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第一章习题解答第一章习题解答1.2 1.2 证明证明)()exp()()2(xcombxjxcombxcomb 证：证： )2(xcomb nnnxnx)2(2)2( )exp()(xjxccomb )exp()(xjnxn )exp()(njnxn nnnx)()1( )()exp()(xcombxjxcomb nnnnxnx)()()1( n n为奇数为奇数0 0 nnx)2(2 1.4 1.4 计算下面两个函数的一维卷积计算下面两个函数的一维卷积xxxf 1)(10 x1 0 xxh 1)(解：（解：（1 1）改变量）改变量 )( f10 10)( h（2 2）折叠）折叠（3 3）位移）位移当当01 x )( f10 x 1)( xh（3 3）位移）位移当当01 x )( f10 x 1)( xh相乘、积分得卷积相乘、积分得卷积 如图如图 dxhfxgx)()()(10 dxx)1( )1(10 3612131xx 当当10 x如图如图 )( f10 x)( xh相乘、积分得卷积相乘、积分得卷积 dxhfxgx)()()(1 dxx)1( )1(1 3612131xx )(xg3612131xx 01 x3612131xx 10 x0 0其它其它1.5 1.5 计算下列一维卷积计算下列一维卷积)21()32()1( xrectx )21()21()2( xrectxrect)()()3(xrectxcomb 解（解（1）)21()32()1( xrectx )21()23(21 xrectx )2123(21 xrect)25.2(21 xrect)21()21()2( xrectxrect 21)21( xrect)21( rect02 x xdxg20)( 2 x2 x20 x 21xx 2 2)(xdxg x 2 )(xgx 202 xx 220 x0其它其它21x 02 x21x 20 x0其它其它=2)2(2)(xxg )()()3(xrectxcomb )()(xrectnxn )(xcomb )(xrect=)()(xrectxcomb 1.6 已知已知)exp(2x 的傅里叶变换为的傅里叶变换为)exp(2 试求试求 ?)exp(2 x?)2exp(22 x解：解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案 ),(1),(baFabbyaxf )2exp(22 x?2exp222 x 222exp2 2222exp2 )exp(2 x )exp(2x)exp(22 xdxxc cos)(sin) 2(2 dd)21()(21)21()(21)21(21)21(21 21 32)1()1(102012 dd1.7 1.7 计算积分计算积分?)(sin) 1 (4 xc?cos)(sin)2(2 xxc 解：利用广义巴解：利用广义巴塞伐定理求解塞伐定理求解 dydxyxfy)(x,)g,( ddGF),(),( dxc)()()(sin)1(4 )( 1 11.81.8应用卷积定理求应用卷积定理求)2(sin)(sin)(xcxcxf 的傅里叶变换的傅里叶变换解：解： )2(sin)(sinxcxc)()2()(21 Grectrect 1 1 2121 2123 1 1 2321 1 1 )2(sin)(sinxcxc 2121 2121)(2121 dG 1 21 212123 24321)(211 dG2321 1 21 24321)(121 dG1 -121 )( G243 2123 2121 1/22321 243 0其它其它)2/1(41)2/3(43)( G1.9 1.9 设设0),exp()( xxf求求 )(xf?)( dxxf解：解：dxxjxdxxjxF)2exp()exp()2exp()exp()(00 22)2(2 dxxf)(022)2(2 2 )( xf01 x,其其它它,0 )x(h0 x,ex其其它它,01)( xfx01)( xh1x01.101.10设线性平移不变系统的原点响应为设线性平移不变系统的原点响应为)()exp()(xstepxxh 试计算系统对阶跃函数试计算系统对阶跃函数step(x)step(x)的响应。的响应。解：解：)()exp()(xstepxxh )exp( x 0 x)()()(xhxstepxg 0 x)()(xhxf 1)( f 01)( h1 0（1 1）、将）、将f f (x)(x)和和h h (x)(x)变为变为f f ( ( ) )和和h h ( ( ) )，并画出相应的曲线，并画出相应的曲线（2 2）、将）、将h(h( ) ) h(-h(- ) )只要将只要将h(h( ) )曲线相对纵轴折叠便得到其镜曲线相对纵轴折叠便得到其镜像像h(-h(- ) )曲线。曲线。1)(- h1 01)( f 0（3 3）、将曲线）、将曲线h(-h(- ) )沿沿x x轴平移轴平移x x便得到便得到h(x-h(x- ) )，00 )x(h)(f,x 时时当当因此因此 g(x)=0g(x)=0)曲线下面的面积计算积f()h(x0时,当x )-( xh1)( f 0 x )d()()(0 xxhfxg d1)-(0 xxe d1)-(0 xxexe 1)( xg0 xx0)(0 xg1.11 1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为)(sin)(1xcxh 和和)3(sin)(2xcxh 试计算各自对输入函数试计算各自对输入函数xxf 2cos)( 的响应的响应)(1xg和和)(2xg解：解： )1()1(21)( F)3(31)(2 rectH )()(1 rectH )1()1(21)()(11 HG )1()1(21)( rect0 )(1xg -1 -1 )(1 G0 )1()1(21)()(22 HG )1()1(21)3(31 rect )1()1(61 )(2xg -1 )(2 Gx 2cos31 1.12 1.12 已知一平面波的复振幅表达式为已知一平面波的复振幅表达式为 )432(exp),(xyxjAzyxU 试计算其波长以及沿试计算其波长以及沿x,y,zx,y,z方向的空间频率。方向的空间频率。 rkjAzyxU exp),( )(expzkykxkjAzyx 2 xk3 yk4 zk22 32 42 1 23 2 292222 zyxkkkk 229 k292 第二章习题解答第二章习题解答2.12.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a a的圆形孔径上，试的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU 解：解：0 yx)(exp1), 0 , 0(jkzjzzU 0002022020)(2exp)(dydxyxzkjayxcirc )(exp1jkzjz rdrrzkjda 20022exp 1)2(exp212)(exp12zajkjkzjkzjz 1)2(exp212)(exp12zajkjkzjkzjz 1)2sin()2cos()(exp22zakjzakjkz 1)sin()cos()(exp22zajzajkz 1)2cos()2sin(2)cos()(exp222zazajzajkz 1)2cos()2sin(2)22cos()(exp222zazajzajkz )2cos()2sin(2)2(sin2)(exp2222zazajzajkz )2cos()2sin()2sin(2)(exp222zazajzajjkz )2cos()2sin()2sin()(exp2222zazajzajkzj )2exp()2sin()(exp222zajzajkzj zazI 2sin4),0,0(22解：设入射激光束的复振幅解：设入射激光束的复振幅A A0 0，强度为，强度为2.1 2.1 焦距焦距f=500mmf=500mm，直径，直径D=50mmD=50mm的透镜将波长的透镜将波长nm8 .632 的激光束聚焦，激光束的截面的激光束聚焦，激光束的截面D D1 1=20mm=20mm。试求透镜焦点处。试求透镜焦点处的光强是激光束光强的多少倍？的光强是激光束光强的多少倍？200AI 通过透镜后的出通过透镜后的出射光场为射光场为),(),(000000yxPAyxU xjxjxjsin)exp(2)2exp(1 )(2exp2020yxfkj),(),(000000yxPAyxU )(2exp2020yxfkj)2/(120200DyxcircA )(2exp2020yxfkj将此式代入菲涅耳衍射公式将此式代入菲涅耳衍射公式 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU 0 yxfjjkfAfU )(exp), 0 , 0(0 0012020)2/(dydxDyxcirc 4)(exp210DfjjkfA 221204),0,0( fDAzI 6010 I3 3、波长为、波长为 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模径平面上有一个足够大的模 板，其振幅透过率为板，其振幅透过率为 0032cos121)(xxt 求透射场的角谱。求透射场的角谱。解：解：)cos,31cos(41)cos,31cos(41)coscos(21)cos,cos( T )cos,31cos(41)cos,31cos(41)coscos(21)coscos()cos,cos( A)cos,31cos(41)cos,31cos(41)coscos(21 4 4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上，以单如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上，以单位振幅的单色平面波垂直照明，试求透镜后焦面上的夫琅和费衍位振幅的单色平面波垂直照明，试求透镜后焦面上的夫琅和费衍射图样的复振幅分布。射图样的复振幅分布。0 x0y45450 )(2exp)(exp1),(22yxfkjjkfjfyxU 0000000)(2exp),(dydxyyxxfjyxU CyxU),( 0000000)(2exp),(dydxyxjyxU 00 xy 00 xy ax 0 0000000)(2expdyyxjdxCxxa acjacajjca)(sin)(exp)(sin)(exp2 2.5 2.5 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化 ，则不论，则不论孔径形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。孔径形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。 dxdyyxjyxtT)(2exp),(),( 解：由于孔径上的场没有相位的变化，则孔径的透过率函数为实数解：由于孔径上的场没有相位的变化，则孔径的透过率函数为实数 dxdyyxjyxt)(2exp),( ),( T ),(),(),( TTI ),(),( TT ),(),( TT),( I2.6 2.6 在题在题2.52.5中，若孔径对于某一直线是对称的，则衍射图样将中，若孔径对于某一直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。A AB BC CD D P PP QQ 因为孔径关于因为孔径关于ABAB对称，所以对称，所以QPII PQII ),(),( IIPPII 所以所以QPII PQII 结论成立结论成立因为因为2.7 2.7 在题在题2.52.5中，若孔径具有对称中心，则衍射图样将出现条纹花中，若孔径具有对称中心，则衍射图样将出现条纹花样样 0000000)(2exp),(),(dydxyxjyxUCU 0000000)(2cos),(dydxyxyxUjSC 0000000)(2sin),(dydxyxyxUj 衍射图样的强度由衍射图样的强度由22SCI 要使要使I=0I=00, 0 SC所以强度为零是它们的交点，但因为开孔对于原点对称，所以有所以强度为零是它们的交点，但因为开孔对于原点对称，所以有),(),(000000yxUyxU 这时，这时，S=0S=0，强度为零的轨迹是由，强度为零的轨迹是由0 C表示的曲线。在衍射图中形成条纹花样。表示的曲线。在衍射图中形成条纹花样。2.82.8证明阵列定理证明阵列定理. .设衍射屏上有设衍射屏上有NN个形状和方位均相同的全等形个形状和方位均相同的全等形开孔，在每个孔内取一个位置相应的点代表孔径位置，则夫琅开孔，在每个孔内取一个位置相应的点代表孔径位置，则夫琅和费衍射场是下述两个因子的乘积；（和费衍射场是下述两个因子的乘积；（1 1）置于原点的一个孔径）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（衍射屏的原点处不一定有开孔）；（的夫琅和费衍射（衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2 2）NN个个点源在观察面上的干涉。点源在观察面上的干涉。),(),(001000nnNnyxtyxt ),(),(001000nnNnyxyxt NnnnajTT10)(2exp),(),( 2120)(2exp),(),( NnnnajTI ),(),(20 AT ),(nn 0 x0 x0y0y),(000yxt上式就是所谓的阵列定理，第一个因子相当于把某一个小孔的上式就是所谓的阵列定理，第一个因子相当于把某一个小孔的相应点移到原点时相应点移到原点时单孔的夫琅和费衍射图样单孔的夫琅和费衍射图样；第二个因子相当；第二个因子相当于于NN个点源分别位于个点源分别位于),(nn 时在观察面上形成的干涉图样时在观察面上形成的干涉图样第一个因子称为第一个因子称为形状因子形状因子，它取决于单个小孔的衍射；第二，它取决于单个小孔的衍射；第二个称为个称为阵列因子阵列因子，只取决于小孔相互排列的情况，而与衍射，只取决于小孔相互排列的情况，而与衍射小孔本身的形状无关。小孔本身的形状无关。如果各衍射孔的位置是随机分布的，则可用概率论中的随机行如果各衍射孔的位置是随机分布的，则可用概率论中的随机行走问题来计算走问题来计算),( A00 2)0 , 0(NA 00 21)(2exp),( NnnnajA mnnmnmj)()(2exp 2.92.9如上题，小孔规则排列，则如上题，小孔规则排列，则),(),(0010100nqympxtyxtNnMm ),(),(),(001100000nqympxyxtyxtNnMm NnnMmqnmpjTT110)(2exp),(),( nmnm nmN nm0NA ),( 20),(),( TNI NnnMmqnmpjTT110)(2exp),(),( NnMmnqjpmjT110)(2exp)(2exp),( Mmpmj1)(2exp pjpjpj 6exp4exp2exp pmj 2exp pmjpjpjpj ) 1(2exp4exp2exp12exp pmjpjpj ) 1(2exp2exp12exp 1)2(exp1)2exp()2exp( pjpMjpj )2(exp11)2exp(pjpMj )2(exp1)2exp(1)2exp(pjpMjpMj )2(exp1)2exp(1)2exp(pjpMjpMj xjxjxjsin)exp(2)2exp(1 利用利用ppjpMpMjpMj sin)(expsin)exp()2exp( ppMpMj sinsin)1(exp NnMmnqjpmjTT110)(2exp)(2exp),(),( ),(0 T qqNppMqNjpMj sinsinsinsin)1()1(exp 22222221sinsinsinsin/2/22),(qfyqfyNpfxpfxMfyxafyxJayxI 2.102.10一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数)(cos2121)(2arcircarrt （1 1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？（2 2）给出此屏的焦距表达式。）给出此屏的焦距表达式。（3 3）什么特性会严重地限制这种屏用做成像装置（特别是对于）什么特性会严重地限制这种屏用做成像装置（特别是对于 彩色物体）彩色物体） )()(exp41)(exp4121),(222222ayxcircyxjayxjayxt 平面波平面波会聚球面波会聚球面波发散球面波发散球面波在成像和傅里叶变换性质上类似于透镜。在成像和傅里叶变换性质上类似于透镜。焦距焦距aa ,色散特性色散特性会严重地限制这种屏用做成像装置会严重地限制这种屏用做成像装置第三章习题第三章习题3.13.1参看图参看图3.1.13.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数，在推导相干成像系统点扩散函数3.1.53.1.5式时，对于式时，对于积分号前的相位因子积分号前的相位因子 222020200)(2exp)(2expMyxdkjyxdkj试问（试问（1 1）物平面上半径多大时，相位因子）物平面上半径多大时，相位因子 222020200)(2exp)(2expMyxdkjyxdkj相对于它在原点之值正好改变相对于它在原点之值正好改变 弧度？弧度？（2 2）设光瞳函数是一个半径为）设光瞳函数是一个半径为a a的圆，那么在物平面上相应的圆，那么在物平面上相应h h的第一零点的半径是多少？的第一零点的半径是多少？（3 3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a, a, 和和d0d03.1.33.1.3之间存在什么关系时可以弃去相位因子之间存在什么关系时可以弃去相位因子 )(2exp20200yxdkj解：解：),(00yx),(yx),(iiyx0did（1 1）原点相位为零，因此，与原点相位差为）原点相位为零，因此，与原点相位差为 的条件是的条件是 020202002)(2dkryxdk00dr （2 2）由）由3.1.53.1.5式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点),(00yxdxdyyyyxxxdjyxPddyxyxhiiiiii )()(2exp),(1),;,(000200 dxdyydyyxdxxjyxPddiiiii )()(2exp),(10002 dxdyyxjyxPddi 2exp),(102 arcircFddi021 )2(1102aaJddi 22yxr 式中式中2020 iiiidyydxx 考虑考虑(x(x0 0,y,y0 0) )的点扩散函数的点扩散函数, ,且设其第一个零点在原点处且设其第一个零点在原点处20200 iiiidyydxx 0)2(01 aJ83.320 aa61.00 2020 iidydx 2020 iidMydMx 200200 dydx 000dr 0r如图，只有在以如图，只有在以r r0 0为半径的区域内的各点才对为半径的区域内的各点才对0,0 iiyx有贡献有贡献000061.0dadr （3)3)根据线性系统理论根据线性系统理论, ,像面上原点处的场分布像面上原点处的场分布, ,必须是物面上所有必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对原点的贡献点在像面上的点扩散函数对原点的贡献h(xh(x0 0,y,yo o;0,0).;0,0).按照上面的分按照上面的分析析, ,如果略去如果略去h h第一个零点以外的影响第一个零点以外的影响, ,即只考虑即只考虑h h的中央亮斑对原点的中央亮斑对原点的贡献的贡献, ,那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r r小于等于小于等于r r0 0范围范围内的小区域内的小区域. .当这个小区域内各点的相位因子当这个小区域内各点的相位因子expjkrexpjkr2 20 0/2d/2d0 0 变化不变化不大大, ,就可认为就可认为(3.1.3)(3.1.3)式的近似成立式的近似成立, ,而将它弃去而将它弃去. .假设小区域内相位变假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度化不大于几分之一弧度( (例如例如 /16)/16)就满足以上要求就满足以上要求, ,则则0)2(01 aJ83.320 aa61.00 0r162020 dkr044.2da 数据：数据：nm600 mmd6000 mma46.1 这一条件是极容易满足的。这一条件是极容易满足的。3.23.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为00002cos2121),(xfyxt 放在上图放在上图3.3.13.3.1所示的成像系统的物平面上，用单色平面波倾斜照明，所示的成像系统的物平面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在平面波的传播方向在x x0 0z z平面内，与平面内，与z z轴夹角为轴夹角为 ，透镜焦距为，透镜焦距为f, f,孔径为孔径为D D。（1 1）求物体透射光场的频谱；）求物体透射光场的频谱；（2 2）使像平面出现条纹的最大）使像平面出现条纹的最大 角等于多少？求此时像面强度分布；角等于多少？求此时像面强度分布；（3 3）若）若 采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与与 =0=0时的截止频率比较，结论如何？时的截止频率比较，结论如何？),(00yx),(yx),(iiyxf2f2 解：斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为解：斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为)sinexp(0 jkxA则物平面上的透射光场为则物平面上的透射光场为),()sinexp(),(000000yxtjkxAyxU )sin(2exp21)sin(2exp21)sin2exp(2),(00000000 fxjfxjxjAyxU其频谱为其频谱为 ),(),(000yxUFA )sin(21)sin(21)sin(200 ffA由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿 轴整体平移了轴整体平移了sinsin / / 距离。距离。 sin sin0 f sin0 f0 0f 0f （2 2）要使像面有强度变化，至少要有两个频率分量通过系统。）要使像面有强度变化，至少要有两个频率分量通过系统。系统的截止系统的截止 fDc4 fD4sin fDffD4sin40 fDfDf4sin40 最大的最大的 角角fD4arcsinmax 此时像面上的复振幅分布和强度分布为此时像面上的复振幅分布和强度分布为 )sin(2exp21)sin2exp(2),(000 fxjxjAyxUiii xfAyxIiii022cos454),( (3(3）照明光束的倾角取最大值时，）照明光束的倾角取最大值时， fDfDf440 fDf20 fDf2max0 0 系统的截止频率为系统的截止频率为 fDc4 因此光栅的最大频率因此光栅的最大频率 fDf4max0 因此当采用最大倾角的平面波照射时，系统的截止频率提高了因此当采用最大倾角的平面波照射时，系统的截止频率提高了一倍，也就是提高了系统的一倍，也就是提高了系统的极限分辨率极限分辨率，但系统的通带宽度不，但系统的通带宽度不变。变。3.33.3光学传递函数在光学传递函数在 = =0=0处都等于处都等于1, 1,这是为什么？光学传递这是为什么？光学传递函数的值可能大于函数的值可能大于1 1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？这时的光学传递函数怎样？解：（解：（1 1） iiiiiiIdydxyxjyxhH)(2exp),(),( iiiiIdydxyxhH),()0,0( 光学传递函数为光学传递函数为)0,0(),(HH 所以当所以当 = =0=0时。时。1)0,0(),( HH 这是归一化的结果。这是归一化的结果。（2 2）由上式可知，光学传递函数的值不可能大于）由上式可知，光学传递函数的值不可能大于1 1。（3 3）如果光学系统真的实现了点物成点像，点扩散函数是）如果光学系统真的实现了点物成点像，点扩散函数是 函函数，这时的光学传递函数为常数，等于数，这时的光学传递函数为常数，等于1. 1.3.4 3.4 当非相干成像系统的点扩散函数当非相干成像系统的点扩散函数h hI I(x(xi i,y,yi i) )成点对称时，则成点对称时，则其光学传递函数是实函数。其光学传递函数是实函数。),(),(iiIiiIyxhyxh ),(),(iiIiiIyxhyxh )0,0()(2exp),(),(HdydxyxjyxhHiiiiiiI )0,0()(2exp),(),(HdydxyxjyxhHiiiiiiI )0,0()(2exp),(HdydxyxjyxhiiiiiiI OTFOTF )0,0()(2exp),(HdydxyxjyxhiiiiiiI )0,0()()(2exp),(HdydxyxjyxhiiiiiiI )0 , 0()()()()(2exp),(HydxdyxjyxhiiiiiiI )0 , 0(2exp),(HdydxyxjyxhiiiiiiI ),( H 所以所以OTFOTF为实函数为实函数3.53.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为圆孔的直径都为2a2a，出瞳到像面的距离为，出瞳到像面的距离为didi，光波长为，光波长为 ，这种，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多少？系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多少？0),(),(NSNSH ),( S0),(SS 用公式用公式(3.4.15)(3.4.15)来分析来分析. .首先首先, ,由于出瞳上的由于出瞳上的小圆孔是随机排列的小圆孔是随机排列的, ,因此无论沿哪个方向因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积移动出瞳计算重叠面积, ,其结果都一样其结果都一样, ,即系即系统的截止频率在任何方向上均相同统的截止频率在任何方向上均相同. .其次其次, ,作作为近似估计为近似估计, ,只考虑每个小孔自身的重叠情只考虑每个小孔自身的重叠情况况, ,而不计及和其它小孔的重叠而不计及和其它小孔的重叠. .这时这时NN个小个小孔的重叠面积除以孔的重叠面积除以NN个小孔的总面积个小孔的总面积, ,其结其结果与单个小孔的重叠情况是一样的果与单个小孔的重叠情况是一样的, ,即截止即截止频为约为频为约为2/2/ di,di,由由22很小很小, ,所以系统实现所以系统实现低通滤波。低通滤波。OTFOTF第五章习题第五章习题5.15.1证明证明: :若一平面物体的全息图记录在一个与物体相平行的平面若一平面物体的全息图记录在一个与物体相平行的平面内内, ,则最后所得到的像将在一个与全息图平行的平面内则最后所得到的像将在一个与全息图平行的平面内.( .(为简单起为简单起见见, ,可设参考光为一平面波可设参考光为一平面波.) .)解：利用点源全息图公式解：利用点源全息图公式(5.5.13)-(5.5.15),(5.5.13)-(5.5.15),取物平面上任一点来取物平面上任一点来研究研究. .为简单起见为简单起见, ,设设 1 1 = 2 2, , 参考光波和再现光波是波矢平行于参考光波和再现光波是波矢平行于yzyz平面的平面波平面的平面波, ,即即z zP P=z=zr r=, x=, xP P=x=xr r=0.=0.于是有于是有1012121 zzzzrpi ppirriiixzzxzzxzzx 120012 ppirriiiyzzyzzyzzy 120012 1012121 zzzzrpi ppirriiixzzxzzxzzx 120012 ppirriiiyzzyzzyzzy 120012 不管是原始虚像还是共轭实像，不管是原始虚像还是共轭实像，z zi i均与均与x x0 0,y,y0 0无关，即不管物无关，即不管物点在物平面上位于何处，其像点均在同一平面内点在物平面上位于何处，其像点均在同一平面内, ,但位置有变但位置有变化化, ,随参考光波和再现光波的不同而在像平面内发生平移随参考光波和再现光波的不同而在像平面内发生平移. .实际实际上上z zi i只与只与z z0 0有关，而平面物体的有关，而平面物体的z z0 0都相同，所以再现像在同一都相同，所以再现像在同一平面内。平面内。(2)(2)设设 z zp p=,Z=,Zr r=2z=2zo o, ,z zo o=1Ocm,=1Ocm,问问Z Zi i是多少是多少? ?放大率放大率MM是多少是多少? ?5.2 5.2 制作一全息图制作一全息图, ,记录时用的是氧离子激光器波长为记录时用的是氧离子激光器波长为488.Om488.Om的光的光, ,而成像是用而成像是用He-NeHe-Ne激光器波长为激光器波长为632.8m632.8m的光的光: :(1)(1)设设z zp p=,z=,zr r=,z=,zo o=1Ocm,=1Ocm,问像距问像距zi zi是多少是多少? ?2,4 .15 Mcmzicmzi7.7 5.35.3证明证明: :若若 2 2= l l , ,及及z zp p=Zr=Zr, ,则得到一个放大率为则得到一个放大率为1 1的虚像的虚像; ;若若 2 2= l l , ,及及z zp p=-Zr=-Zr时时, ,则得到一个放大率为则得到一个放大率为1 1的实像的实像. .1012121 zzzzrpi 由由5.5.135.5.13可证明可证明5.45.4下表列举了几种底片的下表列举了几种底片的MTFMTF的近似截止频率的近似截止频率: : 型号型号 线线/mm/mm Kodak Tri-x 5O Kodak Tri-x 5O kodak kodak 高反差片高反差片 60 60 kodak kodak S0-243 300 S0-243 300 Agfa Agepam Agfa Agepam FF 600 FF 600设用设用632.8m632.8m波长照明波长照明, ,采用无透镜傅里叶变换记录光路采用无透镜傅里叶变换记录光路, ,参考点参考点和物体离底片和物体离底片lOcmlOcm. .若物点位于某一大小的圆若物点位于某一大小的圆( (在参考点附近在参考点附近) )之外之外, ,则不能产生对应的像点则不能产生对应的像点, ,试对每种底片估计这个圆的半径试对每种底片估计这个圆的半径. . 5.6.3 5.6.3 无透镜傅里叶变换全息图无透镜傅里叶变换全息图),(rryxR物物针孔参考光束针孔参考光束),(yx胶片胶片),(00yxO解：物点离参考点越远，空间频率越高。若解：物点离参考点越远，空间频率越高。若max 最高空间频率，那么，只有坐标满足条件最高空间频率，那么，只有坐标满足条件是乳胶能分辨的是乳胶能分辨的max02020)()( zyyxxrr 的那些物点才能在再现像中出现。的那些物点才能在再现像中出现。5.6.125.6.12)(38,19,8 .3,16.3max0maxmmzr 55 55 证明证明 : :图题图题5.1(a)5.1(a)和和(b)(b)的光路都可以记录物体的准傅里叶变的光路都可以记录物体的准傅里叶变换全息图换全息图. . 图题图题5.15.1准傅里叶变换全息图的两种光路准傅里叶变换全息图的两种光路 解、解、1 1 物体位于透镜前物体位于透镜前d d0 0处，应用公式处，应用公式2.4.9 2.4.9 P51P51d d0 0(-b,0)(-b,0)x x 000000220)(2exp),()(12exp),(dydxyxjyxgyxfdfkjCyxUo 000000220)(2exp),()(12exp),(dydxyxjyxgyxfdfkjCyxUo),()(12exp220 GyxfdfkjC 式中式中fx fy 参考光在后焦平面上形成的光场分布为参考光在后焦平面上形成的光场分布为 000000220)(2exp),()(12exp),(ydxdyxjybxyxfdfkjRyxUr 这里的记录平面并不是物和参考光的准确傅里叶变换平面这里的记录平面并不是物和参考光的准确傅里叶变换平面, ,多了一多了一个二次相位因子个二次相位因子, ,因此说全息图平面是物光场分布的因此说全息图平面是物光场分布的准傅里叶变换准傅里叶变换平面平面. .全息图平面上的光强分布为全息图平面上的光强分布为 bjRGCGbjRCGCRyxI2exp),(),(2exp),(),(222 )2exp()(12exp220bjyxfdfkjR由此可见由此可见, ,二次相位因子已相互抵消二次相位因子已相互抵消, ,只有倾斜因子和物频谱只有倾斜因子和物频谱, ,故记录故记录了物的傅里叶频谱了物的傅里叶频谱, ,但记录面又不是物的准确傅里叶变换平面但记录面又不是物的准确傅里叶变换平面, ,所以所以称为准傅里叶变换全息图称为准傅里叶变换全息图(2)(2)物在透镜后物在透镜后f-df-d。处。处, ,应用公式应用公式(2.4.15(2.4.15，P53P53）得透镜后焦面上的物）得透镜后焦面上的物场分布为场分布为00000000220)(2exp),()(2exp),(dydxydyxdxjyxgyxdkjCyxUo),()(2exp220 GyxdkjC 0dx 0dy 式中式中参考光在后焦平面上形成的光场分布为参考光在后焦平面上形成的光场分布为00000000220)(2exp),()(2exp),(dydxydyxdxjybxyxdkjCyxUr)2exp()(2exp220bjyxdkjR 全息图平面上的光强分布为全息图平面上的光强分布为 bjRGCGbjRCGCRyxI2exp),(),(2exp),(),(222 .由于物光波和参考光波有相同的相位因子由于物光波和参考光波有相同的相位因子, ,可相互抵消可相互抵消, ,从而得到物从而得到物体的准傅里叶变换全息图。体的准傅里叶变换全息图。5.65.6散射物体的菲涅耳全息图的一个有趣性质是散射物体的菲涅耳全息图的一个有趣性质是, ,全息图上全息图上局部区域局部区域的划痕和脏迹并不影响像的再现的划痕和脏迹并不影响像的再现, ,甚至取出全息图的一个碎片甚至取出全息图的一个碎片, ,仍能仍能完整地再现原始物体的像完整地再现原始物体的像, ,这一性质称为全息图的冗余性这一性质称为全息图的冗余性. .(1)(1)应用全息照相的基本原理应用全息照相的基本原理, ,对这一性质加以说明对这一性质加以说明. .(2)(2)碎片的尺寸对再现像的质量有哪些影响碎片的尺寸对再现像的质量有哪些影响? ?解：解：(1)(1)对于散射物体的菲涅耳全息图对于散射物体的菲涅耳全息图, ,物体与底片之间的关系是物体与底片之间的关系是点点面面对应关系对应关系, ,即每一物点所发出的光波都直接照射到记录介质的整即每一物点所发出的光波都直接照射到记录介质的整个平面上个平面上; ;反过来反过来, ,菲涅耳全息图上的每一点都包含了物体各点的全菲涅耳全息图上的每一点都包含了物体各点的全部信息部信息, ,称为全息图的称为全息图的“冗余冗余”性性. .这意味着只要一小块全息图就可这意味着只要一小块全息图就可完整再现原始物的像。因此完整再现原始物的像。因此, ,局部区域的划痕和脏迹并不影响物的局部区域的划痕和脏迹并不影响物的完整再现完整再现, ,甚至取出一小块仍能完整再现原始物体的像甚至取出一小块仍能完整再现原始物体的像. .（2 2