2019-2020学年高三上学期烟台期末数学试题.docx

2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学一、单项选择题：本题共 8小題，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。1. 己知集合A= | - -20, B=x|y=X X2 X,则AB=A. x|-lx2 B. x|0x2 C. x|x-l D. x|x02. “ xR,x -x+l>0”的否定是2A.xR, - +10X2 XB. xR, x-x+1<02C. xR, x -x+l<02D. xR, x-x+l02222253. 若双曲线1(a>0,b>0)的离心率为 ，则其渐近线方程为2A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0D. 2x±y=0,则a,b,c的大小关系为C. b<a<c D. b<c<a4.设a=log 3,b=0.5 ,c=30.5A.a<b<c B. a<c<b5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246. 函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x= 时，函数f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则sin =A.B.C. D.高三数学试题第1页(共4 页)8.函数1,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-,4)B. (-,4C. (-2,4)D. (-2,41页(共4 页)满意不满意 男女30402010二、多项选择题：本題共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得 5分，部分选对得3分，有选错的得 0分.9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50名男生和 50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算 K 的观测值 k4.762，则2可以推断出P(kk) 0.100 0.0500.0102A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为k2.706 3.841 6.635B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D. 有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异10. 已知函数 f(x)=sin(3x+ )(- )的图象关于直线 x= 对称，则422A. 函数 f(x+ )为奇函数4B. 函数 f(x)在 ， 上单调递増312C. 若|f(x )-f(x )|=2,则|x-x 的最小值为12123D. 函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=-cos3x的图象4ABCD-AB C D1 1 111. 如图,在正方体中，点 P在线段 BC上运动，则11A. 直线 BD 丄平面 ACD111B. 三棱锥 P-ACD的体积为定值11C. 异面直线 AP与 AD所成角的取值范用是45°,90°16D. 直线 CP与平面 ACD所成角的正弦值的最大值为111312. 已知抛物线 C:y =4x的焦点为F、准线为 l，过点 F的直线与抛物线交于两点 P(x ,y ),G(x ,y )，21122点 P在 l上的射影为 P，则1A. 若 + =6.则|PQ|=8X X12B. 以 PQ为直径的圆与准线 l相切C. 设 M（O,1）,则|PM|+|PP |1D. 过点 M（0,1）与抛物线 C有且只有一个公共点的直线至多有 2条三、 填空題：本題共 4小題，每小题 5分，共 20分。高三数学试题第 2页(共 4 页) 13. 己知向量 a,b满足|a|=l,|b|= ,a（a+b）,则 a与 b夹角为.14. 已知随机变量 X N（1, ）,P（-1<X<1）=0.4,则 P（X3）=.215. 设点 P是曲线 y=e +x 上任一点，则点 P到直线 x-y-1=O的最小距离为.x216.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点都在球 O的表面上，PA丄平面 ABC，PA=6,AB=2 ,AC=2,BC=4，则：（1）球 O的表面积为 ；（2）若 D是 BC的中点，过点 D作球 O的截面，则截面面积的最小值是 。（本题第一空 2分，第二空 3分）四、 解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。17. （10分）在条件(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,asinB=bcos(A+ ),bsin =asinB中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, b+c=6,a=求 ABC的面积., _ ,注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. （12分）已知数列a 的前 n项和 S 満足 2S =(n+1)a（nN）且 a =2.nnnn1（1）（2）求数列a的通项公式;n设 b=（a -1）2 .求数列b 的前 n项和 T.annnnn19. (12 分)20. 如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，ADBC,BCCD，平面SCD丄平面 ABCD.SCD是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E 为 BS上一点，且 BE=2ES.(1) 证明：直线 SD平面 ACE；(2) 求二面角S-AC-E的余弦值。21. (12 分)高三数学试题第 3 页（共 4 页） 22223已知椭圆的1的离心率为 ，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点，2|AF|+|BF|=8.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设 Q(3,0),若AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围.22. (12 分)某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故1障相互独立，且出现故障的概率为 .3(1) 求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；(2) 为提高生产效益，该企业决定招聘 n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行 修.已知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元.此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 n=1 与 n=2 之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)23. (12 分)22,其中 O<a<e.12234已知函数(1) 求函数 f(x)的单调区冋；(2) 讨论函数 f(x)零点的个数；(3) 若 f(x)存在两个不同的零点 x ,x ,求证：x x <e .212124高三数学试题第 4 页(共 页) 2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、单项选择题1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6. D 7.B 8.A二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC三、填空题3p13.14. 0.115. 2 16. 52p ，4p4四、解答题17.解：若选：由正弦定理得 (a + b)(a -b) = (c -b)c ，即b + c - a = bc ，2分222b + c - abc 1222所以cos A = ，4分2bc2bc 2p因为AÎ(0, ) ，所以A = .6分p3又a = b + c - bc = (b + c) - 3bc ，2222a = 2 6 ，b+c = 6，所以bc = 4， 8分11p所以S=bcsin A = ´4´sin = 3. 10分223DABC若选 ：p由正弦定理得 sin Asin B = sin Bcos(A+ ) .2分6p因为0 < B < ，所以sin B ¹ 0 ，sin A = cos(A+ ) ，p631化简得sin A =cos A- sin A， 4分223p即tan = ，因为0 < A < ，所以A = .6分Ap36p又因为a = b + c - 2bccos ，2226(b + c) - a 6 - (2 6)2222所以 =bc=，即 = 24 -12 3 ， 8分bc2 + 32 + 3111所以S=bcsin A = ´(24-12 3)´ = 6-3 3. 10分222DABC若选 ：B +C由正弦定理得 sin Bsin= sin Asin B ， 2分23 页4高三数学试题第 （共 页） 因为0 < B < ，所以 B ¹ ，psin0B +C所以sin= sin A，又因为B +C = - A，p2AAA所以cos = 2sin cos ， 4分222A pA因为0 < A < ， < < ，所以p 0cos¹ 0 ，2 22A 1sin = ， = ，所以A = .2 2 2 6A pp6分3又a = b + c - bc = (b + c) - 3bc ，2222a = 2 6 ，b+c = 6，所以bc = 4 ， 8分11p所以S=bcsin A = ´4´sin = 3.10分223DABC18.解：（1）因为2S = (n +1)a ，nÎN ，*nn所以2S = (n + 2)a ，nÎN .*n+1n+1两式相减得2a = (n + 2)a - (n +1)a ，n+1n+1n2分整理得 na = (n +1)a ，.n+1nan+1aa即= ，nÎN ，所以 为常数列.*nnn +1 na an所以 = = 2 ，4分n1n 1所以 a = 2n .5分6分n（2） = ( -1)2 =(2 -1)4 .banannnn所以 T =1´ 4 +3´ 4 +5´ 4 + +(2n -1)4123nn4T =1´ 4 +3´ 4 + +(2n - 3)×4 + (2n -1)×4 . 7分23nn+1n两式相减得：-3T = 4+2 ´(4 +4 + +4 ) - (2n -1)×4 ，9分23nn+1n4 - 42n+1-3T = 4+2´- (2n -1)×4 ， 11分n+11- 4n20 (6n -5)4n+1化简得T = +. 12分9919.解：（1）连接 交AC 于点 ,连接 .BD EFnF因为AD / BC ，所以DAFD 与DBCF 相似.BF BC=FD AD所以= 2.1分BE BF=ES FD又=2 ，所以EF / SD. 2分因为EFÌ平面ACE ，SDË平面ACE ，所以直线SD / 平面ACE .4分（2）平面SCD 平面ABCD，ABCD，平面SCD平面ABCD CD=，BC Ì平面高三数学试题第6页(共4 页) BC CD ，所以BC 平面SCD.5分以C 为坐标原点，CD,CB 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向，与yzCD,CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分C - xyzzB2 2 4则C(0,0,0) ，S(1,1,0)，A(0,2,2) ，E( , , )，3 3 32 2 4CA = (0, 2, 2) ，CS = (1,1,0)，CE = ( , , ) . 7分A3 3 3= (x, y, z) ，则EF设平面SAC 的一个法向量为mCyìïCA = 0ìy + z = 0Dmm，即,ííxSx + y = 0CS = 0ïîî不妨令z =1，得x =1，y = -1，于是m = (1,-1,1).9分设平面EAC的一个法向量为n = (x, y, z) ，则ìï0y z 0ìíînnCA =+ =，即,íx + y + 2z = 0CE = 0ïî不妨令z =1，得x = -1，y = -1，于是m = (-1,-1,1). 11分1m n设二面角S - AC - E 的平面角的大小为 ，则cos = .qqm n 3所以二面角S - AC - E 的余弦值为1. 12分3FF B1AF = F B，由椭圆的对称性可知， ，20.解：（1）设 为椭圆的左焦点，连接11AF + BF = BF + BF = 2a = 8，所以a =4， 2 分所以13 c又e =，a = b +c，解得b = 2 ，c = 2 3 . 4 分2222 ax y22+ =1所以椭圆的标准方程为. 5 分16 4A(x , y ), B(x , y )QA= (x -3,y ) QB = (x -3,y )， ，6 分（2）设点，则11221122ì xy22ï + =116 4(4k +1)x -16 = 0，得 ，联立í22ïy = kxî-16x + x = 0 x x =所以， 8 分4k +1121 22因为ÐAQB为锐角，所以QA QB > 0 . 9 分QA QB = (x -3)(x -3)+ y y所以121 2= 9 - 3(x + x ) + x x + y y12121 2= 9 - 3(x + x ) + (1+ k )x x210 分121 2高三数学试题第3 页（共4 页） 16(1+ k )2= 9 -> 0 ，4k +123535解得 >或k < -.12分k101021解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为 ，X1则X B(3, ).2分31 2 12 4因此P(X =1) = C ( ) ( ) = = . 4分13123 327 9（2）当n =1时，设该企业每月的实际获利为Y 万元.1若X = 0 ，则Y =12´3-1 = 35 ；1若 =1，则Y =12´ 2+8´1-1 = 31；X1若 = 2，则Y =12´1+8´1+0´1-1 =19 ；X1若X = 3，则Y =12´0+8´1+0´ 2 -1 = 7 ；6分1 211 286又P(X = 0) = C ( ) ( ) = ，P(X = 2) = C ( ) ( ) = ，030323213 3273 3271 21P(X = 3) = C ( ) ( ) = ，8分33303 327此时，实际获利Y 的均值181261 773EY = 35´ + 31´ +19´ + 7´ =27 27 27 27 279分1当n = 2时，设该企业每月的实际获利为Y 万元.2若X = 0 ，则Y =12´3- 2 = 34；2若X =1，则Y =12´ 2+8´1- 2 = 30 ；2若X = 2，则Y =12´1+8´ 2 - 2 = 26 ；2若X = 3，则Y =12´0+8´ 2+0 ´1- 2 =14 ； 11分281261 802EY = 34´ + 30´ + 26´ +14´ =27 27 27 27 272因为EY < EY .12于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 = 与1 n = 2n之中选其一，应选用n = 2.12分22. 解：（1）函数 f 的定义域为x | x > 0.(x)113( )f ' x = (x - a)ln x + ( x2 - ax)× + 2a - x， 1分2x2= (x - a)(ln x -1)¢( ) = 0= e. 2分令 f x，得x a 或x( )因为0 < a < e ，当0 < x < a 或x > e( )f ' x < 0 ，0 ( )f x，单调递增；当a x< < e时，'时，f x>( )( ) ( )0,a e,+¥，f (x) 单调递减.所以 f x的增区间为，减区间为( )a,e.4 分4高三数学试题第8 页(共 页) 1时， x a34=min1,2axÎ(0, )0 ln 0 2> 0，（2）取d，则当d- <， x<， a-x213f (x) = x( x - a)ln x + x(2a - x) > 0；24( )又因为0 < a < e，由（1）可 知在(0, )上单增，因此,当Î(0, a，恒f x( ) 0>，f xaxf (x) (0,a即在上无零点.5 分x > a下面讨论的情况：e当0 < a <时，因为( ) ( ,e) 单减，(e,+¥)在( ) > 0f a单增，且，f xa4e1f (e) = e(a - ) < 0 ， f (e)= e> 0，2444f (x)根据零点存在定理，e时，由有两个不同的零点.6 分当a=f x( ) ( ,e) 单减，(e,+¥)单增，且在f(e) = 0，a4f (x)e有唯一零点 .此时若此时7 分ee< a < e(x) (a,e)在(e,+¥)单减，f (x) ³ f(e) e(= a - >) 0f，由单增，4f (x)4无零点.e8 分e，综上，若0 < a <，( ) 有两个不同的零点；若a=f x( )f xe有唯一零点 ；若44e< a < e(x)f，无零点.4e（3）证明：由（2）知，0 < a <，且< < e <a xx.412e2(x) = f (x) - f ( )xÎ(a,e)构造函数 F，.9 分xee42¢( ) =F x(x - a)(ln x -1)- ( - a )(ln x -1)则x3x2x4- ax3+ e2ax - e4= (ln x -1).10 分x3g(x) = x- ax+ eax - eÎ( ,e)， x a4324令.Î(a,e)x + e - ax > 0因为当 x时，22, - e < 0，x22g(x) = x- ax+ eax - e=(x+ e- ax)(x- e )<024324222所以ln x -1< lne -1= 0，所以 ¢( ) > 0F x恒成立，即单增.F x( ) ( , )a e在又e2a < x < eF(x) < F(e) = 0( ) < ( )于是当时，即 f x f.11 分xe2x Î(a,e)1(x ) < f ( )f因为，所，1x1e2f (x ) = f (x )(x ) < f ( )f又，所以，122x1e e22> = ef x( ) (e,+¥)在 单增，x2> e因为，且x1e高三数学试题第 3 页（共 4 页） ee22f (x ) < f ( )x <2，即 x x< e2 .所以由，可得12 分2x1x11 24高三数学试题第 10 页(共 页)1时， x a34=min1,2axÎ(0, )0 ln 0 2> 0，（2）取d，则当d- <， x<， a-x213f (x) = x( x - a)ln x + x(2a - x) > 0；24( )又因为0 < a < e，由（1）可 知在(0, )上单增，因此,当Î(0, a，恒f x( ) 0>，f xaxf (x) (0,a即在上无零点.5 分x > a下面讨论的情况：e当0 < a <时，因为( ) ( ,e) 单减，(e,+¥)在( ) > 0f a单增，且，f xa4e1f (e) = e(a - ) < 0 ， f (e)= e> 0，2444f (x)根据零点存在定理，e时，由有两个不同的零点.6 分当a=f x( ) ( ,e) 单减，(e,+¥)单增，且在f(e) = 0，a4f (x)e有唯一零点 .此时若此时7 分ee< a < e(x) (a,e)在(e,+¥)单减，f (x) ³ f(e) e(= a - >) 0f，由单增，4f (x)4无零点.e8 分e，综上，若0 < a <，( ) 有两个不同的零点；若a=f x( )f xe有唯一零点 ；若44e< a < e(x)f，无零点.4e（3）证明：由（2）知，0 < a <，且< < e <a xx.412e2(x) = f (x) - f ( )xÎ(a,e)构造函数 F，.9 分xee42¢( ) =F x(x - a)(ln x -1)- ( - a )(ln x -1)则x3x2x4- ax3+ e2ax - e4= (ln x -1).10 分x3g(x) = x- ax+ eax - eÎ( ,e)， x a4324令.Î(a,e)x + e - ax > 0因为当 x时，22, - e < 0，x22g(x) = x- ax+ eax - e=(x+ e- ax)(x- e )<024324222所以ln x -1< lne -1= 0，所以 ¢( ) > 0F x恒成立，即单增.F x( ) ( , )a e在又e2a < x < eF(x) < F(e) = 0( ) < ( )于是当时，即 f x f.11 分xe2x Î(a,e)1(x ) < f ( )f因为，所，1x1e2f (x ) = f (x )(x ) < f ( )f又，所以，122x1e e22> = ef x( ) (e,+¥)在 单增，x2> e因为，且x1e高三数学试题第 3 页（共 4 页） ee22f (x ) < f ( )x <2，即 x x< e2 .所以由，可得12 分2x1x11 24高三数学试题第 10 页(共 页)