2019-2020学年湖北省荆州市高一下学期期末考试数学试题(有答案).docx

2019-2020 学年湖北省荆州市高一下学期期末考试数学试题本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 = xx2 - x < 0 B = x x >1或x < 0，1已知集合 A，则（）Í AA Í BA B = RA B = ÆDA BBC= log 0.2 b = log 0.3 =100.1，c ，则（2已知a，）30.2< b < ca < c < bc < a < bCDb < c < aA aB3从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人中男、女同学各一名的概率是（）A03B04C05D06(x) = ax（ a > 0 a ¹1且y = log (| x | -1)的图象4若函数 f）在 R 上为减函数，则函数a可以是（）A B C D 5由于疫情期间大多数学生都进行网上上课，某校高一、高二、高三共有学生1800 名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800 名学生中抽取一个容量为 72 的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的三个连续偶数，则该校高三年级的人数为（）A800B750C700D650为钝角三角形”的（B充分不必要条件D既不充分也不必要条件6在ABC中 ，“cos A = 2sin Bsin C ABC”“）A必要不充分条件C充要条件7已知a ， b ，g 是三个两两不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题：a mn Ì，bnb，则abÌ a若m，；b ab，mn，则 ；若m a ， nb a b，若 m a ， mÌ=n ，则mn；a g b g a bg= mm 若，则）其中所有正确命题的编号是（ABCDp14æö÷øsin a -=，则sina 的值为（8已知a 为锐角，且）ç3è1± 3 51+ 3 515 ± 33 + 5ABCD8888379ABC中，AD = DC，点 M 在 BD 上，且满足 AM=+AB t AC ，则实数 t 的值为（）6742C75D9AB7( )x , y (i =1,2, ,6) ，回归直线方程10已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Piii= 2x + a，若OP OP + +OP+=(12,18)a =（为 y（O 为坐标原点），则）126A-1B-6C1D62 1 2+x y11若正数 x，y 满足2x + y =1，则的最小值为（）A4B3+ 2 2C8D9(2a -1)x +1 x £ 2ìíî(x) =12已知函数 f是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范log (x -1)+ a x > 2a围为（）é1ö÷øæçè12ö÷øæçè12ö÷øé1 1,ö÷ø,10,1ABCDêê33 2ëë二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。= (1,- 3) | b |=1 | a + 2b|= 2，则 a 与 b 的夹角为13已知平面向量 a ， b 满足 a_，pæöcos-px - 2exçè÷2ø(x) =14设函数 f的最大值为 M，最小值为 m，其中 e 为自然对数的x2+ e2底数，则(M + m -1)的值为_2020=1 AD = 3 将BCD，15在矩形 ABCD 中， AB沿对角线 BD 翻折，得到三棱锥A- BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为_(x) (-¥,-1) f (x -1)为偶函数在 上单调递增，且16定义在 R 上的函数 fæöæ ö1= f log 8b = f 2（1）已知aç÷ ，ç ÷ ，比较大小：a_b（填，）31èøè ø2(2sin x -1) > f (sin x - m)（2）若对一切实数 x，不等式 f是_（其中第（1）问 2 分，第（2）问 3 分）恒成立，则实数 m 的取值范围三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知函数 f(x) = log (1- x) + log (x + 3)(0 < a <1)aa(x)(x)（1）求函数 f（2）求函数 f的定义域；的零点；3 (x)（3）若函数 f的最小值为-4，求 a 的值18（本小题满分 12 分）因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难为了改变现状，该企业欲借助电商和“网红”直播带货扩大销售受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果现将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直方图：请根据图中所给数据，求：（1）实数 a 的值；（2）该企业网上销售日销售额的众数和中位数；（3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数19（本小题满分 12 分）在ABC中，角A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满 足 b c A a C ，(2 - )cos = cosc =1（1）若ABC（2）若ABC的面积S = 3，求 a 的值；为锐角三角形，求 b 的取值范围20（本小题满分 12 分）ppæ æö öææöö= sin x -w,1n =1,2cos wx -f (x) = m×n设 向 量 m， 函 数， 其 中ç ç÷ ÷çç÷÷36è èø øèèøøæ p ö0 < < 3f= 3w，已知ç ÷6è ø(x)（1）求w 的值及函数 f的单调递减区间；= f (x)（2）将函数 y的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到4 p 3ppéù= g(x)g(x)- ,的图象向右平移 个单位，得到函数 y的图象，求在上的最值êú4 44ëû21（本小题满分 12 分）2020 年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献荆州市某医院的呼吸科、急诊科免疫科分别有4 名、2 名、2 名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作现医院根据需要选派2 名医生进入隔离病房工作（1）求选派的 2 名医生来自同一个科室的概率；（2）求选派的 2 名医生中至少有 1 名呼吸科医生的概率22（本小题满分 12 分）- ABCDPB = PD PA = PC = 4， ，底面是边长为 2 的菱形，且如图，在四棱锥 P中，ÐABC = 60°，E，F，G 分别是 PA，PC，DC 的中点（1）求证：平面 EFG 平面 PBD；- EFG（2）若 M 是线段 AC 上一点，求三棱锥M的体积荆州市 2020 年高中一年级学年质量检查数学参考答案一、选择题1-5 DADDD二、填空题610 BBBCA1112CD213 p34(-¥,-2) (4,+¥)（第（1）2 分，14115 p16>第（2）3 分）三、解答题ì1- x > 0-3 < x <1( )17 解 ：（ 1 ） 由 已 知 得 í， 解 得所 以 函 数 f x 的 定 义 域 为+3 > 0îx5 (-3,1)3 分()(x) = log (1- x) +log (x +3) = log (1- x)(x +3) = log -x - 2x +3（ 2 ） f2， 令aaaaf (x) = 0 ，-x - 2x + 3 =1x + 2x - 2 = 0= -1± 3，-1± 3 Î(-3,1)，得2，即2，解得 xf(x)的零点是函数-1± 36 分()(x) = log -x -2x +3 = log é-(x +1) + 4ù，（3）由 2 知， f22ëaûalog é-(x +1) + 4ù ³ log 4，-3 < x <1，0 < -(x +1)2 + 4 £ 4 ，0 < a <1，2ëûaaf(x) = log 4 = -4，mina21a= 4- =10 分4218 解：（1）由频率分布直方图知：(0.008+ 0.016+ 0.020+ 0.018+ 0.010+ 0.004+ 2a)´10 =1= 0.012；， 解 得 ： a4 分（2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值，得众数为 55 万元；因为第一个小矩形的面积为 0.08，第二个小矩形的面积为 0.12，第三个小矩形的面积为 0.16，0.08+ 0.12 + 0.16 = 0.36， 设 第 四 个 小 矩 形 中 底 边 的 一 部 分 长 为 x ， 则x´0.020 = 0.5- 0.36 ， 解 得 x = 7 ， 所 以 中 位 数 为 50 + 7 = 57 万 元 ；8 分（3）依题意，日销售额的平均值为：25´0.08+ 35´0.12 + 45´0.16+ 55´0.20+ 65´0.18+ 75´0.12+85´0.10+ 95´0.04 = 57.4所 以 该 企 业 在 统 计 时 间 段 内 网 上 销 售 日 销 售 额 的 平 均 数 为 57.4 万元12 分19解：（1）ABC中，(2b - c)cos A = acosC由正弦定理得：2sin Bcos A-sinC cos A = sin AcosC6 2sin Bcos A = sinC cos A+ sin AcosC = sin(A+ C) = sin B1p¹ 0cos A =A =sinB，232 分由1=1b= 4S= bcsin A = 3，c得：2ABC4 分= b + c - 2bccos A =13= 13由 余 弦 定 理 得 ： a222， a6 分p（2）在ABC中， A=，c =1，设ABC的外接圆半径为 R31=12Rsin C =12R =c，则sinC7 分 Ap2p2p=B + C =B =，则-C，3332æ pö321sin-CcosC + sinCç÷ø33 11è2sinCb = 2Rsin B =×+sinC2 tanC 210 分æçèö3p=ppABC为锐角三角形，且 A，< <，则tan Î,+¥CC ç÷ ，÷3623ø112Î(0, 3)< b < 2，tanC12 分20解：（1）由题可知：pp33æö÷øæö÷øf (x) = sin x -w+2cos wx -=sinwx +coswxçç3622èè7 pp pææ pçpö÷øp öw2 p(+ = + k k Î z)=3，sinw+=1， fç ÷6è ø6666 2è=12k + 2w，æp ö0 < < 3= 2 f (x) = 3 sin 2x +令w，w，4 分ç÷6èøpp 3pp2p+ 2k £ x + £p 22 p+ kp pk + £ x £ k +，则，26 263f (x)故的单调递减区间为p2péùp, pk + k +6 分êú63ëûp3ppp 2pæp ö（2）由（1）g(x) = 3 sin x -，- £ x £，- £ x - £，8ç÷1244312 3èø分33æp öæp ö-£ sin x -£1- £ 3 sin x -£ 3，ç÷ç÷212212èøèø10 分3(x) 的最小值为-3故 f，最大值为2(i =1,2,3, 4)21解：设呼吸科的 4 名医生分别记为 A，急诊科的 2 名医生分别记为iB ( j =1,2) ；j(k =1,2)免疫科的 2 名医生分别记为Ck现从这 8 名医生中选派 2 名医生，所有的选派方法有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A , A ， A , A ， A , A ， A ,B ， A ,B ， A ,C ， A ,C ， A , A ， A , A ，121314111211122324( )A ,B ，21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A ,B ， A ,C ， A ,C ， A , A ， A ,B ， A ,B ， A ,C ， A ,C ， A ,B ，222122343132313241( )A ,B42( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A ,C ， A ,C ， B ,B ， B ,C ， B ,C ， B ,C ， B ,C ， C ,C41421211122122128 共28个基本事件4 分（若采用树状图法或表格法给出基本事件，同样给分）（1）记“这 2 名医生来自同一个科室”为事件 A，它包括( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A , A ， A , A ， A , A ， A , A ， A , A ， A , A ， B ,B ， C ,C 共 81213142324341212个基本事件因为每一种情况被抽取的可能性都相等，所以由古典概型的概率计算公式可知，8 2事件A发生的概率为P(A) = =28 78 分（2）（方法一）记“选派的2 名医生中至少有 1 名呼吸科医生为事件 B”，它的对立事件为：“选派的 2 名医生均不是呼吸科医生”，记为事件 它包括B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B ,B ， B ,C ， B ,C ， B ,C ， B ,C ， C ,C 共 6 个基本事件由对立121112212212事件的概率计算公式可知6 22 11P(B) =1- P(B) =1- =28 28 14=12 分（方法二）记“选派的 2 名医生中至少有 1 名呼吸科医生为事件 B”，所有的选派方法有：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A , A ， A , A ， A , A ， A ,B ， A ,B ， A ,C ， A ,C ， A , A ， A , A ，121314111211122324( )A ,B ，21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A ,B ， A ,C ， A ,C ， A , A ， A ,B ， A ,B ， A ,C ， A ,C ， A ,B ，222122343132313241( )A ,B ，42( ) ( )A ,C ， A ,C 。共 22 个基本事件4142因为每一种情况被抽到的可能性都相等，由古典概型的概率计算公式可得，事件B发生的概率为22 11P(B) =12 分28 149 AC22解：（1）证明：E，F 分别为 PA，P 的中点 EF，又四边形 ABCD 为菱形，AC BD，EF BD 2 分4 分= OCPA = PC，又设 AC 与 BD 交于点 O，连接 OP，则OAOP AC，OP EF = OÌ ，且 OP， BD 平面 PBD， EF 平面 PBDOP BDÌ EF 平面 EFG平面EFG平面PBD6 分 AC（2）由（1） EF， AC 平面 EFG，M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的距离V= V= VM -EFGA-EFGG- AEF7 分= PDPO BDAC BD， PB， BD 平面 PAC， BD 平面 PEF，DO 平面 PEF8 分11= S= S S，24AEFPAFPACÐABC = 60° ，ÐBAD =120°又AB= AD = 2，BD = 2 3，DO = 3 10 分11 1 1= × × ×2× 15 3 =8 3 2D-PAC5= 42 -1 = 15 V= V PO，88G-AEF5V=8M -EFG12 分10 11 AC22解：（1）证明：E，F 分别为 PA，P 的中点 EF，又四边形 ABCD 为菱形，AC BD，EF BD 2 分4 分= OCPA = PC，又设 AC 与 BD 交于点 O，连接 OP，则OAOP AC，OP EF = OÌ ，且 OP， BD 平面 PBD， EF 平面 PBDOP BDÌ EF 平面 EFG平面EFG平面PBD6 分 AC（2）由（1） EF， AC 平面 EFG，M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的距离V= V= VM -EFGA-EFGG- AEF7 分= PDPO BDAC BD， PB， BD 平面 PAC， BD 平面 PEF，DO 平面 PEF8 分11= S= S S，24AEFPAFPACÐABC = 60° ，ÐBAD =120°又AB= AD = 2，BD = 2 3，DO = 3 10 分11 1 1= × × ×2× 15 3 =8 3 2D-PAC5= 42 -1 = 15 V= V PO，88G-AEF5V=8M -EFG12 分10 11