2022年中考解直角三角形知识点整理复习 .pdf

名师总结优秀知识点中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c） ；（2）若 c2a2b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在 ABC中， C=90锐角 A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA ，即casin斜边的对边AA锐角 A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA锐角 A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA ，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页名师总结优秀知识点锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30 45 60 sin 212223cos232221tan331 3cot31 334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A) ；（2）平方关系：1cossin22AA（3）倒数关系： tanAtan(90 A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在 0 90 之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中， C=90， A， B， C 所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：正弦sin ，余弦 cos，正切 tan (4) 面积公式：（hc 为 c边上的高）考点五、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角 ：视线在水平线上方的角；俯角 ：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1: m的形式，如1:5i等。把:ihlhl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页名师总结优秀知识点坡面与水平面的夹角记作(叫做 坡角 )，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、 135、225。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角类型已知条件解法步骤RtABC B c a A b C 两边两直角边（如a，b）由 tan A ab，求 A； B90 A，c22ba斜边，一直角边（如c，a）由 Sin A ac，求 A； B90 A，b22a-c一边一角一角边和一锐角锐角，邻边（如 A ，b）B90 A，abSin A ，cbcosAcosA 锐角，对边（如 A ，a）B90 A，batanA，casinA斜边，锐角（如c， A）B90 A，acSin A ， b ccos A 2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理侧倾器皮尺、水平距离 a tan 1x，tan 2xatantantantan直角三角形的边角关系tan xa tan xatantantantan2) 测量底部可以到达的物体的高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理皮尺镜子目高 a1水平距离 a2水平距离 a3 3ah21aa，h231aaa反射定律a x1 x2 x a 镜子1a2a3ah 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页名师总结优秀知识点皮尺标杆标杆高 a1 标杆影长 a2物体影长 a3 1ah23aa,h 231aaa同一时刻物高与影长成正比皮尺侧倾器侧倾器高 a1 水平距离 a2 倾斜角 tan 21aah, ha1a2tan 矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角 俯角 水平距离 a1 tan 11ah, tan12ahhh1h2a1（tan tan ）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论皮尺侧倾器仰角 俯角 高度 a tan xh1，tan xahah1atantanaa(1tantan) 矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角 俯角 高度tan ahx, tanxaxahtanatanhaatantan测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型所用工具应测距离数量关系根据原理仰角 ，仰角 tan xah11 tanxh1 h1tantantantan1ah 3a2a1ah 1a2ah 1h2h1ah 1hx h x a A h 1h2a1ax 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页名师总结优秀知识点皮尺侧倾器水平距离 a1 侧倾器高 a2 ha2h1a2tantantantan1a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角 仰角 高度 a tan hx, tanhaxhtantantantan hx, tanhax、htantantan仰角 仰角 高度 a tan hx, tanahxhtantabtan第三部分真题分类汇编详解2007-2012 （2007）19 （本小题满分6 分）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21. 3方向有一座小岛C，继续向东航行60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮船的东偏北63. 5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3925，tan21. 325， sin63.5910，tan63. 5 2）（2008）19 （本小题满分6 分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且2AB米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6，最大夹角为64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin 64.50.90，tan64.52.1）ABC北东DB C G E h a x h 1ha x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页名师总结优秀知识点（2009）19 （本小题满分6 分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶 C 的仰角21CFE，然后往塔的方向前进50 米到达 B 处，此时测得仰角37CGE，已知测倾器高1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度（参考数据：3sin375 ，3tan374 ，9sin2125 ，3tan218 ）（2010）19 （本小题满分6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为 37，大厦底部B的俯角为48求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度 （结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin 48tan48541010，）解：（2011）19(6 分) 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的 40o 减至 35o已知原楼梯AB长为 5m ，调整后的楼梯所占地面CD有多长？( 结果精确到0.1m参考数据： sin40 o0.64 ，cos40o 0.77 ，sin35 o0.57 ，tan35 o0.70) B 3748D C A 第 19 题图40o35oA D B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页名师总结优秀知识点（2012）20. （8 分）附历年真题标准答案：（2007）19 （本小题满分6 分）解：过 C 作 AB 的垂线，交直线AB 于点 D，得到 RtACD 与 RtBCD设 BD x 海里，C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页名师总结优秀知识点在 RtBCD 中， tanCBDCDBD， CDx tan63.5 在 RtACD 中， ADAB BD (60 x)海里， tanACDAD，CD( 60 x ) tan21.3 x tan63.5 (60 x) tan21.3 ，即22605xx解得， x15答：轮船继续向东航行15 海里，距离小岛C 最近6（2008）19 （本小题满分6 分）解：设CD为x ，在 RtBCD中，6 .18BDC，CDBCBDCtan，xBDCCDBC34.0tan2在 RtACD中，5.64ADC， CDACADCtan，xADCCDAC1 .2tanBCACAB，xx34. 01. 221.14x答：CD长约为 1.14 米（2009）19 （本小题满分6 分）解：由题意知CDAD，EFAD，90CEF，设CEx，在RtCEF中，tanCECFEEF，则8tantan213CExEFxCFE；在RtCEG中，tanCECGEGE，则4tantan373CExGExCGEEFFGEG，845033xx37.5x，37.5 1.539CDCEED（米） 答：古塔的高度约是39 米 6 分（2010）19 （本小题满分6 分）解：设CD = x在 RtACD中，tan37ADCD，则34ADx，34ADx. 在 RtBCD中，tan48 = BDCD，则1110BDx，1110BDx. 4分ADBD = AB，31180410 xx解得：x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是 43 米 6 分（2011）19 （本小题满分6 分）C G E D B A F 第 19 题图B 3748D C A 第 19 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页名师总结优秀知识点（2012）20. （8 分）谢谢精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页