2022年中考数学二次函数压轴题题型归纳2 .pdf

1 中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：22BABAxxyyAB2、中点坐标 ：线段AB的中点C的坐标为：22BABAyyxx，直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系：（1）两直线平行21kk且21bb（2）两直线相交21kk（3）两直线重合21kk且21bb（4）两直线垂直121kk3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程01222mxmx有两个整数根，5m且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程23(1)230mxmxm（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当0m时，1x；当0m时，032m，mmx213，mx321、12x；综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22mmxxy（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 解：把原解析式变形为关于m的方程xmxy122；01022xxy，解得：11xy； 抛物线总经过一个固定的点（1， 1）。（题目要求等价于：关于m的方程xmxy122不论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程bax有无数解00ba7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图，直线1l、2l，点A在2l上，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得MNAM之和最小。（ 2）如图，直线1l、2l相交，两个固定点A、B，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得ANMNBM之和最小。（ 3）如图，BA、是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S PAB=1/2 PM x=1/2 AN y 9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy2）与一次函数（hkxy）（1）解方程组hkxycbxaxy2可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组hkxycbxaxy2，即02hcxkbax，通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点0仅有一个交点0没有交点010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移2121kkll、2121xxyyk平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAxxyyAB直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 【例题精讲】一 基础构图：y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得 PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P，使得 PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大连接 AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形讨论等腰三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出 P 坐标讨论平行四边形1、点 E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以 B，A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标O x y A B C D O x y A B C D O x y A B C D O x y A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 二 综合题型例 1 (中考变式） 如图， 抛物线cbxxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0) 两点， 顶点为 D。交 Y轴于 C (1) 求该抛物线的解析式与ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 E 为抛物线B、C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合 )，过 E 作 EF与X轴垂直，交BC 于 F，设 E 点横坐标为x.EF 的长度为 L ，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当 E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4)在（ 5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H。当 E 点运动到什么位置时,以点 E、 F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（ 5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 例 2 考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C 的坐标分别为 ( 1， 0) 、( 0，3) ，点 B 在 x 轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C 三点，且它的对称轴为直线x 1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、C 不重合），过点P 作 y 轴的平行线交BC 于点 F（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标例 3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y21x2bxc 与 y 轴相交于C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由D B C O A y x E B C O A 备用图y x y x B A F P x1 C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 例 4考点：讨论直角三角 如图，已知点 A（一 1，0）和点 B（1，2），在坐标轴上确定点 P，使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A） 2个（B） 4个 （C）6个（ D） 7个 已知：如图一次函数y21x1 的图象与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数y21x2bxc 的图象与一次函数y21x1 的图象交于B、 C 两点，与 x 轴交于 D、 E 两点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由例 5 考点：讨论四边形已知： 如图所示， 关于 x 的抛物线 yax2x c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0），点 B（6，0），与 y 轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3） 在 （2） 中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M， 抛物线上有一动点P， x 轴上有一动点Q 是否存在以A、M、 P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由O A B y C x D E 2 B A y O C x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244yaxaxac与 x 轴交于点A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点A 的坐标为 (1, 0)，OBOC，抛物线的顶点为D。 (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB，求点P的坐标； (3)Q 为线段 BD 上一点，点A 关于 AQB 的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点 Q的坐标和此时QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30，C，与x轴交于 A、B 两点，点B 的坐标为03，。（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2 的两部分，求出此时点M的坐标；（3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时 CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（ 0，2），求抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以QPMA、为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、已知关于x的方程2(1)(4)30m xm x。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（ 2） 若正整数m满足822m，设二次函数2(1)(4)3ym xm x的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象； 请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 5 如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a0 ）与 y 轴交于点C（0，4），与 x 轴交于点A（ 4，0）和 B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点Q 作 QEAC ，交 BC 于点 E，连接 CQ当 CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于 x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（ 2，0）问是否有直线l，使 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数yx2(m1)xm2 的图象与x轴相交于A（x1， 0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）若x1x20，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x1 1，x21，求m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点D（0，12）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且MDDN13，求该直线的表达式题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数y= x2+mx+m-5 ，（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；（2）求当 m取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 题型三、抛物线方程的整数解问题例1已知抛物线222(1)0yxmxm与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m 5，则整数 m的值为 _ 例 2已知二次函数yx22mx4m8（1）当 x2 时，函数值y 随 x 的增大而减小，求m 的取值范围；（2）以抛物线yx22mx4m8 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N 两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线yx22mx4m8 与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线2yxbxc（其中 b0，c0）与 y 轴的交点为A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且 AB=2. (1)求 m,b 的值(2)如果抛物线的顶点位于x 轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数2y4xxm的图象与 x 轴交于不同的两点A （1x，0）、B（2x，0）（1x2x），其顶点是点C ，对称轴与x 轴的交于点D（1）求实数m的取值范围；（2）如果（1x+1）（2x+1）=8，求二次函数的解析式；（3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点1A、1B，顶点为点C1，且111A B C是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升A O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 1已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且 |AB| 23，图象的对称轴为x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线yxm的下方，求m的取值范围2已知二次函数yx2mxm2（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB5，求m的值；（2） 设该二次函数图象与y轴的交点为C， 二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N， 且SMNC 27，求m的值3. 已知关于x的一元二次方程x22(k1)xk20 有两个整数根，k5 且k为整数（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数yx22(k 1)xk2的图象沿x轴向左平移4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线yxb与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围4已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线yx1 所得线段的长为22，求m的值四、中考二次函数定值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 1. 如图，已知二次函数L1： y=x24x+3 与 x 轴交于 AB两点（点A在点 B左边），与y 轴交于点C（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由2. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0， l) 三点，过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于M 、N两点分别过点C、D(0， 2) 作平行于x 轴的直线1l、2l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON为直径的圆与直线1l相切； (3)求线段 MN的长 ( 用 k 表示 ) ，并证明M 、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 3. 如图 1，已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x273交于点 A（3，6）（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA的长度；（2）点 P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线 PM ，交 x 轴于点 M （点 M 、O不重合），交直线 OA于点 Q ，再过点Q作直线 PM的垂线，交y 轴于点 N试探究：线段QM 与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 B为抛物线上对称轴右侧的点，点 E在线段 OA上（与点 O、A不重合） ，点 D （m ，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE= BED= AOD 继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1 个、 2 个？4孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a 0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B 两点，请解答以下问题：（ 1）若测得OA=OB=22（如图 1），求 a 的值；（ 2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时，过B 作 BFx 轴于点F，测得 OF=1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标；（ 3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标FEyxBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页