2022年一次函数的图象和性质知识讲解 .pdf

精品资料欢迎下载一次函数的图象与性质（基础）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数ykxb的图象与正比例函数ykx的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数ykxb的图象掌握一次函数的性质利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如ykxb（k，b是常数，k0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释： 当b0 时，ykxb即ykx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质1. 函数ykxb（k、b为常数，且k 0）的图象是一条直线；当b0 时，直线ykxb是由直线ykx向上平移b个单位长度得到的；当b0 时，直线ykxb是由直线ykx向下平移 |b| 个单位长度得到的. 2. 一次函数ykxb（k、b为常数，且k0）的图象与性质：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3. k、b对一次函数ykxb的图象和性质的影响：k决定直线ykxb从左向右的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线ykxb经过的象限4. 两条直线1l：11yk xb和2l：22yk xb的位置关系可由其系数确定：（1）12kk1l与2l相交；（2）12kk，且12bb1l与2l平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数ykxb（k，b是常数，k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立条件确定两个关于k，b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x，y的值 . 要点诠释： 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 由于一次函数ykxb中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况 （自变量的不同取值范围）用不同的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数. 解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释： 对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围. 在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式【思路点拨】 由于此函数的图象过（0，2） ，因此b 2，可以设函数的解析式为2ykx，再利用过点（ 1.5 ，0） ，求出相应k的值 . 【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式. 解：设函数的解析式为ykxb. 它的图象过点（1.5 ，0） ， （ 0，2）41.50322kbkbb该函数的解析式为423yx. 【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数2yx的图象平行且经过(2 ，1)点，则一次函数的解析式为_【答案】23yx；提示：设一次函数的解析式为ykxb，它的图象与2yx的图象平行，则2k，又因为一次函数的图象经过(2 ，1)点，代入得 122b 解得3b一次函数解析式为23yx【变式 2】 （2015 春?广安校级月考）已知函数y1=2x3，y2= x+3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象（2）求出函数图象与x 轴围成三角形的面积【答案】 解： （1）函数 y1=2x3 与 x 轴和 y 轴的交点是（ 1.5 ，0）和（ 0， 3） ，y2=x+3与 x 轴和 y 轴的交点是（3，0）和（ 0，3） ，其图象如图：（2）设 y1=2x3，y2=x+3 的交点为点A ，可得：，可得：，SABC=BC?1= （ 31.5 ）1=类型二、一次函数图象的应用2、 （2016 春?南昌期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示） ，根据图象解答下列问题（1）分别写出当0 x 100 和 x100 时， y 与 x 之间的函数关系式；（2）若该用户某月用电80 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105 元，则该用户该月用了多少度电？【思路点拨】 （1）对 0 x100 段，列出正比例函数y=kx ，对 x100 段，列出一次函数y=kx +b；将坐标点代入即可求出（2）根据（ 1）的函数解析式以及图标即可解答即可【答案与解析】解： （1）当 0 x100 时，设 y=kx ，则有 65=100k，解得 k=0.65y=0.65x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当 x100 时，设 y=ax+b，则有，解得y=0.8x 15（2）当用户用电80 度时，该月应缴电费0.6580=52（元） 当用户缴费105 元时，由105=0.8x15，解得 x=150该用户该月用电150 度【总结升华】 本题主要考查一次函数的应用，关键考查从一次函数的图象上获取信息的能力举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示. 放学后，如果他沿原路返回，且走平路、 上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) A.14 分钟B.17 分钟C.18 分钟D.20 分钟【答案 】D；提示：由图象可知，上坡速度为80 米/ 分；下坡速度为200 米/ 分；走平路速度为100 米/ 分. 原路返回，走平路需要8 分钟，上坡路需要10 分钟，下坡路需要2 分钟，一共20 分钟 . 类型三、一次函数的性质3、已知一次函数243ymxn（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围 . 【答案与解析】解： （1）240m，即m 2，n为任何实数时，y随x的增大而增大；（2）当m、n是满足24030mn即23mn时，函数图象经过原点；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（3）若图象经过一、二、三象限，则24030mn，即23mn【总结升华】一次函数ykxb的图象有四种情况：当k0，b0 时，函数ykxb的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；当k0，b0 时，函数ykxb的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当k0，b0 时，函数ykxb的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；当k0，b0 时，函数ykxb的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小4、 （2015 春?咸丰县期末） 已知点 A （ 4，0）及在第一象限的动点P （x，y） ，且 x+y=5，0 为坐标原点，设 OPA 的面积为S（1）求 S关于 x 的函数解析式；（2）求 x 的取值范围；（3）当 S=4时，求 P点的坐标【思路点拨】 （1）根据题意画出图形，由x+y=5 可知 y=5x，再由三角形的面积公式即可得出结论；（ 2）由点 P（ x，y）在第一象限，且x+y=5 得出 x 的取值范围即可； （3）把 S=4代入（ 1）中的关系式求出x 的值，进而可得出y 的值【答案与解析】解： （1）如图所示，x+y=5，y=5 x，S= 4（ 5x）=102x；（2）点 P（x，y）在第一象限，且x+y=5，0 x5；（3）由（ 1）知， S=102x，10 2x=4，解得 x=3，y=2，P（ 3，2） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【总结升华】 本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键举一反三：【变式】函数(0)ykxk k在直角坐标系中的图象可能是（） 【答案】 B；提示：不论k为正还是为负，k都大于 0，图象应该交于x轴上方 , 故选 B. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -