2022年中考数学专题复习规律与猜想 .pdf
学习必备欢迎下载规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来 . 规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性， 呈现形式多样，便于学生观察， 侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律， 同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力. 类型之一数式的变化规律例 1 (2014 安徽 ) 观察下列关于自然数的等式：32-412=5 52-422=9 72-432=13 根据上述规律解决下列问题：(1) 完成第四个等式：92-4 ( )2=( )；(2) 写出你猜想的第n 个等式 ( 用含 n 的式子表示 ) ，并验证其正确性. 【思路点拨 】(1) 从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4. 依次规律就可写出第四个等式；(2) 先根据分析的规律用含n 的等式表示出第n 个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同 . 【解答 】(1)4 ，17. (2)(2n+1)2-4n2=4n+1. 验证：左边 =4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，等式成立 . 方法归纳： 探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律. 1. (2014 东营 ) 将自然数按以下规律排列：表中数 2 在第二行，第一列，与有序数对(2 ，1) 对应；数5 与(1， 3) 对应；数14 与(3， 4)对应；根据这一规律，数2 014 对应的有序数对为 . 2. (2014 菏泽 ) 下面是一个按某种规律排列的数阵：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载根据数阵排列的规律，第n 行(n 是整数，且n3) 从左至右数第n-2 个数是 (用含 n 的代数式表示). 3.(2014 滨州 ) 计算下列各式的值：2919；299199；29991 999；29 99919 999. 观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得22 01492 01499991999个个= . 4. (2014 巴中 ) 如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”. 它的发现比西方要早五百年左右， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n 为非负整数 ) 的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数. 例如， (a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1 恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1 恰好对应图中第四行的数字 .请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 . 5. (2014 黄石 ) 观察下列等式：第一个等式： a1=231 22=112-2122第二个等式： a2=34232=2122-313 2第三个等式： a3=45342=313 2-4142第四个等式： a4=5645 2=14142-5152按上述规律，回答以下问题：用含 n 的代数式表示第n 个等式：an= = ；式子 a1+a2+a3+a20= . 6. (2014 烟台 ) 将一组数3，6，3,23,15, ， 310，按下面的方法进行排列：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载若 23的位置记为 (1 ， 4)，26的位置记为 (2 ，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A.(5，2) B.(5，3) C.(6，2) D.(6，5) 类型之二图形的变化规律例 2 (2014 金华 ) 一种长方形餐桌的四周可坐6 人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接 . (1) 若把 4张、 8 张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2) 若有餐的人数有90 人，则这样的餐桌需要多少张？【思路点拨 】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4 人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系. 从而就可解决问题. 【解答 】(1) 根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4 人. 即：拼接x 张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人). 所以，拼4 张可以坐4 4+2=18( 人) ，拼 8 张可以坐48+2=34( 人). (2) 由题意可知4x+2=90. 解得 x=22. 答：这样的餐桌需要拼接22 张. 方法归纳： 当图形在变换时， 图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证 . 1. (2014 重庆 A卷) 如图，下列图形都是由面积为1 的正方形按一定的规律组成，其中，第(1) 个图形中的正方形有2 个，第 (2) 个图形中面积为1 的正方形有5 个，第 (3) 个图形中面积为 1 的正方形有9 个，按此规律，则第(6) 个图形中面积为1 的正方形的个数为( ) A.20 B.27 C.35 D.40 2.（ 2014武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1 个图片共有4 个点，第 2 个图中共有 10 个点，第3 个图中共有19 个点，按此规律第5 个图中共有点的个数是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载 A.31 B.46 C.51 D.66 3. (2014 重庆 B卷) 下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2 个三角形， 第二个图形中共有8 个三角形，第三个图形中共有14 个三角形，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( ) A.22 B.24 C.26 D.28 4. (2014 宜宾 ) 如图，将 n 个边长都为2 的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2， ,An分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( ) A.n B.n-1 C.(14)n-1 D.14n 5. (2014 鄂州 ) 如图，四边形ABCD中， AC=a,BD=b,且 AC BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn. 下列结论正确的是( ) 四边形A4B4C4D4是菱形； 四边形A3B3C3D3是矩形； 四边形A7B7C7D7周长为8ab；四边形 AnBnCnDn面积为2na b. A. B. C. D.6. (2014 内江 ) 如图，已知A1、A2、 An、An 1是 x 轴上的点，且OA1 A1A2 A2A3AnAn 11，分别过点A1、A2、 An、An1 作 x 轴的垂线交直线y2x 于点 B1、B2、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载Bn、Bn 1，连接 A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、 AnBn 1、BnAn1，依次相交于点P1、P2、P3、Pn， A1B1P1、 A2B2P2、 AnBnPn的面积依次为S1、S2、 Sn，则 Sn为( ) A.121nn B.231nn C.221nn D.22 +1nn7. (2014 内江 ) 如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2 014 个图形是 . 8. （2014娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个组成，第2 个图案由7个组成，第3 个图案由10 个组成，第4 个图案由13 个组成，则第n（n 为正整数）个图案由个组成 . 9. (2014 盐城 ) 如图， 在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数yx 的图象上， 从左向右第3 个正方形中的一个顶点A的坐标为 (8 ，4) ，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3， Sn，则 Sn的值为 .(用含 n 的代数式表示，n 为正整数 ) 类型之三点的坐标的变化规律例 3 (2014 泰安 ) 如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点 A顺时针旋转到AB1C1的位置，点 B、O分别落在点B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将 AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在 x 轴上，将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在 x 轴上，依次进行下去，若点A(53,0),B(0,4),则点 B2 014的横坐标为 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载【思路点拨 】先根据勾股定理求出AB的长度， 再根据第 4 个图形与第1 个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可. 【解答 】由题意可得：AO=53，BO=4 ，AB=133，OA+AB1+B1C2=53+133+4=6+4=10，B2的横坐标为10，B4的横坐标为2 10=20，点 B2 014的横坐标为：2014210=10 070. 故答案为： 10 070. 方法归纳： 由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律. 1. 如图， 在一单位为1 的方格纸上， A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7， 都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2， 4，6，的等腰直角三角形. 若 A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1 ，-1) ，A3(0 ，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为 . 2. (2013 湛江 ) 如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1、A2、A3、A4、表示，其中A1A2与 x 轴、底边 A1A2与 A4A5、A4A5与 A7A8、均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载3. (2014 孝感 )正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置. 点 A1，A2，A3，和点 C1，C2，C3，分别在直线y=x+1 和 x 轴上，则点B6的坐标是 . 4. (2014 德州 ) 如图，抛物线y x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点 ) 依次为 A1，A2，A3，An， . 将抛物线 yx2沿直线 l ：yx 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1，M2，M3， Mn，都在直线l ： yx 上；抛物线依次经过点A1，A2，A3， An， . 则顶点 M2 014的坐标为 .参考答案类型之一数式的变化规律1. (45 ，12) 2.22n3. 102 014提示：2919=10=101，299199=100=102，29 991 999=1 000=103，29 99919 999=10 000=104，2201492014999.9199.9个个=102 014. 故答案为102 014. 4. a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b45.121 2nnn n；1 2nn-111 2nn；12-2112126. C类型之二图形的变化规律1. B 2.B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载3. C提示：每一次操作三角形个数增加6 个. 4. B提示： 每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的14，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n 个正方形有 (n-1) 个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1). 5. A6. D提示： AnBn当底，利用函数y2x 即可求得，利用黑白三角形相似如A1B1P1 B2A2P1等求得 Pn到 AnBn的距离，从而得AnBnPn的面积 . 7. 正方形8. 3n+19. 24n-5提示：根据A点的坐标为 (8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、，第 n 个正方形的边长为2n-1计算 , 第 n 个阴影部分是在第2n-1 和 2n 个正方形中， 与求 S2的方法一样，第 n 个阴影部分的面积是第2n-1 个正方形面积的一半，Sn=12（ 22n-1-1）2=24n-5. 类型之三点的坐标的变化规律1. (1,-1 007)2. (0 ，3-1) (-8，-8)提示：由于223=7 1，而 A1的坐标为 (-1 ，-1) ；A4的坐标为 (-2 ，-2) ；A7的坐标为 (-3 ，-3) ； A22的坐标为 (-8 ，-8).3. (63 ，32)提示： A1(0,1)，B1(1， 1);A2(1 ，2)B2(3，2),A3(3 ，4),B3(7 ，4); 依次类推An(2n-1,2n-1), 所以 B6(63 ，32). 4. (4 027 ，4 027)提示： M1(a1，a1) 是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得 x2=(x-a1)2+a1，即 2a1x=a21+a1，x=12(a1+1). x 为整数点，a1=1，M1(1 ，1)；同理M2(3，3) ，M3(5，5) ， M2 014(2 014 2-1 ，20142-1) ，即 M2014(4 027 ，4 027). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
