高中数学必修四4.备课资料(2.2.3--向量数乘运算及其几何意义)公开课教案课件课时训练练习教案课.doc

备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量,、为任意实数,则有(1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b. 证明：(1)如果=0或=0或a=0,则式显然成立.如果0,0,且a0,则根据向量数乘的定义,有|(a)|=|a|=|a|,|()a|=|a|=|a|.所以|(a)|=|()a|.如果、同号,则式两边向量的方向都与a同向;如果、异号,则式两边向量的方向都与a反向.因此,向量(a)与()a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.(2)如果=0或=0或a=0,则显然成立.如果0,0且a0,可分如下两种情况:当、同号时,则a和a同向,所以|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|,|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|,即有|(+)a|=|a+a|.由、同号,知式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即式两边向量的方向相同.综上所述,式成立.如果、异号,当>时,式两边向量的方向都与a的方向相同;当<时,式两边向量的方向都与a的方向相同.还可证|(+)a|=|a+a|.因此式也成立.(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或=0,=1时,式显然成立.图13当a0,b0且0,1时,可分如下两种情况:当>0且1时如图13,在平面内任取一点O作=a,=b,=a,=b,则=a+b,=a+b.由作法知,有OAB=OA1B1,|=|.所以|=.所以AOBA1OB1.所以=,AOB=A1OB1.图14因此O、B、B1在同一条直线上,|=|,与的方向也相同.所以(a+b)=a+b.当<0时,由图14可类似证明(a+b)=a+b.所以式也成立.二、备用习题1.(2a+8b)-(4a-2b)等于（ ）A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为（ ）A.1 B.-1 C.±1 D.03.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于（ ）A.a B.-6a C.6a D.a4.在ABC=,EFBC,EF交AC于F,设=a,=b,则用a、b表示的形式是=_.5.在ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是ABC平面上的任意一点,若+=e1-e2,则=_.6.已知ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,求证:=(a+b+c).7.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法:解:a=-2e,b=-2e,b=-a.a与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.参考答案:1.B 2.C 3.C4.-a+b5. e1-e2.6.连接AG并延长,设AG交于M.=b-a,=c-a,=c-b,=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).=(c+b-2a).=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a=0,b=0,此时,a不符合定理中的条件,且使b=a成立的值也不唯一(如=-1,=1,=2等均可使b=a成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下:解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a与b共线.(2)当e0时,则a=-2e0,b=2e0,b=-a这时满足定理中的a0,及有且只有一个实数(=-1),使得b=a成立.a与b共线.综合(1)(2),可知a与b共线.(设计者：沈献宏)下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？  甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。  乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。  主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？  齐：主动关好。  小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？  主持人：可以。  小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？  答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。  小记者：请这位同学谈谈好吗？  答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。  小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！  水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！  主持人：你们还有发言的吗？  答：有。  生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。  动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！  花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！  水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。  主持人：水伯伯，您这是干什么呢？  水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！  主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！  4.主持人：大家欢迎老师讲话！  同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。  5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。  6.活动效果：  此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？