，并回答下面问题3在ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c(（1）求 C 的值；1)b，（2）若ABC 的面积为3- 3，求 b 的值20（本小题满分 12 分） a= b = 2 a + a + a = 30ab已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足11，357，nn b b = a2 316 ab（1）求数列与的通项公式；nn abS TT = T + b + 32（2）设数列，的前 n 项和分别为 ， 是否存在正整数 k，使 得 k +1n nnnkkS ³ bn成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；解关于 n 的不等式21（本小题满分 12 分）nk kf (x)f (x)Îb a在 x a，b时，函数值 y 的取值区间恰为 ， (k0)，则称a，b为若函数的一g(x)g(x) = -xÎ2+4x个“k 倍倒域区间”定义在4，4上的奇函数，当 x 0，4时，g(x)（1）求（2）求（3）若的解析式；g(x)g(x)在2，4内的“8 倍倒域区间”；在定义域内存在“k(k8)倍倒域区间”，求 k 的取值范围22（本小题满分 12 分）f (x) = e + ax ×sin xx已知函数y = f (x)（1）求曲线 C：在 x0 处的切线方程；f (x)g(x) =(x)x gxxp（2）当 a2 时，设函数，若 0 是在( ，0)上的一个极值点，求证： 0g(x)g(x )p是函数在( ，0)上的唯一极大值点，且 00 2 江苏省苏州市 20202021 学年度第一学期期中考试高三数学202011一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题5 分，共计40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）x x 2- x - 6 £ 0x x> 421已知集合 A，B，则 A BA(2，3)答案：CB2，3C(2，3 D2，3 2x x- x - 6 £ 0 2x x> 42-¥+¥解析：集合 A2，3，B(，2) (2，)，故 A B(2，3aaaa2角 的终边经过点(3sin ，cos )，则 sin 的值为15141334ABCD答案：Ccosa13a> 0 Þ=(3-sina) +cos a22a解析：sinsin aa+ a + a = -24 a + a + a = 783等差数列中， 123， 181920，则此数列的前 20 项和等于D220nA160B180C200答案：B-24+ 783´2S =20´20 =180解析：f(x) = x + 2x +1+ a24函数“的定义域为 R”是“a1”的B必要不充分条件A充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件 答案：B(x) = x + 2x +1+ a2faÞ ³ 0解析：的定义域为 R，故必要不充分条件(e -e )cos xx-xf (x) =x25函数的部分图像大致是答案：Af (x)f (p ) < 0解析：为奇函数，x0，f (x) = xln xy = f (x)6已知函数，若直线 l 过点(0，e)，且与曲线 C：相切，则直线 l 的斜率为A2B2CeDe答案：Bx ln x + ek =1+ ln x Þ x = e Þ k = 200x000解析：7衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过 t 天后4体积 V 与天数 t 的关系式为：V = a×e-kt9已知新丸经过 50 天后，体积变为 a若一个新丸体积827变为a，则需经过的天数为B100A125C75D50答案：C498a = ae-50ka = ae-tk27解析：，两式相比得 t751 = a1a > 02 S < 28设围是Sn 为等比数列a的前 n 项和，若 n， n，则等比数列a的公比的取值范nn34233423A(0， B(0， C(0， )D(0， )答案：A 1 1- qnS = ×2 1- qÎn解析：(0，2)，代入验证选 A 最合适二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）f (x) = cos x - 3 sin x g(x) = f ¢(x)9已知函数，则pg(x)g(x)g(x)6A的图像关于点(2，0)对称B的图像的一条对称轴是 x5p6ppp-g(x)63 3C在(， )上递减D在(， )值域为(0，1)答案：BCpg(x) = -sin x - 3 cos x = -2sin(x + )3解析：，利用完美区间法代入验证 a> 0aS10等差数列的前 n 项和为 n ，若 1，公差 d0，则nS > SS > 0S = SA若C若59 ，则 15B若59 ，则7 ，则S7 是 Sn 中最大的项S > S6S > SS > S6S > S7 ，则78D若56答案：BCS > S Þ a + a < 0 Þ S < 0解析：A 错：C 对：5911415；B 对：Sn 对称轴为 7；S > Sa < a < 0 Þ S > S67 ， 8778 ；D 错：由 C 可知 D 选项不一定成立f (x) = lg(x -1)f(a) = f (b)11已知函数，b > a >1且，则A1a2Babab11+> 22a-1 b -1Cab 的最小值为 1D答案：ABD11+> 2a -1 b -1解析：由题意知 1a2b，(a1)(b1)1，故 abab，ln x + kf (x) = e -1x12函数在(0，)上有唯一零点x0 ，则x+¥12< x <1x e =1x0=1k >10kABCD0 答案：ABCe1< x e < e Þ < x <1x0f (x) = 0 Þ ln(xe ) = xe - k Þ x e = k =1xxx02200解析：，0三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）为偶函数，则不等式(x - 2) f (x) < 0的解集为f (x) = ax+ (a + 2)x + a2213已知函数- 22+¥答案：(，) (2，)(x - 2) f (x) = -2(x - 2)(x - 2)(x + 2) < 0- 22+¥解析：a2，故解集为(，) (2，)yxy + = 2-4y2x14对任意正数 x，满足，则正实数 y 的最大值为12答案：2112- 4y = x + ³ 2 Þ 0 < y £yx解析：15在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月底街缴房租600 元和水电费 400 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020 年小王的农产品加工厂的年利润为（取1.2 117.5，1.2 9）12答案：400006a = a ×(1+ 20%)-400-600 Þ (a -5000) = (a -5000)5n+1nn+1n解析：6Þ a = 5000´( ) +5000Þ a = 50000Þn-15n12利润为 4000016已知定义在 R 上的函数关于 y 轴对称，其导函数为f ¢(x)，当 x0 时，xf ¢(x) >1 - f (x)若f(x)e f (e ) - e + ax - axf (ax) > 0Îxxx对任意 x R，不等式恒成立，则正整数 a 的最大值为答案：2F(e ) > F(ax) Þ -e < ax < e Þ 0 < a < exxx解析：根据题意构造，为偶函数且先减后增，故，故正整数 a 的最大值为 2四、解答题（本大题共 6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分） p(x) = sin(wx -j)jf2wp已知函数( 0， )的最小正周期为 pg(j) = f( )w6（1）求 的值及的值域；pj=( )f a3 sina 2cos a 0-=（2）若，求的值解：（1），则所以，所以，即的值域为；（2），则，若，则，与矛盾，故，所以，即所以，18（本小题满分 12 分）1a+ x2f (x) = - x- 2x323Î已知函数(a R)f (x)（1）当 a3 时，求函数的单调递减区间；f (x) < 2(a -1)成立，求实数 a 的取值范围Î+¥（2）若对于任意 x 1，)都有解：（1）a3 时， 时，的单调减区间为；时，所以，（2）即和；，恒成立，恒成立，令Îx2 时，80，a R；时，则，故在1，2)递减，所以，；时，令，则，时，；，递减；时，递增；所以，综上，19（本小题满分 12 分）B+C2在csinasinC，2cosA(bcosCccosB)a，(sinBsinC) sin AsinBsinC 中任选一22个，补充在横线上，并回答下面问题3在ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c(（1）求 C 的值；1)b，（2）若ABC 的面积为3- 3，求 b 的值解：（1）由正弦定理：得：即，因此， 又 A 为ABC 内角，所以，则又即，由正弦定理得：得：又，所以，所以，即；（2）20（本小题满分 12 分） ba= b = 2 a + a + a = 30a已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足n11，357，nb b = a2 316 ab（1）求数列与的通项公式；nn abS TT = T + b + 32（2）设数列，的前 n 项和分别为 n ， n 是否存在正整数 k，使 得 k +1kknnS ³ bn成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；解关于 n 的不等式n ab解：（1）设数列的公差为 d，数列的公比为 qnn，则，则；（2）假设存在，即，即，解得：符合题意；，即解不等式即故存在令 令当时，时，即，即当因此，时，；时，；n4 时，又所以，因此即的解为21（本小题满分 12 分）k kb af (x)f (x)Î若函数在 x a，b时，函数值 y 的取值区间恰为 ， (k0)，则称a，b为的一g(x)g(x) = -x2Î+4x个“k 倍倒域区间”定义在4，4上的奇函数，当 x 0，4时，g(x)（1）求（2）求（3）若的解析式；g(x)g(x)在2，4内的“8 倍倒域区间”；在定义域内存在“k(k8)倍倒域区间”，求 k 的取值范围时， ，解：（1）因为因为时，为奇函数，所以，所以，时，因此，；（2）设该区间为，则 在a，b递减，由题意知：g(x)因此在2，4内的“8 倍倒域区间”为2，；g(x)（3），在4，2递减，2，2递增，2，4递减g(x)设的“k 倍倒域区间”为a，b，令时，即方程时，在2，4上有两个不同的解，时，递减，递增f (x)要使得在2，4上有两个不同的零点，则：同理可得：时，；时，矛盾，舍去；时，矛盾，舍去；时，在递增，则：两式相减得：，又，故，代入也不符，舍去，得，矛盾，舍去；同理， 综上，22（本小题满分 12 分）f (x) = e + ax ×sin xx已知函数y = f (x)（1）求曲线 C：在 x0 处的切线方程；f (x)g(x) =(x)x g，若 是0在( ，0)上的一个极值点，求证：x0xp（2）当 a2 时，设函数g(x)g(x )p是函数在( ，0)上的唯一极大值点，且 00 2解：（1）因此，所求切线方程为：；（2）时，故在递减令时，故在递减，由零点存在性定理知：上有唯一零点，该零点即为在上有唯一零点即又在时，时，即，故，时，递增，即在递减因为因为，所以，所以，p因此， 是函数在( ，0)上的唯一极大值点，且在a，b递减，由题意知：g(x)因此在2，4内的“8 倍倒域区间”为2，；g(x)（3），在4，2递减，2，2递增，2，4递减g(x)设的“k 倍倒域区间”为a，b，令时，即方程时，在2，4上有两个不同的解，时，递减，递增f (x)要使得在2，4上有两个不同的零点，则：同理可得：时，；时，矛盾，舍去；时，矛盾，舍去；时，在递增，则：两式相减得：，又，故，代入也不符，舍去，得，矛盾，舍去；同理， 综上，22（本小题满分 12 分）f (x) = e + ax ×sin xx已知函数y = f (x)（1）求曲线 C：在 x0 处的切线方程；f (x)g(x) =(x)x g，若 是0在( ，0)上的一个极值点，求证：x0xp（2）当 a2 时，设函数g(x)g(x )p是函数在( ，0)上的唯一极大值点，且 00 2解：（1）因此，所求切线方程为：；（2）时，故在递减令时，故在递减，由零点存在性定理知：上有唯一零点，该零点即为在上有唯一零点即又在时，时，即，故，时，递增，即在递减因为因为，所以，所以，p因此， 是函数在( ，0)上的唯一极大值点，且