数学建模--按揭还款--课程设计报告书.doc

2015-2016第1学期数学建模课程设计题目 ：按揭还款：#学号：#X班级：#2016年1月13日联系方式：#X摘 要随着人们生活水平的不断提高与社会制度的开展,消费观念正在发生深刻的变化。俗话说：“花明天的钱享今天的福按揭还款的消费方式正是符合了人们当前的消费需求，于是按揭贷款购置住房、汽车、教育、旅游等大件商品已经被越来越多的百姓承受。目前按揭还贷有等额本息还贷法和等额本金还贷的还款方式。允许借贷人与贷款人在双方协商的根底上进展选择，但一笔借款合同只能允许选择一还款方式，合同签订后，不得更改。本文根据银行购房贷款和我们的日常常识建立数学模型，推导出月均还贷总额、还款总额和利息负担总和的公式。并以一笔20万元、10年的房贷为例，利用已求出的公式，计算出10年月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式做一次比拟。关键字：贷款;等额本息;等额本金;月均还款总额一 问题重述银行目前有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，先生准备向银行贷款20万元购房、计划10年还清. 所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法简称等额本金还款法，即每月偿还贷款本金一样，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。现在我们需要帮助先生通过建立数学模型分析一下，就两种还款方式，先生应选择哪种还款方式比拟划算. 1. 先生每月应向银行还款的数目，10年到期后 先生总共要向银行还款的数目。贷款10年的年利率为5.94% 2. 假设先生计划8年还清贷款，先生每月应向银行还款数目，8年到期后，先生总共要向银行还款数目。 3. 假假设先生每月能够向银行还款1500元，就两种还款方式，先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。二模型假设1假设在贷款期间银行利率保持不变； 2假设在贷款期间贷款人有能力偿还每月还贷款； 3假设在贷款期间贷款人能按时偿还每月贷款额，不会拖欠；4 . 假设在这段时间不考虑经济波动情况。三问题分析目前有两种还款方式。等额本息还款法：每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大局部，随本金逐渐返还，还供款中本金比重增加。等额本息还款法更适合用于现期收入少，预期收入稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。而等额本金还款法:每期还给银行相等的本金,但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷时,每月负担比等额本息要重。但随着时间推移,还款负担便会减轻。所以我们可知等额本金还款法适合目前收入较高的人群。四模型建立问题的参数问题参数约定如下：A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息负担总和: 客户向银行贷款的月利率: 客户向银行贷款的年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：1 2 3 模型的建立1等额本息还款模型：1贷款期在1年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期年利率不变. 因为一年的年利率是，那么，平均到一个月就是/12，也就是月利率， 即有关系式：设月均还款总额是x 元i=1n是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额 (i=1n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额. 根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：第1期还款后欠银行的金额：第2期还款前欠银行的金额：第2期还款后欠银行的金额：第i期还款前欠银行的金额：第i期还款后欠银行的金额：第n期还款前欠银行的金额：第n期还款后欠银行的金额：因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，即：2 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：2 等额本金还款模型：银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法递减法：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.(1)假设贷款期在1年以上.等额本金还款法：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担不同。利息负担随本金的偿还逐期递减。所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。设客户第i期应付的金额为 ( i = 1，2 ,n ) (单位：元)因此，客户第一期应付的金额为 ： 第二期应付的金额为 ：计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当. 而在第120期假设年利率不变，应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更适宜. 那么，客户第n期应付的金额为 ：累计应付的还款总额为 ：利息负担总和为 ：21年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：五模型求解问题参数约定如下：A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息负担总和: 客户向银行贷款的月利率: 客户向银行贷款的年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：1 2 3 1等额本息还款模型1贷款期在1年以上：因为一年的年利率是，那么，平均到一个月就是/12，也就是月利率， 即有关系式：设月均还款总额是x 元i=1n是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额 (i=1n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额. 根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：第1期还款后欠银行的金额：第2期还款前欠银行的金额：第2期还款后欠银行的金额：第i期还款前欠银行的金额：第i期还款后欠银行的金额：第n期还款前欠银行的金额：第n期还款后欠银行的金额：因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，即：解方程得：这就是月均还款总额的公式. 因此，客户总的还款总额就等于：利息负担总和等于：2 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：2 等额本金还款模型的求解 (1)假设贷款期在1年以上.设客户第i期应付的金额为 ( i = 1，2 ,n ) (单位：元)因此，客户第一期应付的金额为 ： 第二期应付的金额为 ：计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当. 而在第120期假设年利率不变，应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更适宜. 那么，客户第n期应付的金额为 ：累计应付的还款总额为 ：利息负担总和为 ：21年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：六模型分析与改良1 模型分析与检验:1. 先生每月应向银行还款的数目，10年到期后 先生总共要向银行还款的数目。贷款10年的年利率为5.94%(1)等额本息：利用上文模型求解得的公式可知总的还款期数 n=12m=12×10=120客户向银行贷款的月利率 =/12=0.495%月供金额月均还款总额 单位：元客户总的还款总额就等于：利息负担总和等于：(2)等额本金：月供金额客户第n期应付的金额客户每期应还的本金所以月供金额如下： =2648.42 =2640.17=2631.92 =2219.42 =2211.17 =1666.67累计应付的还款总额为 ： =258905.00利息负担总和为 ： =58905.00计算贷款20万的两种还款方式所得各项数据比照如下表：年利率为5.94% 来计算 单位：元贷款期限年年利率%还款总额利息负担总和月均还款总额10等额本息5.94265726.6465726.242214.3910等额本金5.94258905.0058905.002648.42第1期比拟相差-6821.646821.64-2. 假设先生计划8年还清贷款，先生每月应向银行还款数目，8年到期后，先生总共要向银行还款数目。(1)等额本息：利用上文模型求解得的公式可知总的还款期数 n=12m=12×10=96客户向银行贷款的月利率 =/12=0.495%月供金额月均还款总额 单位：元客户总的还款总额就等于：利息负担总和等于：(2)等额本金：月供金额客户第n期应付的金额客户每期应还的本金所以月供金额如下： =3063.02 =3052.71=3042.39 =2578.33 =2083.33累计应付的还款总额为 ： =247025.00利息负担总和为 ： =47025.00计算贷款20万的两种还款方式所得各项数据比照如下表：年利率为5.94% 来计算 单位：元贷款期限年年利率%还款总额利息负担总和月均还款总额8等额本息5.94251754.9151754.912622.458等额本金5.94247025.0047025.003062.02第1期比拟相差-4729.914729.91-3. 假假设先生每月能够向银行还款1500元，就两种还款方式，先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。 用逆向思维 等额本息：等额本息每个月还贷的金额是一定的，先生每月能够向银行还款1500元也x就意味着x=1500可根据逆推出 需偿还的期数n： =218偿还总额C： C=nx =2181500=327720.46等额本金：在等额本金的还贷法中每月还贷数是依次递减的，而贷款人每月只能还贷1500故贷款人每月最多能还贷1500即第一个月的还款金额为1500.x1=1500同理可由可由上式推出 需偿还的期数n ： =390偿还总额C： =392094.402 模型评价:模型的优点：1采用的数学模型有成熟的理论根底，可信度较高。2本文建立的模型与实际严密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。3本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。4为了更贴近实际，在静态模型的的根底上，考虑未来现金折现对模型进展改良，加以验证。5借助图表，比拟形象直观，从多方面对结果进展验证。模型缺点：1模型复杂因素较多，不能对其进展全面考虑。2利率的准确度不同可能造成一定误差3经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反响出来模型的改良：1考虑通货膨胀等市场经济中的因素2考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响3对利率有更准确的计算方法4考虑不同人群的消费观念和收入水平七建模心得数学建模，对于我们计算机院的学生来说还是比拟陌生的，在数学模型之前我们还未曾学习过这门课程，但通过这周的建模使我们知道了什么叫做数学建模。在学习之中，锻炼了我们的能力，获益非浅。真正用到了数学的理论知识去解决我们在实际生活上的一些问题。从最初的“建模简介，我们了解到数学在实际生活中的应用之广、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技进步，人类生存。庞大的数学知识体系良好地规我们的生活，与我们每个人都息息相关，并随着科技的进步，数学与我们的关系也越来越密切。终于明白了，为什么数学是真正的科学工具，是人类开展进步的根底学科，它既能规现在，又能预测未来。在这次实践中，我选择的是关于购房按揭还贷 ，可以说是一个小模型，里面所用到的知识和方法也是比拟容易的。在分配到相应题目之后，我就开始着手行动，经过三天的努力模型根本建成，从最开始的一无所知到最后的完成数学建模报告，这都告诉我只要用心努力去干一件事一定可以成功。也让我明白在今后的学习生活中，我们应当将理论与实践相结合，努力提高自己的数学专业水平。 参考文献：1龚晓岚 工业大学2012年1月1日。2启源 金星 叶俊，数学模型，：高等教育，2011年.3堵秀凤 剑 宏民 航空航天大学，2011年3月。4启源 高等教育2003年.附录：#include<stdio.h>void main()int year;float A,B,T,W,Q,sum=0;printf("请输入贷款的金额：");scanf("%f",&A);printf("请输入年利率：");scanf("%f",&B); printf("请输入还款期限：");scanf("%d",&year);T=A/(year*12);printf("等额本金还款法结果如下：");for(int i=1;i<=year*12;i+)W=(A-T*(i-1)*B/12;Q=T+W;printf("第%d个月，还款金额：%fn",i,Q);sum=sum+Q;sum=sum-A;printf("累计利息：%fn",sum);#include<stdio.h>#include<math.h>void main()int year;float A,B,T,W,Q;printf("请输入贷款的金额：");scanf("%f",&A);printf("请输入年利率：");scanf("%f",&B);    printf("请输入还款期限：");scanf("%d",&year);T=A*B/12*pow(1+B/12),year*12)/(pow(1+B/12),year*12)-1);Q=T-A/(year*12);W=Q*120;printf("等额本金还款法结果如下：");    printf("每月还款金额：%fn",T);printf("每月还的利息：%fn",Q);printf("累计总利息：%fn",W);20 / 20