2022年中考数学专题复习存在性问题 .pdf

学习必备欢迎下载中考数学专题复习存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1. 如图，把抛物线2yx向左平移 1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线2()yxhk. 所得抛物线与x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左边） ，与y轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出hk、的值；（2）判断 ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC上是否存在点 M ，使 AOM ABC ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2. 如图，抛物线经过A（2，0） ，B（3，3）及原点 O ，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D在抛物线上，点 E在抛物线的对称轴上，且A、O 、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点 D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作 PM x 轴，垂足为 M ，是否存在点 P，使得以 P、M 、A为顶点的三角形 BOC 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载二、二次函数中面积的存在性问题3. 如图，抛物线20yaxbx a与双曲线kyx相交于点 A，B已知点 B的坐标为（ 2，2） ，点 A在第一象限内，且tan AOX 4过点 A作直线 AC x轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算 ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使 ABD 的面积等于 ABC的面积若存在，写出点D的坐标；若不存在，说明理由4. 如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底AD在 x 轴上，A（2,0 ） ，B（1, 3） （1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点 M为 y 轴上任意一点，当点M到 A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； （2 分）（3）在第（ 2）问的结论下，抛物线上的点P使 SPAD4SABM成立，求点 P的坐标 （4 分）(4) 在抛物线的 BD段上是否存在点Q使三角形 BDQ 的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，说明理由。xyCB_ D_ AO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载三、二次函数中直角三角形的存在性问题5. 如图, 在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形 , ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4 ，抛物线2yxbxc经过 A，B两点，抛物线的顶点为D （1）求 b, c 的值；（2）点 E是直角三角形 ABC 斜边 AB上一动点 (点 A、B除外)，过点 E作 x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段 EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使 EFP是以 EF为直角边的直角三角形 ? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6. 如图，直线33xy交 x轴于 A点，交 y轴于 B点，过 A、B两点的抛物线交 x轴于另一点 C （3,0）. 求抛物线的解析式 ; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使 ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由 . AOCBDxy26 题备用图AOCBDxy26 题图yxO C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7如图，二次函数y= x2ax b 的图像与 x 轴交于 A(21，0)、B(2，0)两点，且与 y 轴交于点 C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状； (2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以 A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以 A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。六、二次函数中菱形的存在性问题8如图，抛物线经过原点O和 x 轴上一点 A（4，0） ，抛物线顶点为 E，它的对称轴与 x 轴交于点 D 直线 y=2x1 经过抛物线上一点B（2，m ）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求 m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点 Q是平面内任意一点，点M从点 F出发，沿对称轴向上以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，设点 M的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q 、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由y A B C O x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载七、二次函数中与圆有关存在性问题9. 已知：抛物线 yxm xm21264()与 x 轴交于两点 A（x1，0） ，B（x2，0）()xxxx12120，它的对称轴交 x 轴于点 N（x3，0） ，若 A，B两点距离不大于6，（1）求 m的取值范围；（2）当 AB=5时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m的值，使过点 A和点 N能作圆与 y 轴切于点（ 0，1） ，或过点 B和点 N能作圆与 y 轴切于点（ 0，1） ，若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由定值问题：1.如图所示，在菱形 ABCD 中， AB=4， BAD=120 ， AEF 为正三角形，点 E、 F 分别在菱形的边 BC CD上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载1、 【答案】 解： （1）由平移的性质知，2()yxhk的顶点坐标为（，） ，14hk，。（2）由（1）得2=14yx. 当=0y时，2140 x 解之，得1231xx，。A(30)B 1 0， ， ( ， ). 又当0 x时，22=140143yx，C点坐标为（ 0，3） 。又抛物线顶点坐标D（1，4） ，作抛物线的对称轴1x交x轴于点 E，DF y轴于点 F。易知在 RtAED 中，AD2=22+42=20，在 RtAOC 中，AC2=32+32=18，在 RtCFD 中，CD2=12+12=2， AC2 CD2AD2。 ACD是直角三角形。（3）存在作 OM BC交 AC于 M ，点即为所求点。由（2）知， AOC 为等腰直角三角形， BAC 450，AC1832。由AOM ABC ，得AOAMABAC。即3AM9, AM2443 2。过 M点作 MG AB于点 G ，则 AG=MG=29281942164，OG=AOAG=3 9344。又点 M在第三象限，所以 M （34，94） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载2、 【答案】 解： （1）设抛物线的解析式为20yaxbxc a，抛物线过 A（2，0） ，B（3，3） ，O （0，0）可得 42=093=3=0abcabcc，解得=1=2=0abc。抛物线的解析式为22yxx。（2）当 AE为边时， A、O 、D、E为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2，则 D在 x 轴下方不可能， D在 x 轴上方且 DE=2 ，则 D1（1，3） ，D2（3，3） 。当 AO为对角线时，则DE与 AO互相平分。点 E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为 1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点 C重合，即 C （1，1） 。故符合条件的点 D有三个，分别是D1（1，3） ，D2（3，3） ，C （1，1） 。（3）存在，如图： B（3，3） ，C（1，1） ，根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2 BOC 是直角三角形。假设存在点 P，使以 P，M ，A为顶点的三角形与 BOC 相似，设 P（ x ，y） ，由题意知 x0，y0，且22yxx，若AMP BOC ，则AMPMBOCO。即x +2=3（ x2+2x ）得： x1=13， x2=2（舍去） 当 x =13时，y=79，即 P（13，79） 。若PMA BOC ，则，BOPMCOBO。即： x2+2x =3（ x +2）得： x1=3， x2=2（舍去）当 x =3 时，y=15，即 P（3，15） 故符合条件的点 P有两个，分别是P（13，79）或（ 3，15） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载3、 【答案】 解： （1）把点 B（2，2）的坐标代入kyx得，22k，k4。双曲线的解析式为：4yx。设 A点的坐标为（ m ，n） A点在双曲线上， mn 4。又tan AOX 4，mn4，即 m 4n。n21，n1。A点在第一象限， n1，m 4。A点的坐标为（ 1，4） 。把 A、B点的坐标代入2yaxbx得，4422abab，解得， a 1，b3。抛物线的解析式为：23yxx。（2）AC x 轴，点 C的纵坐标 y4，代入23yxx得方程，2340 xx，解得 x14， x21（舍去） 。C点的坐标为（ 4，4） ，且 AC 5。又ABC的高为 6， ABC的面积125615。（3）存在 D点使 ABD的面积等于 ABC 的面积。理由如下：过点 C作 CD AB交抛物线于另一点D， 此时 ABD的面积等于 ABC 的面积（同底： AB ，等高： CD和 AB的距离） 。直线 AB相应的一次函数是：22yx，且 CD AB ，可设直线 CD解析式为2yxp，把 C点的坐标（ 4，4）代入可得，12p。直线 CD相应的一次函数是：212yx。解方程组23212yxxyx，解得，318xy。点 D的坐标为（ 3，18） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载4. （1） 、因为点 A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程403acac解之得：14ac；故24yx为所求（2）如图 2，连接 BD ，交 y 轴于点 M ，则点 M就是所求作的点设 BD的解析式为ykxb，则有203kbkb，12kb，故 BD的解析式为2yx；令0,x则2y，故(0, 2)M(3) 、如图 3，连接 AM ，BC交 y 轴于点 N，由（2）知， OM=OA=OD=2，90AMB易知 BN=MN=1， 易求2 2,2AMBM122222ABMS；设2( ,4)P x x，依题意有：214422AD x，即：2144422x解之得：2 2x，0 x，故符合条件的 P点有三个：123(2 2,4),( 2 2,4),(0, 4)PPP5. 解答： 解： （1）由已知得： A（1，0） ，B（4，5） ，xyNMOP2P1BDAP3C图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（4，5） ，解得： b=2，c=3；（2）如图：直线 AB经过点 A（1，0） ，B（4，5） ，直线 AB的解析式为： y=x+1，二次函数 y=x22x3，设点 E（t ，t+1） ，则 F（t ，t22t 3） ，EF= （t+1）（ t22t 3）=（t ）2+，当 t=时，EF的最大值为，点 E的坐标为（， ） ；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形 EBFD 可求出点 F的坐标（，） ，点 D的坐标为（ 1，4）S四边形 EBFD=SBEF+SDEF= （4 ）+ （ 1）=；如图：）过点 E作 aEF交抛物线于点 P，设点 P（m ，m22m 3）则有： m22m 2= ，解得：m1=，m2=，P1（， ） ，P2（， ） ，）过点 F作 bEF交抛物线于 P3，设 P3（n，n22n3）则有： n22n2=，解得：n1= ，n2= （与点 F重合，舍去），P3（ ，） ，综上所述：所有点P的坐标： P1（， ） ，P2（， ） ，P3（ ，）能使EFP组成以 EF为直角边的直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载6. 解： （1）当 x=0时， y=3 当 y=0 时， x=1 A（1，0） ， B（0，3）C（3，0） 1 分设抛物线的解析式为y=a（ x +1） （ x 3）3=a1（ 3）a=1 此抛物线的解析式为y=（ x + 1 ） （ x 3）=- x2+2x +3 2分（2）存在抛物线的对称轴为： x=231=1 4 分如图对称轴与 x轴的交点即为 Q1OA=OQ1，BOAQ1 AB=Q1BQ1（1，0） 6 分当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（ 1，m ）22+m2=12+（3m ）2m=1 Q2（1，1） 8 分当Q3A=AB 时，设Q3（1，n）22+n2=12+32n0 n=6Q3（1，6 ）符合条件的Q点坐标为Q1（1，0） ，Q2（1，1） ，Q3（1，6 ） 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载7、答案： 解 (1) 根据题意，将 A(21，0)，B(2 ，0)代入 y= x2ax b 中，得02402141baba，解这个方程，得 a=23，b=1，该拋物线的解析式为y= x223x 1，当 x=0 时，y=1，点 C的坐标为 (0，1) 。在 AOC 中，AC =22OCOA=221)21(=25。在BOC 中，BC =22OCOB=2212=5。AB =OA OB =212=25，AC2BC2=455=425=AB2，ABC是直角三角形。 (2) 点 D的坐标为 (23，1)。 (3) 存在。由 (1) 知，AC BC 。若以 BC为底边，则 BC / AP ，如图 1 所示，可求得直线BC的解析式为 y= 21x 1，直线 AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为 y= 21x b，把点 A(21，0)代入直线 AP的解析式，求得 b= 41，直线AP的解析式为y= 21x41。点P既在拋物线上，又在直线AP上，点 P的纵坐标相等，即x223x 1= 21x41，解得 x1=25，x2= 21(舍去) 。当 x=25时，y= 23，点 P(25，23)。若以 AC为底边，则 BP / AC ，如图 2 所示。可求得直线 AC的解析式为 y=2x 1。直线 BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线 BP的解析式为 y=2x b，把点 B(2，0) 代入直线 BP的解析式，求得b= 4，直线 BP的解析式为 y=2x 4。点 P既在拋物线上，又在直线BP上，点 P的纵坐标相等，即 x223x 1=2x 4，解得 x1= 25，x2=2(舍去) 。当 x= 25时，y= 9，点 P的坐标为 (25， 9)。综上所述，满足题目条件的点P为(25，23)或(25， 9)。y A B C O x P y A B C O P x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载8解： （1）点 B（2，m ）在直线 y=2x1 上m=3 即 B（2，3）又抛物线经过原点O 设抛物线的解析式为y=ax2+bx 点 B（ 2，3） ，A（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，又点 C是直线 y=2x1 与 y 轴交点，C（0，1） ，OC=1 ，即或，解得：点 P的坐标为（3）结论：存在抛物线的解析式为，顶点 E（2，1） ，对称轴为 x=2；点 F 是直线 y=2x1 与对称轴 x=2 的交点， F（2，5） ，DF=5 又A（4，0） ，AE=如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形 AEM1Q1此时 DM1=AE=，M1F=DF DE DM1=4，t1=4；菱形 AEOM2此时 DM2=DE=1 ，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形 AEM3Q3此时 EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF= （1）+5=4+，t3=4+；菱形 AM4EQ4此时 AE为菱形的对角线，设对角线 AE与 M4Q4交于点 H ，则 AE M4Q4，易知 AED M4EH ，即，得 M4E= ，DM4=M4EDE= 1= ，M4F=DM4+DF= +5=，t4=综上所述，存在点M 、点 Q ，使得以 Q 、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为： t1=4，t2=6，t3=4+，t4=9. 解： （1）令 y=0，则 xm xm21260()xxxxxx121212000，且，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载 xmx12232， AmB()()23020，ABmm22352()由 AB 6，且xx120，得：4605263212mmmm123m（2）当 AB=5时， 5250mm，抛物线的解析式为：yxx26（3）N（x3，0）是抛物线与 x 轴的交点Nm()2120，若 N在 x 轴的正半轴上，则OGONmOB12122，由切割线定理：OGONOB2121221mm若 N在 x 轴的负半轴上，则ONmOAm12232，由切割线定理： OGONOA2112232mm ()mm12232232，123mm232()舍去m232m 的值为1 或232。定值问题1. 【答案】 解： （1）证明：如图，连接AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载四边形 ABCD 为菱形， BAD=120 ，BAE+EAC=60 ，FAC+EAC=60 ，BAE=FAC。BAD=120 ， ABF=60 。ABC 和ACD 为等边三角形。ACF=60 ，AC=AB 。 ABE=AFC。在ABE 和ACF 中， BAE=FAC，AB=AC ，ABE=AFC，ABEACF（ASA） 。BE=CF。（2）四边形 AECF 的面积不变， CEF 的面积发生变化。理由如下：由（1）得 ABEACF，则 SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，22AECFABC11SSBC AHBCABBH4 322四形边。由“ 垂线段最短 ” 可知：当正三角形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页