2022年专题一第2讲不等式与线性规划 .pdf

2015 届高三直升班第二轮复习专题一集合与不等式第 2 讲不等式与线性规划知识主干1四类不等式的解法（1）一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0（a0） ，再求相应一元二次方程ax2bx c0（a 0）的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集（2）简单分式不等式的解法变形 ?f xg x0（0（1 时， af（x）ag（x）? f（x）g（x） ；当 0aag（x）? f（x）1 时， logaf（x）logag（x）? f（ x）g（ x）且 f（x）0，g（x）0；当 0alogag（x）? f（x）0，g（x）02五个重要不等式（1）|a|0，a20（aR） （ 2）a2b22ab（a、bR） （3）ab2ab（ a0， b0） （4）ab（ab2）2（a，bR） （5）a2b22ab2ab2abab（a0，b0） 3二元一次不等式（组）和简单的线性规划（1）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等（2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4两个常用结论（1）ax2 bxc0（a0）恒成立的条件是a0， 0.（2）ax2 bxc0（a0）恒成立的条件是a0， 0.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 热点一一元二次不等式的解法例 1（1） （2013 安徽）已知一元二次不等式f（x）0 的解集为x|x12，则 f（10 x）0的解集为（）A x|x lg 2 B x|1xlg 2 Dx|x0的解集为（）A x|x2 或 x2 B x|2x2 Cx|x4 Dx|0 x0若 pq 为真命题，则实数m的取值范围是（）A （， 2）B2,0）C （ 2,0）D0,2热点二基本不等式的应用例 2（1） （2014 湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒） 、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F76 000vv218v20l如果不限定车型，l6 05，则最大车流量为_辆/时；如果限定车型，l5，则最大车流量比中的最大车流量增加_辆/时（2） （2013 山东）设正实数x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为（）A0 B1 C94D3 （3）已知关于 x 的不等式2x2xa7 在 x（a，）上恒成立， 则实数 a的最小值为 （）A1 B32C2 D52名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 热点三简单的线性规划问题例 3（1）已知实数x，y 满足约束条件x04x3y 4y0，则 wy 1x的最小值是（）A 2 B2 C 1 D1 （2） （2013 北京）设关于 x、y 的不等式组2x y10，xm0表示的平面区域内存在点P （x0，y0） ，满足 x02y02，求得 m 的取值范围是（）A，43B，13C，23 D，53（3）某旅行社租用A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅行， A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1 600 元/辆和 2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且 B型车不多于A 型车 7 辆则租金最少为（）A31 200 元B36 000 元C36 800 元D38 400 元新题型 : 例 1记实数12,nx xx中的最大数为12max,nx xx，最小数为12min,nx xx.设ABC的 三 边 边 长 分 别 为, ,a b c， 且abc， 定 义 ABC的 倾 斜 度 为max, min,a b catb c ab,bcc a（）若ABC为等腰三角形，则t_；（）设1a，则t的取值范围是_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 热点一一元二次不等式的解法例 1（1） （2013 安徽）已知一元二次不等式f（x）0 的解集为x|x12，则 f（10 x）0的解集为（）A x|x lg 2 B x|1xlg 2 Dx|x0的解集为（）A x|x2 或 x2 B x|2x2 Cx|x4 Dx|0 x0 （2）利用 f（x）是偶函数求b，再解f（ 2x）0答案（1）D（ 2）C 解析（1）由已知条件010 x12，解得 x0f（ 2x）0 即 ax（x4）0，解得 x4故选 C思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次 ” 的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法（ 1）不等式x12x10 的解集为（）A （12，1 B12，1 C （，12） 1，）D （，121，）（2）已知p： ? x0R，mx20 10，q：? xR，x2 mx10若 pq 为真命题，则实数m的取值范围是（）A （， 2）B2,0）C （ 2,0）D0,2答案（1）A（ 2）C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解析（1）原不等式等价于（x1） （2x1） 0 或 x10，即12x1 或 x1，所以不等式的解集为（12， 1，选 A（2）p q 为真命题，等价于p，q 均为真命题命题p 为真时， m0；命题 q 为真时， m240，解得 2m2故 pq 为真时， 2m0，且m3n41所以m3n4（m3n42）2（当且仅当m3n412，即 m32，n2 时，取等号） 所以m3n414，即 mn3，所以 mn 的最大值为3（2）2x2xa 2（xa）2xa2a22 xa 2xa 2a4 2a，由题意可知42a7，得 a32，即实数 a 的最小值为32，故选 B名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 热点三简单的线性规划问题例 3（2013 湖北）某旅行社租用A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅行， A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1 600 元/辆和 2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于A 型车 7 辆则租金最少为（）A31 200 元B36 000 元C36 800 元D38 400 元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案C 解析设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为z 元，则 z1 600 x2 400y,x、y 满足xy21y x736x60y900，x， y0，x、 yN画出可行域如图直线 y23xz2 400过点 A（5,12）时纵截距最小，所以 zmin51 6002 400 1236 800，故租金最少为36 800 元思维升华（1）线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围（2）解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解（3）对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数（1）已知实数x，y 满足约束条件x04x3y4y0，则 wy1x的最小值是（）A 2 B2 C 1 D1 （2） （2013 北京）设关于 x、y 的不等式组2x y10，xm0表示的平面区域内存在点P （x0，y0） ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 满足 x02y02，求得 m 的取值范围是（）A，43B，13C，23 D，53答案（1）D（ 2）C 解析（1）画出可行域，如图所示wy1x表示可行域内的点（x，y）与定点 P（0， 1）连线的斜率，观察图形可知PA 的斜率最小为 10011，故选 D（2）当 m0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P（x0，y0）满足 x02y0 2，因此 m0如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含y12x1 上的点，只需可行域边界点（ m，m）在直线y12x1 的下方即可，即m12m1，解得 m23名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式（组）来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数 （式） 的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、 “拆项”、 “凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤（1）定域 画出不等式（组）所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；（2） 平移 画出目标函数等于0 时所表示的直线l， 平行移动直线， 让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；（3）求值 利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 真题感悟1 （2014 山东）已知实数x，y 满足 axay（0a1y21Bln（x21）ln（y21）Csin xsin yDx3y3答案D 解析因为 0a1，axy采用赋值法判断，A 中，当 x1，y0 时，121，A 不成立 B 中，当 x0， y 1 时， ln 10，数形结合知，满足1 2a14，1 a4即可，解得1a32所以 a 的取值范围是1a32名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 押题精练1为了迎接2014 年 3 月 8 日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足P32x1，已知生产该产品还需投入成本（102P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（420P）万元 /万件则促销费用投入万元时，厂家的利润最大？（）A1 B1.5 C2 D3 答案A 解析设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2（102PP）万元，所以y2（10 2PP） P 10 2P x 164x1 x（ x0） ，所以y 17（4x1 x 1） 1724x1 x1 13（当且仅当4x 1x1，即 x 1 时取等号），所以促销费用投入1 万元时，厂家的利润最大，故选A2若点 P （x，y） 满足线性约束条件3xy0，x3y20，y0，点 A （3， 3） ，O 为坐标原点， 则OA OP的最大值为 _答案6 解析由题意，知 OA（3，3） ，设 OP（x，y） ，则OA OP3x3y令 z3x3y，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y3x33z 经过点 B 时， z 取得最大值由3xy 0，x3y 20，解得x1，y3，即 B（1，3） ，故 z 的最大值为31336即OA OP的最大值为6名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 一、选择题1 （2014 四川）若 ab0，cdbdBacbcDadbc答案D 解析令 a3，b2，c 3，d 2，则ac 1，bd 1，所以 A，B 错误；ad32，bc23，所以adlg x（x0）Bsin x1sin x2（xk ，k Z）Cx212|x|（xR）D1x211（xR）答案C 解析应用基本不等式：x，y0，xy2xy（当且仅当xy 时取等号）逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当 x0 时， x214 2 x12x，所以 lg x214lg x（x0） ，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 xk ，kZ 时， sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 当 x0 时，有1x2 11，故选项 D 不正确3 （2013 重庆）关于x 的不等式x22ax 8a20）的解集为（x1，x2） ，且 x2x115，则a 等于（）A52B72C154D152答案A 解析由 x22ax8a20，得（ x2a） （x4a）0，所以不等式的解集为（2a,4a） ，即 x2 4a，x1 2a，由 x2x115，得 4a（ 2a） 15，解得 a524 （2014 重庆）若 log4（3a4b） log2ab，则 ab 的最小值是（）A623 B72 3C64 3 D7 43 答案D 解析由题意得ab0，ab0，3a4b0，所以a0，b0.又 log4（3a4b） log2ab，所以 log4（3a4b） log4ab，所以 3a4bab，故4a3b1所以 ab（ ab） （4a3b） 73ab4ba723ab4ba74 3，当且仅当3ab4ba时取等号故选D5已知变量x，y 满足约束条件xy50 x2y 10 x10，则 zx2y1 的最大值为（）A9 B8 C7 D6 答案B 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解析约束条件xy50 x2y10 x1 0所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A（1,4）时取得最大值，故zx2y1 的最大值为12418二、填空题6已知 f（x）是 R 上的减函数，A（3， 1） ，B（0,1）是其图象上两点，则不等式|f（1ln x）|1 的解集是 _答案（1e，e2）解析 |f（1ln x） |1，1f（1ln x）1，f（3）f（1ln x）f（0） ，又f（ x）在 R 上为减函数，01ln x3，1ln x2，1ex0，则1m1n的最小值为 _答案322 解析点A（ 1,1）在直线2mxny20 上，2m n2，1m1n（1m1n）2mn212（22mnnm1）12（322mnnm）322，当且仅当2mnnm，即 n2m 时取等号，1m1n的最小值为322三、解答题9设集合A 为函数 yln（ x22x8）的定义域，集合B 为函数 yx1x1的值域，集合C为不等式（ ax1a） （x4） 0 的解集（1）求 AB；（2）若 C? ?RA，求 a 的取值范围解（1）由 x2 2x80 得 4x0，即 x1 时 y2 11，此时 x0，符合要求；当 x10，即 x0 时， Cx|4x1a2，不可能C? ?RA；当 a0 时， Cx|x4 或 x1a2，若 C? ?RA，则1a22，a212，22a0故 a 的取值范围为22，0） 10已知函数f（ x）13ax3 bx2（ 2b）x1 在 xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且 0 x11x20；（2）若 za2b，求 z 的取值范围（1）证明求函数 f（x）的导数f（ x） ax22bx2b由函数 f（x）在 xx1处取得极大值，在 xx2处取得极小值，知 x1、 x2是 f（ x） 0 的两个根，所以 f（ x） a（x x1） （xx2） 当 x0，由 xx10，xx20（2）解在题设下， 0 x11x20，f 1 0，即2b0，a2b2b0，化简得2b0，a3b 20.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2b 0，a3b20,4a5b20 所围成的 ABC 的内部，其三个顶点分别为A47，67，B（2,2） ，C（4,2） z 在这三点的值依次为167，6,8所以 z的取值范围为（167，8） 11某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式 C3x， 每日的销售额S （单位：万元） 与日产量 x 的函数关系式S3xkx85，0 x6，14，x6.已知每日的利润LSC，且当 x2 时， L3（1）求 k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值解（1）由题意可得L2xkx82，0 x6，11x，x 6.因为当 x2 时， L3，所以 322k2 82，解得 k18（2）当 0 xb0，cdbdBacbcDadlg x（x0）Bsin x1sin x2（xk ，k Z）Cx212|x|（xR）D1x211（xR）3关于 x 的不等式x22ax8a20）的解集为（ x1，x2） ，且 x2x115，则 a 等于（）A52B72C154D1524若 log4（3a 4b） log2ab，则 ab 的最小值是（）A623 B72 3C64 3 D7 43 5已知变量x，y 满足约束条件xy50 x2y 10 x10，则 zx2y1 的最大值为（）A9 B8 C7 D6 6已知 f（x）是 R 上的减函数，A（3， 1） ，B（0,1）是其图象上两点，则不等式|f（1ln x）|0，则1m1n的最小值为 _解答题9设集合A 为函数 yln（ x22x8）的定义域，集合B 为函数 yx1x1的值域，集合C为不等式（ ax1a） （x4） 0 的解集（1）求 AB；（2）若 C? ?RA，求 a 的取值范围10已知函数f（ x）13ax3 bx2（ 2b）x1 在 xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且 0 x11x20；（2）若 za2b，求 z 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 11某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式 C3x， 每日的销售额S （单位：万元） 与日产量 x 的函数关系式S3xkx85，0 x6，14，x6.已知每日的利润LSC，且当 x2 时， L3（1）求 k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -