2022年中考数学专题复习教学案--综合型问题 .pdf

学习必备欢迎下载综合型问题类型之一代数类型的综合题代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题主要包括方程、 函数、不等式等内容， 用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、 数形结合思想以及代人法、待定系数法等 解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破例 1. (安徽省 ) 刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30 千米的 A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0a3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1 小时打通道路，已知一分队的行进速度为5 千米 / 时，二分队的行进速度为（4+a）千米 /时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？下列图象中，分别描述一分队和二分队离A 镇的距离y( 千米 ) 和时间x( 小时 ) 的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。1.【解析】 本题是一道包含着分类思想的应用综合应用题。解题前先认真阅读弄清题意，把握好时间信息，二分队在营地不休息，几小时能赶到A镇，途中考虑到在塌方地点的停留，解题时不能忽视；在考虑图像时，同样也要分不同的情况去研究。【答案】解： （1） 若二分队在营地不休息，则 a 0， 速度为 4千米 / 时， 行至塌方处需102.54（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要10135（小时），故二分队在塌方处需停留0.5 小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需 2.5+0.5+2048（小时）（2）一分队赶到A镇共需305+1 7（小时）（）若二分队在塌方处需停留，则后20 千米需与一分队同行，故4+a5，即 a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；（）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7 a)=30 ，即 a2 3a+20, 解得 a1=1， a2=2均符合题意。答：二分队应在营地休息1 小时或 2 小时。（其他解法只要合理即给分）(3) 合理的图像为（b）、（ d）图像（ b）表明二分队在营地休息时间过长（2a3），后于一分队赶到A镇；图像（ d）表明二分队在营地休息时间恰当（1a2），先于一分队赶到A镇。同步测试：1( ?沈阳市） 一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后， 以每小时80 千米的速度匀速行驶， 前往与 A处相距 636 千米的 B地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量 y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x之间的变化规律， 说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式； （不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（ 1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2 小时到达 C处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（ 2）的前提下，C 处前方 18 千米的 D处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有10 升油，如果货车的速度和每小时的耗油量不变，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B地（货车在D处加油过程中的时间和路程忽略不计）类型之二几何类型的综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力， 对数学知识、 数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的例 2. （龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy 中， O交 x 轴于 A、B两点，直线FAx轴于点 A，点 D在 FA上，且 DO平行 O的弦 MB ，连 DM并延长交x 轴于点 C.（1）判断直线DC与 O的位置关系，并给出证明；（2）设点 D的坐标为（ -2，4），试求 MC的长及直线DC的解析式 . 【解析】此题考查圆的切线的判定方法及一次函数解析式的判定，(1) 切线的判定要从定义上去判定 : 过半径的外端,且垂直于半径的直线为圆的切线, 所以此题要连接OM,然后证明 OMDC,这里平行线对角的转化起到了关键的作用； (2) MC 的长借助于勾股定理建立方程而求出, 要求直线 DC 的解析式需要再求出点C的坐标根据 MC 的长即可以求出点C的坐标 （A103E A， 0） ,从而求出直线 DC 的解析式 . 【答案】（ 1）答：直线DC与 O相切于点M . 证明如下：连OM ， DO MB ， 1=2， 3=4 . OB=OM ， 1=3 . 2=4 . 在 DAO与 DMO 中，24AOOMDODO DAO DMO . OMD= OAD . 由于 FAx 轴于点 A ， OAD=90 . OMD=90 . 即 OM DC . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载DC切 O于 M. （2）解：由D（ 2，4）知 OA=2 （即 O的半径）， AD=4 . 由（ 1）知 DM=AD=4 ，由 OMC DAC ，知AMCACE A= AOMADE A= A24E A= A12E A， AC=2MC. 在 RtACD中， CD=MC+4. 由勾股定理，有(2MC)2+42=(MC+4)2，解得 MC= A83E A或MC=0 （不合，舍去）. MC 的长为 A83E A，点 C（A103E A，0）. 设直线 DC的解析式为y = kx+b . 则有.bkbk243100解得.bk2543直线 DC 的解析式为 y = A34E Ax+A52E A. 同步测试：2(益阳 ) ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边 DE落在 BC上，顶点F、G分别落在AC 、AB上 . . 证明： BDG CEF ；. 探究： 怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在a和b的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以a的解答记分. a. 小聪想： 要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和 CE的长，从而确定D点和 E点，再画正方形DEFG 就容易了 . 设 ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长( 结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载b. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：在 AB边上任取一点G ，如图作正方形G DEF；连结BF 并延长交AC于 F；作 FE FE交 BC于 E，FG FG交 AB于 G，GD GD交 BC于 D，则四边形DEFG 即为所求 . 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 类型之三几何与代数相结合的综合题几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型 .它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等. 它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、 数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力. 例 3. （恩施自治州）如图1，在同一平面内, 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，若 ?ABC固定不动， ?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E( 点 D 不与点 B重合 , 点 E不与点 C重合 ),设BE=m ，CD=n. 图 1（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m与 n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围 . （3）以 ?ABC的斜边BC所在的直线为x 轴，BC边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系( 如图 2). 在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2. 图 2（4）在旋转过程中 ,(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立 , 若成立 , 请证明 , 若不成立 , 请说明理由 . 【解析】解决问题（1）（ 2）的关键是利用图中的相似三角形；解决问题（3）时利用（ 2）中的 m 、n 的关系求出点D 的坐标，进而分别求出BD2、CE2、DE2的值；解决问题（4）时，通常方法是先猜想其结论成立，根据结论的特征， 尝试构造直角三角形，则问题可轻松获解. 【答案】解： (1) ?ABE?DAE, ?ABE?DCABAE=BAD+45, CDA=BAD+45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载BAE=CDA又B=C=45?ABE?DCA(2) ?ABE ?DCA，CDBACABE由依题意可知CA=BA=2nm22， m=n2自变量 n 的取值范围为1n2. (3) 由BD=CE可得BE=CD, 即 m=n m=n2， m=n=2OB=OC=21BC=1，OE=OD=21，D(1 2, 0) BD=OBOD=1-(21)=22=CE, DE=BC2BD=2-2(2 2)=222 BD2+CE2=2 BD2=2(2 2)2=1282, DE2=(222)2= 12 82BD2+CE2=DE2(4) 成立证明 : 如图 , 将?ACE绕点A顺时针旋转90至 ?ABH的位置 , 则CE=HB,AE=AH, ABH=C=45, 旋转角EAH=90. 连接HD, 在?EAD和 ?HAD中AE=AH, HAD=EAH- FAG=45=EAD, AD=AD. ?EAD?HADDH=DE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载又HBD=ABH+ABD=90BD2+HB2=DH2即BD2+CE2=DE2同步测试：3.（茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2+bx+c，经过A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2-x1=5（1）求b、c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点 P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由4 （嘉兴市） 如图，直角坐标系中， 已知两点(0 0)(2 0)OA， 点B在第一象限且OAB为正三角形，OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D（1）求BC，两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设EF，分别是线段ABAD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长试探究：AEF的最大面积？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载同步测试答案：1. 【解析】从表格中的数据我们可以看出当x 增加 1 时，对应y 的值减小20，所以 y 与 x之间可能是一次函数的关系，然后设出一次函数关系式，求出其关系式，然后进行验证. 【答案】（ 1）设 y 与 x 之间的关系为一次函数，其函数表达式为y=kx+b 将(0,100) ， (1,80) 代入上式得，10080bkb解得20100kb20100yx验证：当x=2 时，20210060y，符合一次函数；当 x=2.5 时，202.510050y，也符合一次函数可用一次函数20100yx表示其变化规律，而不用反比例函数、二次函数表示其变化规律y 与 x 之间的关系是一次函数，其函数表达式为20100yx（2）当 x=4.2 时，由20100yx可得 y=16 即货车行驶到C处时油箱内余油16 升（3）方法不唯一，如：方法一：由（ 1）得，货车行驶中每小时耗油20 升，设在 D处至少加油a升，货车才能到达B地依题意得，636804.220101680a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载解得， a=69（升）方法二 HU ：UH 由（ 1）得，货车行驶中每小时耗油20 升，汽车行驶18 千米的耗油量：18204.580（升）D、B之间路程为：636804.218282（千米）汽车行驶282 千米的耗油量：2822070.580（升）70.510(164.5)69（升）方法三：由（ 1）得，货车行驶中每小时耗油20 升，设在 D处加油a升，货车才能到达B地依题意得，解得，69a在 D处至少加油69 升，货车才能到达B地2. 【答案】. 证明： DEFG 为正方形，GD=FE ， GDB= FEC=90 ABC是等边三角形，B=C=60 BDG CEF(AAS) a. 解法一：设正方形的边长为x，作 ABC的高 AH ，求得3AH，由 AGF ABC得：332xx解之得： (或634x) 解法二：设正方形的边长为x，则22xBD在 RtBDG 中， tan B=BDGD，322xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载解之得：3232x( 或634x) 解法三：设正方形的边长为x，则xGBxBD2,22由勾股定理得：222)22()2(xxx解之得：634xb. 解： 正确由已知可知，四边形GDEF为矩形FEFE ，BFFBEFFE，同理BFFBGFFG，GFFGEFFE又 FE=FG ，FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形3. 【答案】（ 1）解法一：抛物线y=32x2+bx+c经过点A（0， 4），c=4 又由题意可知，x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，x1+x2=23b，x1x2=23c=6 由已知得（x2-x1）2=25 又（x2-x1）2=（x2+x1）24x1x2=49b224 49b224=25 ，解得b=314当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=314解法二：x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，即方程 2x23bx+12=0 的两个根x=4969b32b，x2x1=2969b2=5，解得b=314（以下与解法一相同）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又y=32x2314x4=32（x+27）2+625抛物线的顶点（27，625）即为所求的点D（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3 与抛物线y=32x2-314x-4 的交点，当x=3 时，y=32（ 3）2314（ 3） 4=4，在抛物线上存在一点P（ 3， 4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形， 因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是 （ 3， 3） ，但这一点不在抛物线上4. 【答案】（ 1）(2 0)A，2OA作BGOA于G，OAB为正三角形，1OG，3BG(13)B ，连AC，90AOC，60ACOABO，2 3tan303OCOA2 303C，（2）90AOC，AC是圆的直径，又CD是圆的切线，CDAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载30OCD，2tan303ODOC203D，设直线CD的函数解析式为(0)ykxb k，则2 33203bkb，解得32 33kb直线CD的函数解析式为2 333yx（3）2ABOA，23OD，423CDOD，2 33BCOC，四边形ABCD的周长2 363设AEt，AEF的面积为S，则333AFt，133sin603243SAF AEtt233393733434632Sttt当936t时，max7 33128S点EF，分别在线段ABAD，上，023203233tt，解得1323t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载936t满足1323t，AEF的最大面积为7 33128精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页