2022年中考数学初中数学定理公式汇编常用解题方法 .pdf

初中数学定理、公式汇编一、数与代数1 数与式（ 1）实数实数的性质：实数 a 的相反数是 a，实数 a 的倒数是a1（a0） ；实数 a 的绝对值：)0()0(0)0(aaaaaa正数大于0，负数小于0，两个负实数，绝对值大的反而小。二次根式：积与商的方根的运算性质：baab（a 0，b0） ；baba（a0，b0） ；二次根式的性质：)0()0(2aaaaaa（ 2）整式与分式同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 底数不变， 指数相加， 即nmnmaaa（m 、n 为正整数）；同底数幂的除法法则：同底数幂相除， 底数不变，指数相减，即nmnmaaa（a0，m 、 n为正整数， mn ） ；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnbaab)(（n 为正整数） ；零指数：10a（a0） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页负整数指数：nnaa1（a 0，n 为正整数）；平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即22)(bababa；完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍，即2222)(bababa；分式分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即mbmaba；mbmaba，其中 m是不等于零的代数式；分式的乘法法则：bdacdcba；分式的除法法则：)0(cbcadcdbadcba；分式的乘方法则：nnnbaba)(（n 为正整数）；同分母分式加减法则：cbacbca；异分母分式加减法则：bccdabbdca；2 方程与不等式一元二次方 程02cbxax(a 0 ） 的求根公式：)04(2422acbaacbbx 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 ：acb42叫 做 一 元 二 次 方 程02cbxax（a0）的根的判别式：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；一元二次方程根与系数的关系：设1x、2x是方程02cbxax（a0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页的两个根，那么1x+2x=ab，1x2x=ac；不等式的基本性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；3 函数一次函数的图象：函数y=kx+b(k 、b 是常数， k0)的图象是过点（0，b）且与直线 y=kx 平行的一条直线；一次函数的性质：设y=kx+b（k 0） ，则当k0 时， y 随 x 的增大而增大；当k0 时， y 随 x 的增大而增大；当 k0，则当 x0 时或 x0 时， y 分别随 x 的增大而减小；如果k0 时或 x0 时，抛物线开口向上，当a0 时，如果abx2，则 y 随 x 的增大而减小，如果abx2，则y 随 x 的增大而增大；当a0 时，如果abx2，则 y 随 x 的增大而增大，如果abx2，则 y 随 x 的增大而减小；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页二、空间与图形1 图形的认识(1) 角角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。(2) 相交线与平行线同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等；对顶角的性质：对顶角相等垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。(3) 三角形三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；全等三角形的判定：边角边公理（SAS ）角边角公理（ASA ）角角边定理（AAS ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页边边边公理（SSS ）斜边、直角边公理（HL ）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为余角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b 、c 有下面关系222cba，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。(4) 四边形多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于180)2(n（ n3，n 是正整数）；平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。矩形的性质： （除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的特征： （除具有平行四边形所有性质外菱形的四边相等；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的判定：四边相等的四边形是菱形；正方形的特征：正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。等腰梯形的特征: 等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形的判定：同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形。平面图形的镶嵌：任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；(5) 圆点与圆的位置关系（设圆的半径为r ，点 P到圆心 O的距离为d） ：点 P在圆上，则d=r，反之也成立；点 P在圆内，则dr，反之也成立；圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可以得到另外两组也相等；圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；垂径定理 （及垂径定理的推论） ：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等；圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来，90的圆周角所对的弦是直径；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；弧长计算公式：180Rnl（R为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l为弧长）扇形面积：2360RnS扇形或lRS21扇形（R为半径， n 是扇形所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长）弓形面积SSS扇形弓形(6) 尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；(7) 视图与投影画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）；基本几何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型；2. 图形与变换图形的轴对称轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；图形的平移图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；图形的旋转图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；图形的相似比例的基本性质： 如果dcba， 则bcad， 如果bcad， 则)0,0(dbdcba相似三角形的设别方法：两组角对应相等；两边对应成比例且夹角对应相等；三边对应成比例相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方；相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；相似多边形的对应边成比例；相似多边形的面积之比等于相似比的平方；图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页Rt ABC中，C=90，SinA=斜边的对边A，cosA=斜边的邻边A, tanA=的邻边的对边AA, CotA=的对边的邻边AA特殊角的三角函数值：304560Sin 212223Cos232221tan 331 3Cot31 33三、概率与统计1统计数据收集方法、数据的表示方法（统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图）（1）总体与样本所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本的容量。数据的分析与决策（借助所学的统计知识，对所收集到的数据进行整理、分析，在分析的结果上再作判断和决策）（2）众数与中位数众数：一组数据中，出现次数最多的数据；中位数：将一组数据按从大到小依次排列，处在最中间位置的数据。（3）频率分布直方图频率 =总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。（4）平均数的两个公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页 n个数1x、2x , nx的平均数为：nxxxxn.21；如果在n 个数中，1x出现1f次、2x出现2f次 , kx出现kf次，并且1f+2f +kf=n，则nfxfxfxxkk.2211；（5）极差、方差与标准差计算公式：极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值 - 最小值；方差：数据1x、2x , nx的方差为2s，则2s=22221.1xxxxxxnn标准差：数据1x、2x , nx的标准差s，则s=22221.1xxxxxxnn一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。2 概率如果用P表示一个事件发生的概率，则0P（ A） 1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；3. 统计的初步知识、概率在社会生活中有着广泛的应用，能用所学的这些知识解决实际问题。说明：凡上述整理的内容与义务教育数学课程标准不一致处，以义务教育数学课程标准和苏州市20XX年初中毕业生学业评价说明（数学学科）为准。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页初中数学常用的解题方法介绍数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。六年级的同学们很快就要小学毕业，中学的大门已经向我们敞开。为了能进一步学好数学，有必要掌握初中数学的特点尤其是解题方法。下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。同样这些方法也能给你们现在的学习有些帮助。请同学们把它作为资料好好保存，当然，以后全部学会弄懂，保存大脑当中再好不过了。 1、配方法所谓配方， 就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法因式分解， 就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（ a、b、c 属于 R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形， 解方程 (组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设； (2)归谬； (3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在 /不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于 /不等于；大 (小)于/不大 (小)于；都是 /不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有 (n 一 1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括： （1）平移；（2）旋转；（ 3）对称。10、客观性题的解题方法选择题 是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活， 可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题 是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（ 1）直接推演法 ：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（ 2）验证法： 由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案， 此法称为验证法 （也称代入法） 。当遇到定量命题时，常用此法。（3）特殊元素法 ：用合适的特殊元素（如数或图形） 代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。（ 4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（ 5）图解法： 借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（ 6）分析法： 直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页