2022年三角函数的图象与性质专题 .pdf

学习必备欢迎下载三角函数的图象与性质专题基础梳理1“ 五点法 ” 描图(1)ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,0)2，1( ，0)32 ， 1(2 ，0)(2)ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,1)，2，0 ，( ， 1)，32，0 ，(2 ，1)2.三角函数的图象和性质函数性质ysin x ycos x ytan x定义域RR x|x k 2，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴： _ x k 2(kZ)_ _；对称中心：_ (k ，0)(kZ)_ _对称轴：xk( kZ)_；对称中心：_(k 2， 0) (kZ)_ 对称中心：_k2，0(kZ) _ 周期2 _ 2单调性单 调 增 区 间 _2k 2， 2k 2(kZ)_；单调减区间 2k 2，2k 32 (k Z) _ 单调增区间 2k ，2k (kZ) _；单调减区间 2k ，2k (kZ)_ 单调增区间 _(k 2，k 2)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f(xT)f(x)，其中 T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足 f(xT)f(x)， 或找到哪怕只有一个x 值不满足 f(xT)f(x)，都不能说T 是函数 f(x)的周期 . 函数 yAsin(x )和 yAcos(x )的最小正周期为2| |，ytan(x )的最小正周期为| |. 4.求三角函数值域(最值 )的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于 ? xR，恒有 1 sin x 1，1 cos x 1，所以 1叫做 ysin x，ycos x 的上确界， 1 叫做 y sin x，y cos x 的下确界 . (2)形式复杂的函数应化为y Asin(x ) k 的形式逐步分析x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值 )问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5， 令 tsin x(|t| 1)，则 y(t2)21 1，解法错误 . 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x ) ( 0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间 .应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号 ) (1)ysin 2x4；(2)ysin42x . 热身练习 : 1函数 ycos x3， xR()A是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2函数 ytan4x 的定义域为 ()A . x x k 4，kZ B.x x2 k 4， kZC. x x k 4，kZD.x x2 k 4，kZ3函数 ysin(2x3)的图象的对称轴方程可能是( ) Ax6Bx12Cx6Dx124ysin x4的图象的一个对称中心是()A( ，0) B.34，0C.32，0D.2， 05下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是() A.(0 ，)B.2，0C.32，2D. ，26已知函数f(x)sin(2x )，其中 为实数，若f(x) |f(6)|对任意 xR 恒成立，且f(2)f( )，则 f(x)的单调递增区间是( ) Ak 3，k 6(kZ) Bk ，k 2(kZ) Ck 6，k 23(kZ) D k 2，k( kZ) 7.函数 f(x)3cosx24xR 的最小正周期为_ 8.y 23cos x4的最大值为 _，此时 x_ 9函数 y(sinxa)21，当 sinx1 时， y 取最大值；当sinxa 时， y 取最小值，则实数a的取值范围是_10函数 f(x)sin2x3sinxcosx 在区间 4，2上的最大值是.典型例题题型一与三角函数有关的函数定义域问题例 1求下列函数的定义域：(1)ylgsin(cos x)；(2)ysin xcos x. 变式训练1 (1)求函数ylg(2sin1)tan1cos()28xxx的定义域；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2)求函数y122logtanxx的定义域 . 题型二 、三角函数的五点法作图及图象变换例 2 已知函数f(x)4cosxsin(x6)1. (1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？题型 三三角函数图象与解析式的相互转化例 3 函数 f(x)Asin(x )(xR， A0， 0,0 0)来确定 ；的确定：由函数 y Asin(x )K 最开始与x 轴的交点 (最靠近原点 )的横坐标为(即令 x 0，x)确定 . 例 4 若方程3sinxcosxa 在0,2 上有两个不同的实数根x1，x2，求 a 的取值范围，并求此时 x1 x2的值例 5 已知函数f(x)Asin(x )，xR(其中 A0， 0，0 2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为M(23， 2)(1)求 f(x)的解析式；(2)将函数 f(x)的图象向右平移12个单位后， 再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到yg(x)的图象，求函数yg(x)的解析式，并求满足g(x) 2且 x0， 的实数 x 的取值范围题型 四、三角函数的奇偶性与周期性及应用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 1 已知函数f(x)sin(x )，其中 0， | |2. (1)若 cos4cos sin34sin 0，求 的值；(2)在 (1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m， 使得函数 f(x)的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数题型五三角函数的单调性与周期性例 2写出下列函数的单调区间及周期：(1) ysin2x3；(2)y|tan x|. 探究提高(1)求形如 yAsin(x )或 yAcos(x ) (其中 A0 ， 0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答. 列不等式的原则是：把“ x ( 0)” 视为一个 “ 整体 ” ； A0 (A0，0)：若求 yf(x)的对称轴，只需令x k 2(kZ)，求出 x；若求 yf(x)的对称中心的横坐标，只零令x k(kZ)，求出 x；若求 yf(x)的单调增区间，只需令2k 2 x 2k 2，求出 x；若求 yf(x)的单调减区间，只需令2k 2 x 2k 32，求出 x. 题型七三角函数的对称性与奇偶性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3(1)已知 f(x)sin x3cos x(xR)，函数 yf(x ) | | 2的图象关于直线x0 对称，则 的值为 _. (2)如果函数y 3cos(2x )的图象关于点43，0 中心对称，那么| |的最小值为 () A . 6B.4C.3D.2探究提高若 f(x)Asin(x )为偶函数，则当x0 时， f(x)取得最大或最小值. 若 f(x)Asin(x )为奇函数，则当x0 时， f(x)0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令x 2k ( kZ)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令x k ( kZ)即可 . 变式训练3 (1)已知函数f(x)sinxacos x 的图象的一条对称轴是x53，则函数 g(x)asin xcos x 的最大值是() A.223B.233C.43D.2 63(2)若函数 f(x)asin x bcos x (0 0，| |0)和 g(x)2cos(2x )1 的图象的对称轴完全相同.若 x0，2，则 f(x)的取值范围是_ 4函数 f(x)2sin x( 0)在 0，4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么 等于_6.关于函数f(x)4sin 2x3(xR)，有下列命题：由 f(x1)f(x2)0 可得 x1x2必是 的整数倍； yf(x)的表达式可改写为y4cos 2x6；yf(x)的图象关于点6， 0 对称； yf(x)的图象关于直线x6对称 . 其中正确命题的序号是_. 三、解答题7.设函数 f(x)sin()2x ( 0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x8. (1)求 ；(2)求函数 yf(x)的单调增区间. 8.(1)求函数 y 2sin 2x3(6x0)在区间3，4上的最小值是2，则 的最小值等于 () A.23B.32C.2 D.3 3.函数 f(x)cos 2xsin52x 是() A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D. 有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间 (0，2)上的函数y6cos x 的图象与 y5tan x 的图象交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为P1，直线 PP1与函数 ysin x 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 _ 5.函数 f(x)2sin x (0)在 0，4上单调递增， 且在这个区间上的最大值是3，那么 _43_. 6.给出下列命题：函数 ycos23x2是奇函数；存在实数 ，使得 sin cos 32；若 、是第一象限角且 ， 则 tan 0)的图象与直线ym 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2的等差数列 . (1)求 m 的值；(2)若点 A(x0，y0)是 yf(x)图象的对称中心，且x0 0，2，求点 A 的坐标 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三角函数的图象与性质练习四一、选择题1函数 f(x)2sin xcos x是()A最小正周期为2 的奇函数B最小正周期为2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为的偶函数2函数 ysin2xsin x 1 的值域为 ()A 1,1 B.54， 1C. 54，1D. 1，543 若函数 f(x)sin x ( 0)在区间0，3上单调递增， 在区间3，2上单调递减， 则 ()A.23B.32C2 D3 4函数 f(x)(13tan x)cos x 的最小正周期为()A2 B.32C D.25下列函数中，周期为 ，且在4，2上为减函数的是()Ay sin 2x2Bycos 2x2Cy sin x2Dycos x26已知函数f(x)sin x2(xR)，下面结论错误的是()A函数 f(x)的最小正周期为2 B函数 f(x)在区间0，2上是增函数C函数 f(x)的图象关于直线x0 对称D函数 f(x)是奇函数二、填空题7.y=|sin （x+4） | 的单调增区间为_ 8.要得到42cos3xy的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移_单位 . 9.若动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为 _. 10 函数 f(x)=sin132cos2sinxxx(02x) 的值域是 _ 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载11.已知( )sin(0)363f xxff，且( )f x在区间6 3，有最小值，无最大值，则_ 12、 给出下面的 3个命题： （1） 函数|)32sin(|xy的最小正周期是2；（2） 函数)23sin(xy在区间)23,上单调递增；（3）45x是函数)252sin( xy的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是13若函数f(x)cos x cos2x ( 0)的最小正周期为 ，则 的值为 _14函数 y tan 2x4的图象与x 轴交点的坐标是_15已知函数f(x)sin(x )3cos(x ) 2，2是偶函数，则 的值为 _三、解答题16已知 f(x)sin xsin2x . (1)若 0， ，且 sin 2 13，求 f( )的值；(2)若 x0， ，求 f(x)的单调递增区间17设函数f(x)sin(2x )( 0)，y f(x)图象的一条对称轴是直线x8. (1)求 ； (2)求函数 yf(x)的单调增区间18、设函数2( )sin()2cos1468xxf x （1）求( )f x的最小正周期（2）若函数( )yg x与( )yf x的图像关于直线1x对称，求当40,3x时( )yg x的最大值19、设函数( )f xa b，其中向量(cos2 )mx，a，(1sin2 1)x，b，xR，且( )yf x的图象经过点24，（1）求实数 m 的值；（2）求函数( )f x的最小值及此时x值的集合(3)求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量c平移得到xy2sin2的图象 ,求向量c。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -