2022年中考专题复习之反比例函数拓展 .pdf

学习必备欢迎下载反比例函数【教学目标】1. 理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式. 2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式)0(kxky理解其性质 . 3. 能用反比例函数解决某些实际问题. 【重点难点】重点：反比例函数增减性的应用是本章的易错点，应用增减性解题时要注意理解“在每个象限内”这句话的含义，进一步理解函数思想和数形结合思想. 难点： 反比例函数与一次函数、知识的综合运用是本章的难点，特别是反比例函数与一次函数知识的综合应用是中考的常见题型，复习时要注意二者的区别与联系，熟记二者的性质，应用其性质解决问题【教学内容】1. 定义：形如xky（k 是常数，k0） 的函数， 叫做反比例函数. 反比例函数还可以表示成y=kx-1或 xy=k(k 0) 的形式【注意】 （1）k 0； （2）自变量 x0； （3）函数 y0；2. 反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点中心对称，关于直线xy或直线xy对称 .（ 1）当 k0 时，图象的两个分支分别位于第一、三象限（2）当 k0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。【注意】由于反比例函数0kxky中， x0，y0，故双曲线与坐标轴无限接近但永不相交 .k越大，双曲线越远离原点. 3. 反比例函数的性质: 增减性（ 1）k0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小（ 2）k0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大4. 反比例函数0kxky中比例系数k 的几何意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载输入非零数x 取倒数2 取相反数取倒数4 x0 x0 输出yy M Q P O x 图 5 如图所示：过双曲线上任一点P，作 x 轴， y 轴的垂线PA,PB所得的矩形OBPA 的面积 S=PB PA =xxyy. 因为xky，所以 xy=k, 所以 Sk. 同时有它的演变图形: POAS21k. 所以在反比例函数图象中常作的辅助线是：过图象上一点向坐标轴作垂线段. 5. 求反比例函数解析式利用待定系数法确定反比例函数解析式：根据两变量之间的反比例关系，设xky，由已知条件求出k 的值，这个条件可以是图象上一个点的坐标，也可以是x，y 的一对对应值，从而确定函数解析式 . 【例题讲解】例 1 2011 河北， 12根据图5 中所示的程序，得到了y 与 x 的函数图象，如图5 中，若点M 是 y 轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQx 轴交图象于点P、Q，连接 OP、OQ，则以下结论： x0 时， y=2x OPQ 的面积为定值 x0 时， y 随 x 的增大而增大 MQ=2PM POQ 可以等于90其中正确结论是（）ABC D【分析 】由程序得x0 时，y=2x，x0 时，y=x4. 由反比例函数k 的几何意义得OPQ的面积恒为32421. 所以正确 . 由图象得 x0 时，y随x的增大而减小 . 所以错误 . 可设 M （0，m ） ，则 MQ=m4，PM=m2. 所以正确 . 当POQ=90时，则 OM2=PM MQ即 m2=m2m4，m4=8，这样的正数m是存在的， 所以POQ可以等于90【答案 】B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载例 2 2011 江西，19如图，四边形 ABCD 为菱形 ,已知 A(0,4)，B(3,0).（1）求点 D 的坐标； （2）求经过点C 的反比例函数解析式.【分析 】由菱形的性质先求出点D 和点 C 的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式.解： （1） (0,4),( 3,0)AB， 3,4,OBOA5AB. 在菱形ABCD中，5ADAB, 1OD, 0, 1D. （2）是菱形ABCD，BCAD, 5BCAB， 3, 5C. 设经过点C 的反比例函数解析式为kyx. 把3, 5代入kyx中，得：53k， 15k，15yx. 例 3 2011 广西桂林， 17 双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx， 过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS，则2y的解析式是【分析 】由题意设点A（x,y ） ，B（m,y， ）由反比例函数中系数k 的几何意义可得xy=4，由1AOBS，则142121mySSSACOBCOAOB. 6my则所以26yx【过手练习】一、选择题1、 【2011 山东枣庄， 8】已知反比例函数xy1，下列结论中不正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载A . 图象经过点（1， 1）B. 图象在第一、三象限C. 当1x时，10yD. 当0 x时，y随着x的增大而增大2、 【2011 湖北黄石， 3】双曲线21kyx的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是（）A.12k B.12k C. 12k D.不存在3、 【2011 浙江杭州】，6 如图，函数11xy和函数xy22的图像相交于点 M（2，m） ，N（- 1，n） ，若21yy，则x的取值范围是（）A. 1x或20 xB. 1x或2xC. 01x或20 xD. 01x或2x4、 【2011 江苏泰州， 5】某公司计划新建一个容积V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h（m ）之间的函数关系式为)0(hhVS，这个函数的图象大致是（c）5、 【2011 甘肃兰州， 15】如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点 C 在反比例函数221kkyx的图像上 .若点 A 的坐标为（-2， -2） ， 则 k 的值为（ D ）A. 1 B. -3 C. 4 D. 1 或 -3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载6、 【2011 乐山， 10】如图（ 6） ，直线6yx交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点， P 是反比例函数4(0)yxx图象上位于直线下方的一点，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为点M，交 AB 于点 E，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点N，交 AB 于点 F。则AF BE（A）A8 B。 6 C。4 D。6 27、 【2012 铜仁）】如图，正方形ABOC 的边长为 2，反比例函数kyx的图象过点A，则 k 的值是（D）A2B 2C4D 4 8、 【2012 临沂】如图，若点M 是 x 轴正半轴上任意一点，过点M 作 PQ y 轴，分别交函数1(0)kyxx和2(0)kyxx的图象于点P和 Q， 连接 OP 和 OQ 则下列结论正确的是 （D）A POQ 不可能等于90B12kPMQMkC这两个函数的图象一定关于x 轴对称D POQ 的面积是1212kk9、 【2012?德州】如图，两个反比例函数和的图象分别是l1 和 l2设点 P 在 l1 上， PC第 7 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载xyBACDO x 轴， 垂足为 C， 交 l2 于点 A， PDy 轴， 垂足为 D， 交 l2 于点 B， 则三角形 PAB 的面积为（C）A、3 B、4 C、D、5 10、 【2012?荆门】如图，点A是反比例函数y=（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y=的图象于点B，以AB为边作 ?ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（D ）A 2 B 3 C 4 D 511、 【2012 六盘水】如图为反比例函数在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过点A 分别作 AB x 轴和 AC y 轴，垂足分别为B，C则四边形OBAC 周长的最小值为（A）A 4 B 3 C 2 D 1 二、填空题1、 【2011 湖北孝感， 15】 如图，点 A 在双曲线1yx上，点 B 在双曲线xy3上，且 ABx轴，C、D 在x轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为_2_.2、【2011 湖北十堰，16】 如图 , 平行四边形AOBC 中 , 对角线交于点E,双曲线经过 A、E两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则 k_6_. 3、 【2011乌兰察布， 17】函数yl= x ( x 0 ) , xy92（ x 0 ）的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点A 的坐标为 （ 3 ,3 ) 当 x 3 12yy时， 当 x 1 时， BC = 8 当x 逐渐增大时，yl随着x 的增大而增大，y2随着x 的增大而减小其中正确结论的序号是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载4、 【 2011 福州， 13】如图， OPQ 是边长为2 的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，则它的解析式是. 5、 【 2011 河南， 9】已知点P（a，b）在反比例函数xy2的图象上，若点P关于 y 轴对称的点在反比例函数xky的图象上，则k 的值为-2 6、 【2011 贵州遵义， 18】如图， 已知双曲线011xxy，042xxy，点 P为双曲线xy42上的一点，且PA x轴于点 A，PBy轴于点 B，PA 、PB分别交双曲线011xxy于 D、C两点，则 PCD的面积为898153 . 7、 【2011 湖北武汉， 16】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B 的坐标分别是A（-1，0） ，B（ 0，-2） ，顶点 C，D 在双曲线 y=xk上，边 AD 交 y 轴于点 E，且四边形BCDE 的面积是 ABE面积的 5 倍，则 k= 12.8、 【2012?聊城】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x 轴平行，点 P（3a，a）是反比例函数y=（k0）的图象上与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于 9，则这个反比例函数的解析式为_O P Q x y （第 13 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载9、 【2012? 衢州】如图，已知函数y=2x 和函数的图象交于A、B 两点，过点A 作 AE x 轴于点 E，若 AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是P1（0， 4）P2（ 4， 4）P3（4，4）10、 【2012 绍兴】如图， 矩形 OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1 个单位，若第1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第 n 次（n1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为_5 (4)11n n或65 (1)n n_（用含 n 的代数式表示）、 【2012?扬州】如图，双曲线y经过 RtOMN 斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知 OA 2AN ， OAB的面积为5，则 k 的值是 _12_、【2012?兰州】如图，点A 在双曲线上，点 B 在双曲线y上，且AB x 轴， C、D在 x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为_2_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下载、【012?兰州】如图， M 为双曲线y上的一点，过点M 作 x 轴、 y 轴的垂线，分别交直线 y xm 于点 D、 C 两点，若直线 y xm 与 y 轴交于点A， 与 x 轴相交于点B， 则 AD?BC的值为 _2_、【2011 四川成都， 25,4 分】在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数2(0)kykx满足：当0 x时， y 随 x 的增大而减小若该反比例函数的图象与直线3yxk都经过点 P，且7OP，则实数k=_37_. 三、简答题、 【四川宜宾，21】如图，一次函数的图象与反比例函数y1= 3x( x0）的图象相交于A 点，与 y 轴、 x 轴分别相交于B、C 两点，且C（2，0).当 x 1 时，一次函数值小于反比例函数值. (1) 求一次函数的解析式；(2) 设函数 y2= ax(x0)的图象与 y1= 3x(x0)的图象上取一点P（P 点的横坐标大于2)，过 P 作 PQx 轴，垂足是Q，若四边形BCQP 的面积等于2，求 P点的坐标 . 解： （1）x1 时，一次函数值小于反比例函数值. A点的横坐标是 1，A（ 1，3）设一次函数解析式为y= kx+b，因直线过A、C则k+b=32k+b=0，解之得：k= 1b=1，一次函数解析式为y= x+2（2）y2 = ax (x0)的图象与y1= 3x (x0) B点是直线y= x+2 与y轴的交点，B (0 ，2) 设P（n，3n ) ，n2 S四边形BCQP SBOC =212( 2+ 3n )n122 2 = 2 ，n = 52，P（52，65）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载、 【甘肃兰州，24】如图，一次函数3ykx的图像与反比例函数myx（x0）的图像交与点 P，PA x轴于点 A，PBy轴于点 B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点 C、点 D，且DBPS=27，OCCA=12. (1)求点 D 的坐标；（ 2）求一次函数与反比例函数的表达式；（ 3）根据图像写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？(1) 由一次函数3ykx，当 x=0 时， y=3，则点 D 的坐标为（ 0，3）.(2)可证 DOC PAC ，由OCCA=12.得AP=2DO=2 3=6 ，又 可证 四边形OBPA 是 矩形 ，则AP=OB=6，所 以BD=9 ，由DBPS=92121BPBDBP=27,BP=6. 所以点 P的坐标为（6， -6 ）. 所以xy36. 把点 P 的坐标（6，-6 ）代入3ykx得 -6=6k+3 ，得23k，把点 P的坐标（ 6，-6）代入myx得 m= 36，所以一次函数表达式为323xy. 反比例函数表达式为xy36(3) 由图象可知， 当 x6 时一次函数的值小于反比例函数的值 . 、 【2011 浙江义乌】如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点 . 已知反比例函数y= （k0）的图象经过点A(2 ，m)，过点 A 作 ABx 轴于点 B，且 AOB 的面积为. （ 1）求 k 和 m 的值；（ 2）点 C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1x3 时函数值 y 的取值范围；xkxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载（ 3）过原点 O 的直线 l 与反比例函数y= 的图象交于P、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值. （1） A(2， m) OB=2 AB=m SAOB=21?OB?AB=21 2 m=21m=21点 A 的坐标为（2，21）把 A（2，21）代入 y=xk，得21=2kk=1 （2）当 x=1 时，y=1；当 x=3 时， y=31又 反比例函数y=x1在 x0 时， y 随 x 的增大而减小，当1x3 时， y 的取值范围为31y1。（3） 由图象可得，线段PQ 长度的最小值为22。【拓展训练】1、 【2012?丽水】如图，等边OAB和等边AFE的一边都在x轴上，双曲线y(k0) 经过边OB的中点C和AE的中点D已知等边OAB的边长为 4(1) 求该双曲线所表示的函数解析式；(2) 求等边AEF的边长B O A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载解： (1)过点C作CGOA于点G，点C是等边OAB的边OB的中点，OC2， AOB60 ，OG1，CG，点C的坐标是 (1，)，由，得：k，该双曲线所表示的函数解析式为y；(2)过点D作DHAF于点H，设AHa，则DHa点D的坐标为 (4a，)，点D是双曲线y上的点， 由xy， 得(4 a)，即：a24a10，解得：a12，a22( 舍去 )，AD2AH 24，等边AEF的边长是 2AD482、【2012 泰安】 如图，一次函数ykxb的图象与坐标轴分别交于A，B两点， 与反比例函数nyx的图象在第二象限的交点为C，CDx轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，AOB的面积为 1 （1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当0 x时，0kkxbx的解集解答：解： （1）OB=2， AOB的面积为 1B（ 2，0） ，OA=1，A（0，1）120bkb，121kb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载112yx又OD=4，ODx轴， C（4，y） ， 将4x代入112yx得y=1， C（4， 1） 14m，4m，4yx（2）当0 x时，0kkxbx的解集是4x3、 【2012?德阳】已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点已知当x1 时，y1y2；当 0 x1 时，y1y2（ 1）求一次函数的解析式；（ 2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求ABC的面积解： （1）当x1 时，y1y2；当 0 x1 时，y1y2，点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6 ，点A的坐标为（ 1，6） ，又点A在一次函数图象上， 1+m=6 ，解得m=5 ，一次函数的解析式为y1=x+5 ； （2）第一象限内点C到y轴的距离为3，点C的横坐标为3，y=2 ，点C的坐标为（ 3，2） ，过点C作CDx轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，x+5=2 ，解得x= 3，点D的坐标为（3，2） ，CD=3 （ 3） =3+3=6，点A到CD的距离为 62=4 ，联立，解得（舍去），点B的坐标为（ 6， 1） ，点B到CD的距离为 2（ 1）=2+1=3，S ABC=S ACD+S BCD= 6 4+ 6 3=12+9=214、 【2012 南昌】如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（ 2，0） 、B（6，0） 、D（0，3） ，反比例函数的图象经过点C（ 1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（ 2）将等腰梯形ABCD向上平移2 个单位后，问点B是否落在双曲线上？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载解： （1）过点C作CEAB于点E，四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，DO=CE，AODBEC，AO=BE=2 ，BO=6 ，DC=OE=4 ，C（4，3） ；设反比例函数的解析式y= （k 0）， 根据题意得： 3=， 解得k=12 ； 反比例函数的解析式y=；（ 2）将等腰梯形ABCD向上平移2 个单位后得到梯形ABCD得点B（ 6，2） ，故当x=6 时，y=2 ，即点B恰好落在双曲线上【课后作业】一、填空题1. 【2011 浙江金华， 16 ， 4 分】如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0） ，AOC60，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= kx，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OB.（ 1）当点O与点A重合时，点P的坐标是. （ 2）设P（t，0）当OB与双曲线有交点时，t的取值范围是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载【答案】（1） （4，0） ； （ 2）4t2 5或 25t 4 2、 【2011 山东滨州， 18，4 分】若点A(m，2) 在反比例函数4yx的图像上，则当函数值y2 时，自变量x的取值范围是 _. 【答案】x-2 或x03、 【2011 宁波市， 18，3 分】如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y2x（x0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y2x（x0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为【答案】（31，3 1）4、 【2011 湖北荆州， 16，4 分】如图，双曲线)0(2xxy经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，ABx轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是. 【答案】 2二、简答题1、 【2012?兰州】如图，定义：若双曲线y(k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y(k0) 的对径(1) 求双曲线y的对径(2) 若双曲线y(k0) 的对径是10，求k的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载(3) 仿照上述定义，定义双曲线y(k0) 的对径解：过A点作ACx轴于C，如图，(1) 解方程组，得，A点坐标为 (1，1)，B点坐标为 (1， 1)，OCAC1，OAOC，AB2OA 2，双曲线y的对径是2；(2)双曲线的对径为 10，即AB10，OA5，OAOCAC，OCAC5，点A坐标为 (5， 5)，把A(5，5)代入双曲线y(k0)得k 5 5 25，即k的值为 25；(3)若双曲线y(k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y(k0)的对径2、 【2012?云南】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（ 2，1） 、B（ 1， 2）两点，与x轴交于点C（ 1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（ 2）连接OA，求AOC的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载解： （1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k 0）；反比例函数解析式为y2=（a 0），将A（2，1） 、B（ 1， 2）代入y1得：，y1=x1；将A（2，1）代入y2得：a=2 ，；答：反比例函数的解析式是y2=，一次函数的解析式是y1=x 1（ 2） y1=x1，当 y1=0 时， x=1， C（ 1，0） ， OC=1， SAOC= 1 1= 答： AOC 的面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页