2022年三角函数性质——定义域、值域讲解 .pdf

精品资料欢迎下载三角函数定义域和值域一、求定义域例 1. 求下列函数的定义域：（1）3sinxy (2)1cos2lg(xy（3）xxycoslg362（4）sin2sin1tanxyxx（5）122logtanyxx (6) xxysin21)tan1lg(解： （1）663 ,xkxkkZ (2) Zkkk32,32（3）6232,2-23,6，（4）,2tan0,2sin10.xkxx即,2,722.66xkxkkxk，故函数的定义域为72266xkxk且,xk,2xkkZ（5）122log0,tan0.xx即04,.2xkxk故函数的定义域为(0,),42(6) 函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为 ，y=sinx的最小正周期为 2，所以原函数的周期为2 ，应结合三角函数y=tanx 和 y=sinx的图象先求出 ( 2，32) 上满足（ * ）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x 2k2x2k+6，或2k+ 56 x 2k+54，kZ 总结： 在确定三角函数的定义域时，应注意以下几点：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1、 正、余弦函数的定义域是R，正切函数的定义域是,2|Zkkxx; 2、 若函数是分式函数，则分母不能为零；3、 若函数是偶次根式函数，则被被开方式非负；4、 若函数是形如)1, 0)(logaaxfya的函数，则定义域由0)(xf确定；5、 若函数是有多个函数通过四则运算而构成，则函数定义域应是各部分定义域的交集。二、求值域、最值1、)0( ,sinabxay型：当0a时，,babay； 当0a时,babay例 1、若函数cosyaxb的最大值是1，最小值是7，求 a,b 0,1,7430,1,74,3aabababaababab，2、xbxaycossin型：利用公式abxbaxbxatan),sin(cossin22，0a可以转化为一个三角函数的情形。3、xxcxbxaycossincossin22型：这是关于xx cos,sin的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，可转化为pxnxmy2cos2sin的形式。例 1、求函数)(235sin35cossin5)(2Rxxxxxf的最大值和最小值。答案：)32sin(5)(xxf例 2、求函数)(12(sin2)62sin(3)(2Rxxxxf的最大值和最小值。答案：1)32sin(2)(xxf4、)0(sinsin2acxbxay型：此类型可化为)0(2acbtaty在区间1 , 1上的最值问题。例 1、求函数1sin2cos2xxy（Rx）的最值解：3)1(sin1sin2sin122xxxy函数的最大值为3，最小值为1。例 2、求函数)20(2385coscos2xaxaxy的最小值。解：23854)2(cos2385coscos22aaaxaxaxy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1cos0,20 xx，若02x，则当2cosax时，23854minaay若0a，则当0cosx时，2385minay若0a，则当1cosx时，21813minay。练习：函数xxxfcos2sin)(2在区间,32上的最大值为1，则的值是（ D ）A0 B3 C2 D2 5 、xxbxxaycossin)cos(sin型：利用换元法，设xxtcossin, 2,2t，则21cossin2txx, 转化为关于t的二次函数222122battbtbaty. 例 1、 求函数sincossincosyxxxx的最大值分析若有xxxxycossincossin可以令：ttytxx21,cossin2则解：设sincosxxt(22)t，则21sincos2txx，则21122ytt，当2t时，y有最大值为122（换元法） 求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：定义域为0 x1，可设xx2cos且2022sincos11x，20)4sin(2cossinsincos22y20，4344，1)4sin(22即21y当44或434，即 =0 或2（此时 x=1 或 x=0） ，y=1；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当2，即4时， （此时21x） ，2y，当x=0 或x=1 时， y 有最小值1；当21x时， y 有最大值2。评析： 利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。6、dxcbxaysinsin型：可以分离常数，利用正弦函数的有界性。例 1 求函数xxysin21sin的值域。解 法 一 ： 由xxysin21sin变 形 为(1)sin21yxy， 知1y， 则 有21sin1yxy，21| sin| |11yxy22221|1(21)(1)1yyyy203y， 则此函数的值域是2, 03y。解法二：xysin211，利用1sin x来解。练习： 1、求函数1cos3cosxyx的值域31（，+）2、函数xysin的定义域为 a ，b ，值域为21, 1，则 b-a 的最大值和最小值之和为 b A34 B2 C38 D47、dxcbxaycossin型：此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值；也可利用导数。例 1、求函数sincos2xyx的值域。解法 1：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，22sin()1yxy由2|2 |sin()|11yxy22(2 )1yy，解得：3333y，故值域是33,33解法 2：数形结合法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx) 与定点 Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33,33。练习：求函数3cos2sin2)(f的最值。解：由于3cos1sin2yy/2 即为单位圆上的点(cos ，sin ) 与定点 (3 ，1) 连线的斜率，由数形结合可知y/2 0 ，3/4, y 0 ，3/2 8、sin(0)sinbyaxxx型转化为对钩函数求函数最值问题。例 1、求函数xxxy2sinsin22sin1的值域。解：xxxxysin11sin111)sin1(sin121 sinx0 所以21,0yxQPyO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -