广东省江门市2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx
广东省江门市 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1i 是虚数单位，3-4i在复平面内对应的点位于B第二象限 C第三象限A第一象限D第四象限2证明“质数有无限多个”“ 2、3、5 不可能成等差数列”等命题常用A综合法B分析法C反证法D归纳法a, b, ga,b,gC A ，则一、B、C DABCA B= +B C= += +3 A是的内角，定2p2p32pA都大于B都不大于C都小于D有一个不小于332p3= y=4抛物线 y2 = x 与 x2所围图形的面积S1A4131C2BD15从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数，事件 表示“取到的两数之和为偶数”，AP(B | A) =事件 表示“取到的较大的数为奇数”，则B34251412ABCD6下列推理过程，属于演绎推理的是A两直线平行同旁内角互补，如果ÐA,ÐB是两条平行直线的同旁内角，则ÐA+ ÐB =180°B高二（1）班 55 人，（2）班 54 人，（3）班 52 人，由此得高二所有班人数都超过 50C由“三角形两边之和大于第三边”，推测“四面体四条棱之和大于另外两条棱之和”1 æ1 ö D由a =1, a = ça +(n ³ 2)a =1n÷归纳得数列a的通项2an-11nn-1nèø7(x -1)的展开式的第 6 项的系数是10-CC6-C5C5A610BCD1010108下列关于残差图的描述错误的是 （ ） A残差图的纵坐标只能是残差.B残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量.C残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小.D残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小.9现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （）A144 种B72 种C64 种D84 种1æö B 6, , D(2X +1) =10已知随机变量 XA9çè÷2øB6C4D3(2x + 3) = a + a x + a x + a x + a x + a x11若，则52345012345() ()2a + a + a- a + a + a=2024135A-1B1C0D212函数 ( ) 在定义域 内的导函数为 f ¢f x(x)，若Rc f= (2)¢( ) > ( ), = 4 (-2), = (1)f xf x a e fb ef，> c > b> >Bb a cDc > b > aA aC > >a b c二、填空题A8=13计算：_.12A712( )14某校期末测试理科数学成绩x N 90,s(60 < x <120) 0.8=2 ，统计结果显示 P，若学校理科学生共 700 人，则本次测试成绩高于 120 分的学生人数为_.15某汽车在公路直线行驶，刹车后的速度v(t) = 40-8t停车的位移是_./（单位：m s ），则该汽车到16观察下图所示“三角数阵”，该数阵最后一行各数之和为_. 三、解答题、B、C三点对应的复数分别是 i ，1+ 3 、-i、2 + i17ABCD是复平面内的平行四边形，A其中，i 是虚数单位.（）求点 对应的复数；D（）求四边形 ABCD的周长.12S +n+ 2 = aa Sn= -n（ 2）18在数列的前 项和为 ， a，满足13SnnnnSSS（）求 ， ， 并猜想 表达式；S123n（）试用数学归纳法证明你的猜想yx19一只红铃虫的产卵数 和温度 有关，现收集了 6 组观测数据如下表：温度 x272932y产卵数 /个724661154.745z = ln y1.9462.3983.0453.1784.191y =yb x a+x（I）以温度为 23、25、27、29 的数据分别建立： 和 之间线性回归方程，11y 和 之间线性回归方程 =z b x a+；z22（）若以（）所得回归方程预测，得到温度为21、32 的数据如下：温度 x32 =y b x a+-11.51.82580.944.85711 =z b x a+22试以上表数据说明两个模型，哪个拟合的效果更好. 11()()= y + y + y + y = 30.5, z = z + z + z + z = 3.203参考数据： y4423452345å( )( ) å( )( )55x - x y - y =168,x - x z - z = 5.512» 6.2,e4.857 »128.6e1.825iiiii=2i=220某商品促销活动设计了一个摸奖游戏：在一个口袋中装有4 个红球和 6 个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客一次从中摸出3 个球，若 3 个都是白球则无奖励，若有 1个红球则奖励 10 元购物券，若有2 个红球则奖励 20 元购物券，若3 个都是红球则奖励30 元购物券.（）求中奖的概率；（）求顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值.(x) = ax + (1- 2a)x - ln x, a Î R21已知函数 f是常数2= f (x)y = f (x)在点 处的切线；（）求证函数 y的图象经过一个定点 ，并求函数PP(x)的单调性.（）讨论 f22某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生，数据如下：男女1371020（）画出性别与主修统计专业列联表；（）有多大把握认为主修统计专业与性别有关？n(ad -bc)2K = + + +，其中n a b c d .2参考数据与公式：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)( )20.100.050.010k2.7063.8416.6350DABC内角 A、B、C、 、的对边分别是a b c .231 a 3（1）若a、b、c的成等差数列，求证：< <；2 b 2 .（）若a、b、c的倒数成等差数列，求证：B2 参考答案1D【分析】先找到复数对应的点，再判断点位于第几象限得解.【详解】由题得复数3-4i对应的点为（3，-4）,由于点在第四象限，所以复数对应的点位于第四象限.故选 D【点睛】本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2C【分析】根据反证法的使用情景分析得解.【详解】对于某些正面证明比较困难，对于含有否定概念的命题的证明，一般采用反证法证明.2、3、5所以证明“质数有无限多个”“不可能成等差数列”等命题常用反证法.故选 C【点睛】本题主要考查反证法证明命题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3D【分析】2p假设a,b,g【详解】都小于都小于，利用反证法分析证明得解.32p2p2p2p假设a,b,g,B +C <, A+C <，则 A+ B <,33332pA+ B + B +C + A+C < ´3 = 2p所以,3所以 A+ B +C <p .这与 + + = p 矛盾，A B C 2p3所以假设不成立，所以a,b,g有一个不小于.故选 D【点睛】本题主要考查反证法证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于基础题.4B【分析】ò= y= （1x - x )dx由题得抛物线 = 与 x所围图形的面积S，再利用定积分计算得解.y2x220【详解】ì =yìx = 0 ìx =1x2或联立得 í，解之得ííy =1.îy=0y = x2îî所以两曲线的交点为（0,0）和（1,1）.ò= y= （ x - x )dx1由题得抛物线 = 与 x所围图形的面积S，y2x220212 1 13= ( x - x ) | = - = .所以 S2310333 3 3故选：B【点睛】本题主要考查利用定积分求图形的面积，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于基础题.5A【分析】用列举法求出事件 为“取到的两个数的和为偶数”，事件 为“取到的较大的数为奇AB数”所包含的基本事件的个数，求出 n（A），n(AB)，再根据条件概率公式，即可得到结论【详解】(1,3) (1,5) (3,5) (2, 4)，=事件 A “取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、n（A）=4，(1,3) (1,5) (3,5)，=事件 B “取到的较大的数为奇数”所包含的基本事件有、 n(AB) = 3P(B | A) =n(AB) 3=n(A)4故选 A【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6A【分析】利用演绎推理、类比推理和归纳推理的概念逐一判断每一个选项得解.【详解】对于选项 A,符合演绎推理的概念，从一般性的结论到特殊对象的结论；对于选项 B,该推理是归纳推理，是从特殊到一般的推理，不是演绎推理；对于选项 C,该推理是类比推理，所以该选项不是演绎推理；对于选项 D,该推理是归纳推理，所以该选项不是演绎推理.故选：A【点睛】本题主要考查演绎推理、类比推理和归纳推理的概念，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题.7C【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.【详解】= C x (-1) (r = 0,1,2, 10)由题得T10-r，rrr+110T = C x（-1) = -C x令 r=5,所以5 ，510555106所以(x -1)10的展开式的第 6 项的系数是 C5 .-10故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8D【解析】试题分析：根据残差图的定义和图像即可得到结论.可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，则对应相关指数越大，故选项D 错误.故选 D.考点：散点图.9D【分析】根据题意，分 3 步进行分析：先给最上面“金”着色，有4 种结果，再给“榜”着色，有 3 种结果，给“题”和“名”着色，分情况讨论其着色方法数目，最后根据分步计数原理计算【详解】根据题意，分 3 步进行分析：先给最上面“金”着色，有 4 种结果，再给“榜”着色，有 3 种结果，给“题”着色，若其与“榜”同色，则给“名”着色，有3 种结果；若其与“榜”不同色，则给“榜”着色有 2 种结果，然后给“名”着色，有2 种结果，根据分步计数原理知共有 4×3×（3+2×2）=84 种结果，故选 D【点睛】在解决计数问题时，首先要仔细分析需要分类还是分步，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”10B【分析】先求出 D(X),再求 D(2X+1)的值.【详解】1æöX B 6, ,因为随机变量ç÷2èø11 3(X ) = 6´ ´(1- ) =所以 D,22 23(2X +1)= 4D(X ) = 4´ = 6所以 D故选 B.2 【点睛】本题主要考查二项分布的方差的计算和方差的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11A【分析】+ a + a + a + a + aa - a + a - a + a - a的值即得解.先求出 a，再求出012345012345【详解】(由题得 a) ()+ a + a - a + a + a =22024135(a + a + a + a + a + a ) (a - a + a - a + a - a ).012345012345(a + a + a + a + a + a )=（2+ 3）令 x=1 得5 ，012345(a -a + a -a + a -a )=（-2+ 3)令 x=-1 时5 ，012345(所以 a) ()+ a + a - a + a + a =（2+ 3）（-2+ 3）=(23)(-2 +3) = -1.22+555024135故选：A【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和差的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12D【分析】f (x)f (x)由题得¢ > 0g(x) =，设，得函数 g(x)在 R 上是增函数，再利用函数的单调性exex分析得解.【详解】¢( ) - ( ) > 0,由题得 f x f x¢( )e - ( )e > 0,f x所以 f xxxf (x)f (x)所以¢ > 0g(x) =，设，exex所以函数 g(x)在 R 上是增函数，所以 g(2) > g(1)> g(-2)， f (2) f (1) f (-2)>>所以，e2e1e-2所以c > b > a故选 D.【点睛】本题主要考查导数的运算和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.135【分析】直接利用排列数的公式计算即得解.【详解】A8 12´11´ ´6´5=5.由题得12A712´11´ ´612故答案为 5【点睛】本题主要考查排列数的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算水平.1470【分析】P(x >120)先求出,再求出本次测试成绩高于 120 分的学生人数.【详解】由题得1P(90 < x <120) = P(60 < x <120) = 0.4，2P(x >120)所以=0.5-0.4=0.1.所以本次测试成绩高于 120 分的学生人数为 700×0.1=70.故答案为 70【点睛】本题主要考查正态分布概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15100m【分析】 先求出 t 的值，再利用定积分求出该汽车到停车的位移.【详解】令 40-8t=0,所以 t=5.（540 -8t)dt = (40t - 4t ) | = 200 -100 =100所以该汽车到停车的位移为ò.2500故答案为:100m.【点睛】本题主要考查定积分求位移，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.162 （或 1024）10【分析】+ C + C + + C由题得最后一行的和为C01011021010 ,化简即得解.10【详解】由题得最后一行的和为C+ C + C + + C =210 .0101102101010故答案为2【点睛】（或 1024）10本题主要考查杨辉三角，考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.17（）3+ 5i（）2 17 + 4 2【分析】z = a + bi(a,bÎ R)（）设点 D 对应的复数为，利用 AB = DC 求出点 D 对应的复数.（）先求出|AB |、|BC |【详解】,即得四边形 ABCD的周长.z = a + bi(a,bÎ R)（）设点 D 对应的复数为= (-1,-4) DC = (2 - a,1-b)，则 AB= (-1,-4)因为 ABCD是平行四边形，所以 AB2 - a = -1,1-b = -4所以= 3,b = 5解得 a， 3+ 5i所以点 对应的复数为D.| AB |= (-1) +(-4) = 17（）22| BC |= 2 + 2 = 2 2222(| AB | + | BC |) = 2 17 + 4 2四边形的周长为ABCD【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算、关系和模的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.属于基础题.233445n +1n + 2= -S = -2S = -3S = -，18（） S，（）见解析1n【分析】（）利用可求解1a = S - S (n ³ 2)S = -n，化简整理得（ 2），依次代入数据，即S + 2n-1nnn-1n（）根据数学归纳法步骤证明即可【详解】11S + + 2 = a = S - SS = -n（）由，得（ 2）Sn-1S + 2n-1nnnnn22= -S = - a， ，3331111114= -S = -2= -= -S = -3= -23S1+ 24 ，S + 25 ，- + 2- + 2234n +1= -猜想： Sn + 2n2n +11+11+ 223=1= = - ，右边-= -= -（）证明： 当 n时，左边 S a，猜想3n + 211成立k +1k + 2= k= - 假设当nk N（ Î *）时猜想成立，即S，k( )k +1 +111+1k + 2k + 2S = -k+1= -= -= -= -( ) ( )( )那么，+ 2k- +1 + 2 + 2+ 3+1 + 2 ，Skkkk-+ 2kk + 2即当 n= k +1时猜想也成立 根据，可知猜想对任何nÎ N*都成立【点睛】aS本题考查数列中 和 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证nn明的能力，属基础题 = 8.4 -187.9 = 0.2756x -3.9626（）模型的拟合效果更好，详，zyx19（）见解析【分析】（）利用最小二乘法原理求解即可. （）求出两种模型的随机误差，再比较它们的大小即得解.【详解】å( )( )5x - x y - yiib =1= 8.4 a= y - b x = -187.9（）i=2，å( )511x - x2ii=2 = 8.4 -187.9yx所以å( )( )5x - x z - ziib =2= 0.2756 a，= z - b x = 3.9626i=2，å( )522x - x2ii=2 = 0.2756 -3.9626所以 zx= 21时，模型预测的产卵数的随机误差为7 -(-11.5) =18.5，模型预测的产（） x卵数的随机误差为7 - 6.2 = 0.8.x = 32 时，模型预测的产卵数的随机误差为115-80.9 = 34.1，模型预测的产卵数的随机误差为115-128.6 = -13.6，0.8 <18.5 ,( -13.6) < 34.1因为2222所以，模型的拟合效果更好.【点睛】本题主要考查利用最小二乘法求回归方程，考查模型拟合效果的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 520（） （）顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值为12 元6【分析】（）利用对立事件的概率公式求中奖的概率.（）设顾客摸奖一次获得购物券奖励 X 元，X = 0,10,20,30则，再求出对应的概率，再求出顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值.【详解】56C3P =1-=6（）中奖的概率C310X = 0,10,20,30（）顾客摸奖一次获得购物券奖励 X 元，则113C3C14CC26C24CC16P(X = 0) = , P(X =10) = , P(X = 20) =s310C6310231010C343101P(X = 30) =C30所以 X 的分布列为X0102030161231P10301131EX = 0´ +10´ + 20´ + 30´ =12621030答：顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值为12 元.【点睛】本题主要考查概率的计算，考查分布列和均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.1æö21（）过定点 P(2,2 - ln 2)y = 2a + x - 4a +1- ln 2（），证明见解析，切线为ç÷2èø详见解析【分析】( )f (x) = a x - 2x + (x - ln x)22 - 2 = 0即得曲线经过的定点坐标.再（）先化简，令 xx 1= f (x)¢( ) = ( -1)x利用导数的几何意义求函数 y在点 处的切线. （）由题得 f xPx(2ax +1)，再对 a 分类讨论，求函数的单调性.【详解】( )f (x) = ax+(1-2a)x -ln x = a x-2x +(x -ln x)（）22= 2,x = 0 = 0舍去）（ x- 2x = 0 x得由 x2(2) = 2 - ln 2P(2,2 - ln 2)，因为 f，所以曲线过定点11¢( ) = 2 + (1- 2 ) -¢(2) = 2 +a由题得 f xaxa， f，x211ö2øæöæy - (2 - ln 2) = 2a + (x - 2)y = 2a + x - 4a +1- ln 2所求切线为ç÷，即ç÷2èøè1 1¢( ) = 2 + (1- 2 ) - = ( -1)(2 +1)（） f xaxaxaxx x1³ 0(2ax +1)> 0¢( ) = 0，由 f xx=11（1） a时，得x（f x）的单调性如下：(0,1)(1,+¥)xf-+（f x）极小值1¢( ) = 0时，由 f xx=1, = -a < 0得 x2a12121= -< -¢( ) = - ( -1) £ 0=1 （ ）时成立， f x 在定义域内单调（1）a时， f xx且等号仅当 x2x递减.12> > 0, ( )x xf x的单调性如下：（2） a时，12 11- ,1(1,+¥)xçè÷10+0（f x）极小值极大值1- < a < 0> > 0, ( )时， x x（3）f x 的单调性如下：221111æçèö÷øæçèö÷ø(0,1)-x1-0+0-（f x）极小值极大值【点睛】本题主要考查函数图像的定点问题，考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查函数单调性的讨论，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22（）列联表见解析（）有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关【分析】（）根据已知条件直接列联表. （）利用独立性检验求出有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关.【详解】（）性别与主修统计专业列联表男137102030女27合计2050 n(ad - bc)250´(13´ 20 -10´7)223´ 27´ 20´30K =（）由题得2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)» 4.844 > 3.841所以，有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关.【点睛】本题主要考查列联表，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分推理能力.23（）详见解析（）详见解析【分析】1 a 3（）设公差为d ，则a = b - d, c = b + d ,再利用不等式的性质求证.（）依< <2 b 2.2 1 1cos B > 0<，即证明 B题意 = + ,再利用余弦定理证明b a c2【详解】a = b - d, c = b + d（）设公差为d ，则b - d > 0b + d > 0ìïïí依题意,(b - d) +b > b + d(b + d) +b > b - dïïî11123- b < d < bb < a = b - d < b解得，2221 a 3< <所以.2 b 22 1 1= +b a c（）依题意a + c -b222由余弦定理cos B =2ac2acæö2+ c -b = a + c -其中， a22222ç÷+ cè a ø2acæö2+ c ³ 2 ac,a + c -³ 2ac - ( ac) = ac > 0由基本不等式，a22ç÷2+ cè a ø .2cos B > 00 < <<，且B p ，所以 B【点睛】本题主要考查不等式的证明，考查等差数列的性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.n(ad - bc)250´(13´ 20 -10´7)223´ 27´ 20´30K =（）由题得2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)» 4.844 > 3.841所以，有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关.【点睛】本题主要考查列联表，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分推理能力.23（）详见解析（）详见解析【分析】1 a 3（）设公差为d ，则a = b - d, c = b + d ,再利用不等式的性质求证.（）依< <2 b 2.2 1 1cos B > 0<，即证明 B题意 = + ,再利用余弦定理证明b a c2【详解】a = b - d, c = b + d（）设公差为d ，则b - d > 0b + d > 0ìïïí依题意,(b - d) +b > b + d(b + d) +b > b - dïïî11123- b < d < bb < a = b - d < b解得，2221 a 3< <所以.2 b 22 1 1= +b a c（）依题意a + c -b222由余弦定理cos B =2ac2acæö2+ c -b = a + c -其中， a22222ç÷+ cè a ø2acæö2+ c ³ 2 ac,a + c -³ 2ac - ( ac) = ac > 0由基本不等式，a22ç÷2+ cè a ø .2cos B > 00 < <<，且B p ，所以 B【点睛】本题主要考查不等式的证明，考查等差数列的性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
