2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题 .pdf

广州市 2001-2012 年中考数学试题分类解析专题12：押轴题一、选择题1. （2001 年广东广州3 分） 若两个半径不等的圆相外切，则它们的一条外公切线的长【】 A大于这两圆半径的和B等于这两圆半径的和C小于这两圆半径的和D与这两圆半径之和的大小关系不确定2. （2002 年广东广州3 分） 若12OO、的半径分别为1和 3，且1O和2O外切，则平面上半径为4 且与12OO、都相切的圆有【】（A）2 个（B） 3 个（C）4 个（D）5 个【答案】 D。【考点】 两圆的位置关系，分类思想的应用。【分析】 所求圆圆心为O，则 O1 O2=1+3=4，O1 O=4+1=5 或 41=3；O2 O=4+3=7 或 43=1。问题转化为求满足此条件的三角形或三点共线有几个。如图，如果是4，5，7 ，有 2 个；如果是 4，5，1，不能构成三角形但是可以三点共线有1 个；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 49 页如果是 4，3，7，不能构成三角形但是可以三点共线有1 个；如果是 4，3，1，不能构成三角形但是可以三点共线有1 个。所以一共有5 个。故选D。3. （2003 年广东广州3 分） 在O 中， C 是弧 AB的中点， D 是弧上的任一点（与点A、C不重合），则【】（A）AC CB AD DB （B）AC CB AD DB （C）AC CB AD DB （D）AC CB与 ADDB的大小关系不确定【答案】 C。【考点】 圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】 欲求 AC+CB 和 AD+DB 的大小关系，需将这些线段构建到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解：如图， 以 C为圆心， AC为半径作圆， 交 BD的延长线于E，连接 AE 、CE 。CB=CE ， CBE= CEB 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 49 页4. （2004 年广东广州3 分） 如图，O1、O2内切于点A，O1的半径为3，O2的半径为2，点 P是O1的任一点（与点A不重合），直线 PA交O2于点 C，PB与O2相切于点B，则PBPC = 【】A2 B3 C32 D62【答案】 B。5. （2005 年广东广州3 分） 如图，已知点A（ 1， 0）和点 B（1，2） ，在坐标轴上确定点P，使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有【】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 49 页A.2 个B.4 个C.6 个D.7 个6. （2006 年广东广州3 分） 如图，将一块正方形木板用虚线划分成36 个全等的小正方形，然后， 按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板用这副七巧板拼成图的图案，则图中阴影部分的面积是整个图案面积的【】 (A) 12 2 (B) 14 (C) 17 (D) 187. （2007 年广东广州3 分）如图，O 是ABC的内切圆， OD AB 于点 D，交O 于点 E，C=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 49 页如果O 的半径为 2，则结论错误的是【】AAD=DB BAEEB COD=1 DAB38. （2008 年广东广州3 分） 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是【】 A PRSQ B QSPR C SPQR D SPRQ【答案】 D。【考点】 不等式组的应用。【 分 析 】 由 三 个 图 分 别 可 以 得 到SPPRPRQS， 所 以S P R且PRQSQPRQ。因此，SPRQ。故选 D。9. （2009 年广东广州3 分）如图，在ABCD 中， AB=6 ， AD=9 ，BAD的平分线交BC于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 49 页点 E，交 DC的延长线于点F，BG AE ，垂足为G，BG=24，则 CEF的周长为【】（A）8 （B）9.5 （C）10 （ D）11.5 【答案】 A。10. （2010 年广东广州3 分） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密） ，已知有一种密码，将英文26 个小写字母a，b，c，, ， z 依次对应0，1，2，, ， 25 这 26 个自然数 （见表格），当明文中的字母对应的序号为 时，将 +10 除以 26 后所得的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 49 页余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文 c 字母a b c d e f g h i j k l m 序号0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母n o p q r s t u v w x y z 序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 按上述规定，将明文“ maths”译成密文后是【】Awkdrc Bwkhtc Ceqdjc Deqhjc 11. （2011 年广东广州3 分） 如图， AB切O 于点 B，OA 23，AB3，弦 BC OA ，则劣弧 BC的弧长为【】 A、33B、32 C、D、32【答案】 A。【考点】 弧长的计算，切线的性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质。【分析】 要求劣弧BC的长首先要连接OB ，OC ，由 AB 切O 于点 B，根据切线的性质得到OB AB ，在 RtOBA中， OA 23，AB 3，利用三角函数求出 BOA 60，同时得到OB12OA 3，又根据平行线内错角相等的性质得到BOA CBO 60，于是有 BOC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 49 页60，最后根据弧长公式计算出劣弧BC的长6033=1803。故选 A。12. （2012 年广东广州3 分） 如图，正比例函数y1=k1x 和反比例函数22ky =x的图象交于A（ 1，2） 、B（1， 2）两点，若y1y2，则 x 的取值范围是【】Ax 1 或 x1 Bx 1 或 0 x1 C 1x0 或 0 x1 D 1x0或 x1 二、填空题1. （2001 年广东广州3 分）如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 2. （2002 年广东广州3 分） 在平坦的草地上有A、B、C三个小球，若已知A球和 B球相距3 米， A球与 C球相距 1 米，则 B球与 C球可能相距 _米。 （球的半径忽略不计，只要求填出一个符合条件的数）【答案】 3（答案不唯一） 。【考点】 开放型，三角形三边关系，分类思想的应用。【分析】 此题注意两种情况：当 A，B，C三个小球共线时，根据线段的和、差计算：BC=2或 4；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 49 页当 A，B，C三个小球不共线时，根据三角形的三边关系进行分析：2BC 4。B 球和 C球可能相距2 米BC 4 米，如 3 等（答案不惟一只需满足2 米距离4 米） 。3. （2003 年广东广州3 分） 如图 EF90， BCAEAF，给出下列结论：12；BE CF； ACN ABM ；CD DN 。其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上 ）4. （2004 年广东广州3 分）如图， CB 、CD分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 的中线， 且 AC=AB ，给出下列结论： AE=2AC ；CE=2CD ； ACD= BCE ；CB平分 DCE 请写出正确结论的序号 （注：将你认为正确结论的序号都填上）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 49 页【答案】 。【考点】 三角形中线性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。5. （2005 年广东广州3 分） 如图，在直径为6 的半圆AB上有两动点M 、 N，弦 AM 、BN相交于点 P，则 AP AM+BP BN 的值为 。【答案】 36。【考点】 双动点问题，相交弦定理，勾股定理，圆周角定理。【分析】 连接 BM ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 49 页AB是直径， AMB=90 。222BPMPBM。AP?PM=BP?PNAP AM+BP BN=AP （AP+PM ）+BP（BP+PN ）=AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM2+2AP?PM=BM2+（AP+PM ）2=BM2+AM2=AB2=36。6. （2006 年广东广州3 分） 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和 b的两个圆，则剩下的纸板面积为 7. （2007 年广东广州3 分） 如图，点 O是 AC的中点，将周长为4 的菱形ABCD 沿对角线 AC方向平移 AD长度得到菱形OB CD, 则四边形OECF 的周长是 【答案】 2。【考点】 菱形的判定和性质，平移的性质，三角形中位线定理。【分析】 菱形 ABCD 的周长为4 ， AD=1 。菱形 OB CD由菱形ABCD 沿对角线AC方向平移得到， O DAD 。点 O是 AC的中点， OF=12AD=12。同理， OE=CK=CF=12。四边形OECF 的周长是1422（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 49 页8. （ 2008 年广东广州3 分） 对于平面内任意一个凸四边形ABCD ，现从以下四个关系式AB=CD ；AD=BC ；AB CD ； C =A中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是9. （2009 年广东广州3 分）如图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由 块长方体的积木搭成【答案】 4。【考点】 由三视图判断几何体。【分析】 主视图、 左视图、 俯视图是分别从物体正面、左面和上面看， 所得到的图形。 因此，由俯视图知，最底层有3 块长方体， 由正视图和左视图知，此图有两层，最上层有1 块长方体，因此此几何体共有4 块长方体的积木块搭成。10. （2010 年广东广州3 分） 如图， BD是ABC的角平分线， ABD 36， C72，则图中的等腰三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 49 页角形有 个11. （2011 年广东广州3 分） 定义新运算“”，1ab=a4b3， 则 12 （ 1） 12. （2012 年广东广州3 分） 如图，在标有刻度的直线l 上，从点A开始，以 AB=1为直径画半圆，记为第1 个半圆；以 BC=2为直径画半圆，记为第2 个半圆；以 CD=4为直径画半圆，记为第3 个半圆；以 DE=8为直径画半圆，记为第4 个半圆，, 按此规律，继续画半圆， 则第 4 个半圆的面积是第3 个半圆面积的 倍，第 n个半圆的面积为 （结果保留）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 49 页三、解答题1. （2001 年广东广州14 分）（1） 已知： 如图，过 B、 C两点的圆与ABC的边 AB 、 AC分别相交于点D和点 E， 且 DE 21BC 求证： SADES四边形 DBCE31（2）在 ABC的外部取一点P （直线 BC上的点除外） ，分别连结PB 、PC ，BPC与BAC的大小关系怎样 ?（不要求证明）【答案】 解： （1）证明：ADE 、AED 是圆内接四边形DBCE的外角，ADE C，AED B。ADE ACB 22ADEACBSDE11( )SBC24。SADES四边形 DBEC31。（2）作 ABC的外接圆，取点A 关于 BC的对称点F，作 FBC的外接圆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 49 页当点 P取在弓形 BAC内（ ABC外）或 弓形 BFC内时， BPC BAC ；当点 P取在弧 BAC或弧 BFC （点 A、B、C除外）上时， BPC BAC ；当点 P取在弓形 BAC与弓形 BFC所围成的图形外（除直线BC上的点）时， BPC BAC 。2. （2001 年广东广州14 分） 在车站开始检票时，有a（ a0）名旅客在候车室排队等候检票进站 检票开始后， 仍有旅客继续前来排队检票进站设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的若开放一个检票口，则需30 分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕； 若开放两个检票口，则只需 l0 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口? 【答案】 解：设检票开始后每分钟新增加的旅客为x 人，检票的速度为每个检票口每分钟检y 人， 5 分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口。依题意，得a30 x30y a10 x2 10y a5xn 5y 3 一，得 2a 30y，得ay15。把代入，得ax30。把、代入，得aaan63，a 0，n216 3.5 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 49 页n取最小的整数， n 4。答：至少需同时开放4 个检票口。3. （2002 年广东广州15 分） 如图，在 ABC 中， B=90 ， AB=4 ， BC=3 ，O是 AB的中点，OP AB交 AC于点 P 。（1）证明线段AO 、 OB 、OP中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；（2）过线段OB （包括端点）上任一点M ，作 MN AB交 AC于点 N。如果要使线段AM 、MB 、MN 中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM的长度的取值范围。（2）当 M在 OB上时，设AM=x （2x4）则MB=4 x。AMN ABC. MNBCAMAB。BC AM3MNxAB4。又 MNAM，MBAM，3x4xx4，解得16x5。AM的取值范围为162AM5。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 49 页4. （2002 年广东广州15 分） 某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有 a（ a0）个成品，且每个车间每天都生产b（ b0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、 星期二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后， 星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同。（1）这若干名检验员1 天检验多少个成品？（用含a、b 的代数式表示）（2）试求出用b 表示 a 的关系式；（3）若 1 名质检员1 天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？5. （2003 年广东广州16 分）已知ABC中， AC 5，BC 12，ACB 90， P 是 AB边上的动点（与点 A 、B不重合） Q是 BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ AC ，且 Q为 BC的中点时，求线段CP的长；（2）当 PQ与 AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 49 页取值范围；若不可能，请说明理由CQ 202x3。当 CQ203且点 P运动到切点M位置时， CPQ为直角三角形。当203 CQ 12 时，半圆D与直线 AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，CPQ 为直角三角形。当 0 CQ 203时，半圆 D与直线 AB相离， 即点 P在 AB边上运动时 ,均在半圆 D外， CPQ 90。此时 CPQ不可能为直角三角形。综上所述，当203CQ 12 时， CPQ可能为直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 49 页6. （2003 年广东广州16 分） 现计划把甲种货物1240 吨和乙种货物880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40 节，使用A型车厢每节费用为6000 元，使用B型车厢每节费用为 8000 元（1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A型车厢 x 节，试写出y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35 吨和乙种货物15 吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25 吨和乙种货物35 吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？【答案】 . 解： （1）设用 A型车厢 x 节，则用B型车厢 (40 x) 节，总运费为y 万元，根据题意，得 y 0.6 x 0.8(40 x) 0.2 x 32。（2）根据题意，得35x25(40 x)124015x35(40 x)880，解得x24x26。24 x26。x 取整数， A型车厢可用24 节或 25 节或 26 节。相应有三种装车方案：24 节 A型车厢和16 节 B型车厢；25 节 A型车厢和15 节 B型车厢；26 节 A型车厢和14 节 B型车厢。（3）由函数y 0.2 x 32 知， x 越大， y 越少，故当x26 时，运费最省。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 49 页这时 y 0.2 26 3226.8( 万元 ) 。答：安排 A型车厢 26 节、 B型车厢 14 节运费最省最小运费为26.8 万元。7. （2004 年广东广州15 分） 如图， PA为圆的切线， A为切点， PBC为割线， APC的平分线交 AB于点 D，交 AC于点 E求证： （1）AD=AE ； （2）AB?AE=AC?DB【答案】 证明： （1） ADE= APD+ PAD ，AED= CPE+ C，又APD= CPE ，PAD= C， ADE= AED 。AD=AE 。（ 2） APB= CPA ，PAB= C， APB CPA 。ABPBACPA。APE= BPD ，AED= ADE= PDB ， PBD PEA ， PBDBPAAE。ABDBACAE。 AB?AE=AC?DB 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 49 页8. （2004 年广东广州15 分）已知抛物线2ym1 x2mxm（m为整数） 经过点 A （ 1，1） ，顶点为P，且与 x 轴有两个不同的交点（1）判断点P是否在线段OA上（ O为坐标原点） ，并说明理由；（2）设该抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且 x1x2，是否存在实数m ，使x1m x2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由当 m 1 时， m+1 0，mm10，点 P在第一象限，m11m1m10，mm11。点 P不在线段OA上。综上所述，点P不在线段 OA上。（2）存在实数m满足 x1m x2。x1，x2是方程2m1 x2mxm0的两个不相等的根，12122mmxxxxm1m1，。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 49 页2222121212m mm1m2mxmxmxxm xxmmm1m1m1。x1m x2，12xmxm0，即2m mm1m10。又m 0，且 m 1，且2213mm1= m024。2m mm1 0。根据实数运算的符号法则，可得m10，即m1。m的取值范围是：1m 0。9. （2005 年广东广州14 分） 如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD ，其中 AB/DC，B=90 ， AB=100m ，BC=80m ，CD=40m ，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼 PMBN ，其中点P在线段 AD上，且 PM的长至少为36m 。（1）求边 AD的长；（2）设 PA=x（m ） ，求 S关于 x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）若 S=3300m2，求 PA的长。 （精确到0.1m）【答案】 解： （1）过点 D作 DE AB于 D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 49 页则 DE/BC 且 DE=BC ，CD=BE ，DE/PM。在 RtADE中， DE=80m ，AE=AB BE=100 40=60m 。22ADAEDE36006400100m（2）DE/PM ， APM ADE 。APPMAMADDEAE，即xPMAM1008060。43PMxAMx55，。 MB=AB AM=3100 x5。24312SPM MBx (100)xx80 x5515。由4PMx365，得 x45 ，自变量x 的取值范围为45x100 。（3）当 S=3300m2时，21280 xx330025，即23x500 x206250。2500( 500)432062550050 x66。1550 x91.7()6m，2450 x75()6m。即当 S=3300m2时， PA的长为 75m ，或约为91.7m。进而可根据AB的长，表示出矩形的长BM的值，由此可根据矩形的面积公式得出关于S、 x 的函数关系式 自变量的取值范围可根据PM的长至少为36m来解， 即让 PM的表达式大于等于36 即可。（3）将 S的值代入（ 2）所求得的函数解析式中，求出x 的值，然后看x 的值是否符合自变量的取值范围。10. （2005 年广东广州14 分） 如图，已知正方形ABCD 的面积为S。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 49 页（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点 A关于点 B 对称，点B1和点 B 关于点 C对称，点 C1和点 C关于点 D对称，点 D1和点 D关于点 A对称； （只要求画出图形，不要求写作法）（2）用 S表示（ 1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积 S1；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（ 1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则 S1与 S2是否相等？为什么？【答案】 解： （1）作图如图所示：（ 2 ） 设 正 方 形ABCD 的 边 长 为a， 则AA1=2a ，2AA1D1111SAAADa2。同理，2BB1A1CC1B1DD1C1SSSa。21AA1D1BB1A1CC1B1DD1C1ABCDSSSSSS5a5S正方形。（3）S1=S2。理由如下：画出图形，连接BD 、BD1 ，BDD1中， AB是中线，SABD1=SABD。又 AA1D1中， BD1是中线，SABD1=SA1BD1。SAA1D1=2SABD。同理，得SCC1B1=2SCBD。SAA1D1+SCC1B1=2（SABD+SCBD）=2S。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 49 页同理，得SBA1B1+SDD1C1=2S。S2=SAA1D1+SBB1A1+SCC1B1+SDD1C1+S四边形 ABCD=5S。由（ 2）得， S1=5S，S1=S2。11. （2006 年广东广州14 分） 在ABC 中， AB=BC ，将 ABC 绕点 A 沿顺时针方向旋转得A1B1C1，使点 Cl落在直线BC上（点 Cl与点 C不重合），（1）如图，当 C60时，写出边ABl与边 CB的位置关系，并加以证明；（2）当 C=60 时，写出边ABl与边 CB的位置关系（不要求证明）；（3）当 C60时，请你在如图中用尺规作图法作出AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（ 1） 、 （2）中得出的结论是否还成立并说明理由【答案】 解： （1） AB1CB 。证明如下：AB=BC ， C= BAC 。 A1B1C1由ABC绕点 A沿顺时针方向旋转得到，BAC = B1AC1。当 C60?时，点 C1在线段 BC上， AC1=AC 。 AC1C= C。AC1C= C= BAC= B1AC1。AB1CB 。（2） AB1CB 。（3）作图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 49 页当C600时， （1） 、 （2）中得出的结论是还成立。当C，即222m412mn=9m4n0,.由求根公式可知两根为：2m9m4nx=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 49 页AB=2BAxx= 9m4n。分两种情况讨论：第一种：点A在点 P左边，点B在点 P的右边，PB=2m9m4n2，AP=2m9m4n2。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分类思想的应用。【分析】 （1）只要证得对应的一元二次方程根的判别式大于0 即可。（2）分点 A在点 P左边，点 B在点 P的右边和点A 、B都在点 P左边，点A在点 B左边两种情况讨论即可。13. （2007 年广东广州14 分） 一次函数ykxk过点（ 1，4） ，且分别与x 轴、 y 轴交于A、 B点，点 P （a，0）在 x 轴正半轴上运动，点Q （ 0，b）在 y 轴正半轴上运动，且PQ A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 49 页（ 1）求 k 的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；（ 2）求 a、b 满足的等量关系式；（ 3）若 APQ是等腰三角形，求 APQ 的面积。【答案】 解： （1）一次函数ykx+k 的图象经过点（1， 4） ，4k1+k，即k2。y2x+2。当 x0 时， y2；当 y0 时， x 1， 即 A （ 1，0） ， B（0，2） 。如图，直线AB是一次函数y2x+2 的图象。（2）PQ AB ， QPO =90 BAO 。又 ABO =90 BAO ， ABO = QPO 。RtABO RtQPO ，AOOBQOOP，即12ba。 a2b。a、 b 满足的等量关系式为a2b。（3）由（ 2）知 a2b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 49 页AP AO+OP 1+a1+2b。2222AQOAOQ1b，22222222PQOPOQab(2b)b5b。【分析】 （1）由已知可得到其一次函数的解析式，从而求得A、B的坐标，据此即可画出一次函数的图象。（2）根据已知可证明RtABO RtQPO ，相似三角形的对应边成比例，从而可求得 a、b 满足的等量关系式。（3）已知 APQ 是等腰三角形而没有明确指出是哪两边相等，从而要分三种情况进行分析，分别是AP AQ ，AQ=PQ 或 AP=PQ ，再根据面积公式即可求得APQ 的面积。14. （2007 年广东广州12 分） 已知 RtABC中， AB=BC ，在 RtADE中， AD=DE ，连结 EC ，取 EC中点 M ，连结 DM 和 BM ，（ 1） 若点 D在边 AC上，点 E在边 AB上且与点B不重合， 如图， 求证：BM=DM 且 BM DM ；（ 2）如图中的 ADE 绕点 A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 49 页又AB= BC ， ABD CBF （SAS ） 。BD=BF ，ABD= CBF 。ABD+ DBC = CBF+ DBC ， DBF= ABC =90 。在 RtDBF中，由 BD=BF ，DM=MF, 得 BM=DM 且 BM DM 。【考点】 直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理， 旋转的性质， 平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 49 页15. （2008 年广东广州14 分）如图，扇形 OAB的半径 OA=3 ， 圆心角 AOB=90 ， 点 C是?AB上异于 A、B的动点，过点C作 CD OA于点 D，作 CE OB于点 E，连结 DE ，点 G 、H在线段DE上，且 DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形（2）当点 C在?AB上运动时，在CD 、CG 、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：22CD3CH是定值【答案】 解： （ 1）证明：连接OC交 DE于 M ，由矩形得OM CG ，EMDM ，DG=HE，EM EH DM DG 。HM GM 。四边形OGCH 是平行四边形。（2）DG不变。在矩形ODCE 中， DE OC 3，DG=GH=HE 1（不变）。（3）证明：过点H作 HF CD于点 F，则 DHF DEC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 49 页DFDH2DCDE3。 DF=23CD 。CF=13CD 。22222HFHCCFDHDF， DH=2，222212CHCD2CD33。2229CHCD364CD，即229CH +3CD36。22CD3CH =12（定值）。16. （2008 年广东广州14 分） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ， AB=AD=DC=2cm，BC=4cm ，在等腰 PQR中， QPR=120 ，底边QR=6cm ，点 B、C、Q 、R在同一直线l 上，且 C 、 Q两点重合， 如果等腰 PQR以 1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD与等腰 PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当 t=4 时，求 S的值（2）当4t，求 S与 t 的函数关系式，并求出S的最大值【答案】 解： （1）当 t=4 时， CQ=4cm ，过点 A作 AE BC于 E，过点 D作 DF BC于 F。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 49 页AE=DF=3cm，AEB= DFC=90 ，AB=CD 。ABE DFC （ SAS ） 。BE=CF 。EF=AD=2cm， BC=4cm ，BE=C3F=1cm 。点 D与点 P重合。BDC11SBC DF432 322（ cm2） 。a=32 0，开口向下，S 有最大值，当t=5 时， S最大值为5 32。当 6x10 时，P在线段 DA的延长线上 （如图） ，1=60， 2=30， 3=90。RC=t 6，BR=4RC=4 （ t 6）=10 t 。TB=12BR=10t2，TR=32BR=310t2。221110t335 325 33STB TR10tttt1022228228。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 49 页a3=8 0 时，开口向上，S随 t 的增加而减小，t=6 时， S最大值为2 3。综上所述， t=5 时， S最大值为5 32。17. （2009 年广东广州14 分） 如图，边长为1 的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形， EF与 GH交于点 P。（1）若 AG=AE ，证明： AF=AH ；（2）若 FAH=45 ，证明：AG+AE=FH；（3）若 RtGBF的周长为1，求矩形EPHD 的面积。【答案】 解： (1) 证明： ABCD是正方形， AB=AD ，B=D=900。EF AB ，GH AD ，ABEA ， AGHD 都是矩形。 AE=BF ， AG=DH 。AG=AE ，BF=DH 。 ABF ADH （ SAS ） ，AF=AH 。（2）证明：如图，将ADH绕点 A顺时针旋转90 度得 ADH1。由旋转和正方形的性质知，点D与点 B重合， H1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 49 页D、F 共线，H1AD= HAD ， AH1=AH ，H1B=HD 。BAD=900，FAH=450，BAF HAD=450。H1AF= BAF H1AD= BAF HAD =450=FAH 。又AF=AF ， H1AF FAH （SAS ） 。BFBH1=FH1=FH。由（ 1）知， AE=BF ，AG=DH ，FH1=BFBH1= BFDH=AE AG 。AG+AE=FH。（3） 设 PE=x,PH=y,则 BG=1-x,BF=1-y 。Rt GBF的周长为1，FG=x+y-1。由勾股定理，得2221x1yxy1（） （），化简得 xy=12。矩形 EPHD 的面积为12。18. （2009 年广东广州14 分） 如图，二次函数2yxpxq(p0)的图象与x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点C（0， 1） ，ABC的面积为45。（1）求该二次函数的关系式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 49 页（2）过 y 轴上的一点M （0，m ）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。（ 2 ） 在23yxx12中 令y=0 ， 解 方 程 得23xx102， 得121x,x22。A(12，0) ，B(2，0) 。在 RtAOC中可求得AC=52；在 Rt BOC 中可求得BC=5。AC2+BC2=2225255+5242AB2， ABC是直角三角形，AB为斜边。 ABC外接圆的直径为AB=52。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 49 页55m44。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程与系数的关系，勾股定理和逆定理，直线和圆的位置关系，直角梯形的判定，分类思想的应用。【分析】 （1）由点 C的坐标可求得q=1。设 A （a，0） ，B(b，0) ，则由 ABC的面积为54得 AB=b a=52。 结合一元二次方程与系数的关系，得a+b=pab1， 三式联立可求得p ，从而得到该二次函数的关系式。（2）求出 ABC的三边长， 根据勾股定理逆定理判断出 ABC是直角三角形， 并得直径 AB=52。根据直线和圆的位置关系，在圆心到过y 轴上一点M （0，m ）与 y 轴垂直的直线的距离应小于半径，即55m44。（3）分以 AC为底边和以BC为底边两种情况讨论即可。1