2022年中考数学综合题汇编一季-等腰三角形 .pdf

中考综合题（一季- 等腰三角形）（共七季）1如图， 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA=2，0C=6，在 OC 上取点 D 将 AOD沿 AD 翻折，使O 点落在 AB 边上的 E 点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P 从 D 点出发沿线段DAAB 移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N（1）填空： D 点坐标是（2，0） ，E 点坐标是（2，2） ；（2） 如图 1， 当点 P 在线段 DA 上移动时， 是否存在这样的点M，使CMN 为等腰三角形？若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 P 在线段 AB 上移动时，设P 点坐标为（ x，2） ，记 DBN 的面积为S，请直接写出S与 x 之间的函数关系式，并求出 S随 x 增大而减小时所对应的自变量x 的取值范围考点 ： 一 次函数综合题分析：（1） 根据 AOD 沿 AD 翻折， 使 O 点落在 AB 边上的 E 点处， 得到 OAD = EAD=45 ，DE=OD，求出 OD=2，得出 D 点的坐标，再根据DE=OD=2，求出 E 点的坐标；（ 2）由翻折可知四边形AODE 为正方形，过M 作 MHBC 于 H，先求出 NMH=MNH =45 ，得出 NH=MH=4，MN=4，再根据直线OE 的解析式为： y=x，依题意得MNOE，设 MN 的解析式为y=x+b，根据 DE 的解析式为x=2，BC 的解析式为 x=6，得出 M（2， 2+b） ，N （6， 6+b） ，CM=，CN=6+b，MN=4，当 CM=CN 时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得：b=2，此时 M（2，0） ；当 CM=MN时， 42+（2+b）2=（4）2，解得： b1=2，b1=6（不合题意舍去） ，此时 M（2，4） ；当 CM=MN 时， 6+b=4，解得： b=4 6，此时 M（2，44） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页（ 3）根据题意先证出PBN DEP， 得出 BN 的值，求出 S与 x 之间的函数关系式，根据当0 x2 时， S=x28x+12=（x4）24，当 2x6 时， S=x2+8x12=（ x4）2+4，即可得出答案解答：解 ： （1）将 AOD 沿 AD 翻折，使 O 点落在 AB 边上的 E 点处， OAD=EAD=45 ， DE=OD， OA=OD， OA=2， OD=2， D 点坐标是（ 2，0） ，DE=OD=2， E 点坐标是（ 2，2） ，故答案为：（2， 0） ， （2，2） ；（ 2）存在点M 使 CMN 为等腰三角形，理由如下：由翻折可知四边形AODE 为正方形，过 M 作 MH BC 于 H， PDM=PMD =45 ，则 NMH = MNH=45 ，NH=MH =4，MN=4，直线 OE 的解析式为：y=x，依题意得MNOE，设 MN 的解析式为y=x+b，而 DE 的解析式为x=2，BC 的解析式为x=6， M（2，2+b） ，N（6， 6+b） ，CM=， CN=6+b，MN=4，分三种情况讨论：当 CM=CN 时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得： b=2，此时 M（2，0） ；当 CM=MN 时，42+（2+b）2=（4）2，解得： b1=2，b1=6（不合题意舍去） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页此时 M（2，4） ；当 CM=MN 时，6+b=4，解得： b=46，此时 M（2， 44） ；综上所述，存在点M 使 CMN 为等腰三角形，M 点的坐标为：（ 2，0） ， （2，4） ， （2， 44） ；（ 3）根据题意得：当 0 x2 时， BPN+DPE=90 ， BPN+EPD=90 ， DPE=EPD， PBN DEP，=，=， BN=， SDBN=?BN?BP=?（6x）整理得： S=x28x+12；当 2 x6 时， PBN DEP，=，=， BN=， SDBN=?BN?BE，=? 4，整理得： S=x2+8x12；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页则 S与 x 之间的函数关系式：，当 0 x2 时， S=x28x+12=（x4）24，当 x4时， S随 x的增大而减小，即0 x2 ，当 2x6 时，S=x2+8x12=（ x4）2+4，当 x4时， S随 x的增大而减小，即4 x6 ，综上所述： S随 x 增大而减小时，0 x2 或 4 x6 2.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：433xy与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3 的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移. （1）在平移过程中，得到111CBA，此时顶点1A恰落在直线l上，写出1A点的坐标；（ 4 分）（2）继续向右平移，得到222CBA，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；（ 4 分）（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的2A、2B、2C任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页（1）3 ,31A（ 2）设yxP,连接PA2并延长交x轴于点H,连接PB2在等边三角形222CBA中,高32HA3222BA，32HB点P是等边三角形222CBA的外心302HPB，1PH即1y将1y代人433xy，解得：33x1 ,33P（3）点P是222CBA的外心，22PBPA22PCPB22PAPC22BPA，22CPB，22CPA是等腰三角形点P满足条件，由（2）得3 ,33P由（ 2）得：0, 342C，点2C满足直线l：433xy的关系式 . 点2C与点M重合 . 302PMB设点Q满足条件，22BQA，22QCB，22QCA能构成等腰三角形. 此时22QBQA222CBQB222CAQA作xQD轴于D点，连接2QB322QB，60222PMBDQB3QD，3 ,3Q10分设点S满足条件，22BSA，SBC22，SAC22能构成等腰三角形. 此时22SBSASCBC222SCAC222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页作SFx轴于F点322SC，30222PMBBSC3SF3, 334S11分设点R满足条件，22BRA，RBC22，RAC22能构成等腰三角形. 此时22RBRARCBC222RCAC222作REx轴于E点322RC，3022PMBERC3ER3,343R答：存在四个点，分别是1 ,33P，3,3Q，3, 334S，3,343R12分3如图，已知直线y3x3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，抛物线yx2bxc 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与 A 点不重合 )(1)求抛物线的解析式：(2)求 ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使 ABM 为等腰三角形 ?若不存在， 请说明理由：若存在，求出点M 的坐标 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页解： （1）求出 A（1，0） ，B（0， 3）1分把 A、B 两点的坐标分别代入yx2bxc 得301ccb解得： b2，c 33分抛物线为： yx22x34分（2）令 y0 得： 0 x22x3 解之得： x11，x2 3 所以 C（ 3，0） ，AC 46分SABC分86342121OBAC（3）抛物线的对称轴为：x 1，假设存在M（ 1，m）满足题意讨论：当 MAAB 时10222m6mM1（ 1，6） ，M2（ 1，6） 10分当 MBBA 时10) 3(122mM30， M4 610分M3（ 1，0） ，M4（ 1， 6） 12分当 MBMA 时2222)3(12mmm 1 M5（ 1， 1）13分答：共存在五个点M1（ 1，6） ，M2（ 1，6） ，M3（ 1， 0） ，M4（ 1， 6） ，M5（ 1， 1） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页使 ABM 为等腰三角形 14分4. 如图，在平面直角坐标系中，点0 为坐标原点， A 点的坐标为 (3，0)，以 0A 为边作等边三角形 OAB，点 B 在第一象限，过点B 作 AB 的垂线交x 轴于点 C动点 P 从 0 点出发沿0C 向 C 点运动，动点Q 从 B 点出发沿BA 向 A 点运动， P,Q 两点同时出发，速度均为1 个单位秒。设运动时间为t 秒(1)求线段 BC 的长；(2)连接 PQ 交线段OB 于点 E，过点 E 作 x 轴的平行线交线段BC 于点 F。设线段EF的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围：(3)在(2)的条件下， 将 BEF 绕点 B 逆时针旋转得到BE1F1,使点 E 的对应点E1落在线段 AB 上，点 F 的对应点是F1，E1F1交 x 轴于点 G，连接 PF、QG，当 t 为何值时， 2BQ-PF= 33QG? 考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（ 1）由 AOB 为等边三角形得ACB= OBC=300，由此 CO=OB=AB=OA=3，在 RTABC 中，AC 为 6 ，从而 BC=（2）过点 Q 作 QN0B交 x 轴于点 N，先证 AQN 为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=tPN=t+t=2t，再由 POE PNQ 后 对应边成比例计算得再由 EF=BE 易得出m 与 t 之间的函数关系式(3)先证 AE G 为等边三角形，再证QGA=900精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页通过两边成比例夹角相等得FCP BCA 再用含 t 的式子表示BQ、 PF、QG 通过解方程求出解答： (1)解：如图l AOB 为等边三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300 ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3 AC=6 BC=AC=(2)解：如图l 过点 Q 作 QN0B 交 x 轴于点 N QNA=BOA=600=QAN QN=QA AQN 为等边三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQN POE PNQEFx 轴 BFE= BCO= FBE=300EF=BEm=BE=OB-OE(0t 1322，（不合题意，舍去）。存在时刻2 1346t2，使 PE 平分 APQ，同时 QE 平分 PQC。11.如图，抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点C（0， 4） ，与 x 轴交于点A，B，且 B 点的坐标为（ 2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求 PCE 面积的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页（3）若点 D 为 OA 的中点，点M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标考点 ：二次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3） OMD 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答： 解： （ 1）把点 C（0， 4） ，B（2， 0）分别代入y=x2+bx+c 中，得，解得该抛物线的解析式为y=x2+x4（2）令 y=0，即x2+x 4=0，解得 x1=4， x2=2，A（ 4，0） ，SABC=AB?OC=12设 P 点坐标为（ x，0） ，则 PB=2 xPEAC， BPE= BAC， BEP=BCA， PBE ABC，即，化简得： SPBE=（2x）2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页SPCE=SPCBSPBE=PB?OCSPBE= （2x） 4（2x）2=x2x+=（x+1）2+3 当 x=1 时， SPCE的最大值为3（3） OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM =DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2， OAC=AMD=45 ， ADM=90 ，M 点的坐标为（2， 2） ；（II ）当 MD =MO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又 AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点的坐标为（1， 3） ；（III ）当 OD=OM 时， OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4=，即 AC 上的点与点O 之间的最小距离为2， OD=OM 的情况不存在综上所述，点M 的坐标为（2， 2）或（ 1， 3） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线212yxbxc（,b c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定点A的坐标为(0,1)，C的坐标为(4,3)， 直角顶点B在第四象限 . （1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（ 1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q. i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以MPQ、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；ii）取BC的中点N，连接,NP BQ.试探究PQNPBQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. （1）12212xxy（2）M 的坐标是（ 1-5，-5-2）、（ 1+5，5-2）、（ 4，-1）、（ 2，-3）、（ -2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页-7）（3）PQNPBQ的最大值是51013如图，四边形ABCD 是等腰梯形，下底AB 在 x 轴上，点D 在 y 轴上，直线AC 与 y 轴交于点 E（0， 1） ，点 C 的坐标为（ 2，3） （1）求 A、D 两点的坐标；（2）求经过A、D、C 三点的抛物线的函数关系式；（3）在 y 轴上是否在点P，使 ACP 是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解答：解 ： （1）设直线EC 的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得， y=x+1，当 y=0 时， x= 1，点 A 的坐标为（1，0） 四边形ABCD 是等腰梯形，C（2，3） ，点 D 的坐标为（ 0，3） （ 2）设过 A（1，0） 、D（ 0，3） 、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页抛物线的关系式为：y=x22x+3（ 3）存在作线段AC 的垂直平分线，交y 轴于点 P1，交 AC 于点 F OA=OE， OAE 为等腰直角三角形，AEO=45 ， FEP1=AEO=45 ， FEP1为等腰直角三角形 A（ 1，0） ，C（ 2，3） ，点 F 为 AC 中点， F（，） ，等腰直角三角形FEP1斜边上的高为， EP1=1， P1（0， 2） ；以点 A 为圆心，线段AC 长为半径画弧，交y轴于点 P2，P3可求得圆的半径长AP2=AC=3连接 AP2，则在 RtAOP2中，OP2=， P2（0，） 点 P3与点 P2关于 x 轴对称， P3（ 0，） ；以点 C 为圆心，线段CA 长为半径画弧，交y 轴于点 P4，P5，则圆的半径长CP4=CA=3，在 RtCDP4中， CP4=3，CD=2， DP4=， OP4=OD+DP4=3+， P4（0， 3+） ；同理，可求得：P5（0，3） 综上所述，满足条件的点P 有 5 个，分别为： P1（0，2） ，P2（0，） ，P3（0，） ，P4（0，3+） ，P5（0， 3） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页14.抛物线)1)(3(xxy与x轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 左侧），与y轴交于点C，点 D 为顶点。（1）求点 B 及点 D 的坐标；（2）连结 BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E。若线段 BD 上一点 P，使 DCP= BDE，求点 P 的坐标；若抛物线上一点M，作 MNCD，交直线 CD 于点 N，使 CMN=BDE，求点M 的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页