2022年中考数学大题二次函数含答案 .pdf

学习好资料欢迎下载中考数学大题之 -二次函数1 （2012?深圳）如图，已知ABC 的三个顶点坐标分别为A（ 4，0） 、B（1，0） 、C（ 2，6） （1）求经过A、B、C 三点的抛物线解析式；（2）设直线BC 交 y 轴于点 E，连接 AE，求证： AE=CE ；（3）设抛物线与y 轴交于点D，连接 AD 交 BC 于点 F，试问以A、B、F 为顶点的三角形与ABC 相似吗？2 （2012?绍兴）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线y=x24x 2 经过 A，B 两点（1）求 A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点 P 由点 A 出发以每秒1 个单位的速度沿AB 边向点 B 移动， 1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒7 个单位的速度沿 AO ，OC，CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒 当 PQAC 时，求 t 的值； 当 PQAC 时，对于抛物线对称轴上一点H， HOQ POQ，求点 H 的纵坐标的取值范围3 （2012?山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线AC 的解析式及B、D 两点的坐标；（2）点 P是 x 轴上一个动点，过P作直线 l AC 交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC 上找一点M，使 BDM 的周长最小，求出M 点的坐标4 （2012?泉州）如图， O 为坐标原点，直线l 绕着点 A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习好资料欢迎下载（1）求 h 的值；（2）通过操作、观察，算出POQ 的面积的最小值（不必说理）；（3）过点 P、C 作直线，与x 轴交于点B，试问：在直线l 的旋转过程中，四边形AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状5 （2012?黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（ 1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合） ，过 M 作 MN y 轴交抛物线于N，若点 M 的横坐标为m，请用m 的代数式表示MN 的长（3）在（ 2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由6 （2012?攀枝花） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形 ABCD 是菱形， 顶点 A、 C、D 均在坐标轴上， 且 AB=5 ，sinB=（1）求过 A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线 AB 的解析式为y1=mx+n ， （1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c ，求当 y1y2时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（ 1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E 两点之间的一个动点，当P点在何处时， PAE 的面积最大？并求出面积的最大值7 （2012?南通）如图，经过点A（0， 4）的抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴相交于B（ 2，0） ，C 两点， O 为坐标原点（1）求抛物线的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习好资料欢迎下载（2）将抛物线y=x2+bx+c 向上平移个单位长度，再向左平移m（ m 0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点 P在ABC 内，求 m 的取值范围；（3）设点 M 在 y 轴上， OMB+ OAB= ACB ，求 AM 的长8 （2012?南昌）如图，已知二次函数L1：y=x24x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 左边） ，与 y 轴交于点C（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k （k 0） 写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； 若直线 y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点， 问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度； 如果会，请说明理由9 （2012?绵阳）如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在 y 轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c 的图象 F交 x 轴于 B、C 两点，交y 轴于 M 点，其中B（ 3， 0） ，M （0， 1） 已知 AM=BC （1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F 上存在点D，使 A、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（ 2）的条件下，设直线l 过 D 且分别交直线BA 、BC 于不同的P、Q 两点， AC、BD 相交于 N 若直线 lBD ，如图 1，试求的值； 若 l 为满足条件的任意直线如图2 中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习好资料欢迎下载10 （2012?娄底）已知二次函数y=x2（ m2 2）x2m 的图象与x 轴交于点A（x1，0）和点 B（x2， 0） ，x1x2，与 y 轴交于点C，且满足（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3 上是否存在一点P，使四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由答案与评分标准1解： （ 1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c ，由函数经过点A（ 4，0） 、B（1，0） 、C（ 2，6） ，可得，解得：，故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为：y=x2 3x+4；（2）设直线BC 的函数解析式为y=kx+b ，由题意得：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习好资料欢迎下载解得：，即直线 BC 的解析式为y=2x+2故可得点E 的坐标为（ 0，2） ，从而可得： AE=2，CE=2，故可得出AE=CE ；（3）相似理由如下：设直线 AD 的解析式为y=kx+b ，则，解得：，即直线 AD 的解析式为y=x+4 联立直线AD 与直线 BC 的函数解析式可得：，解得：，即点 F 的坐标为（，） ，则 BF=，AF=，又 AB=5 ，BC=3，=，=，=，又 ABF= CBA ， ABF CBA 故以 A、B、F 为顶点的三角形与ABC 相似2解： （ 1）由抛物线y=x2 4x2 知：当 x=0 时， y=2，A（0， 2） 由于四边形OABC 是矩形，所以ABx 轴，即 A、B 的纵坐标相同；当 y= 2 时， 2=x24x 2，解得 x1=0，x2=4，B（4， 2） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习好资料欢迎下载AB=4 （2） 由题意知： A 点移动路程为AP=t ，Q 点移动路程为7（t1）=7t 7当 Q 点在 OA 上时，即0 7tt2，1 t时，如图 1，若 PQAC ，则有 Rt QAPRtABC =，即，t=，此时 t 值不合题意当 Q 点在 OC 上时，即2 7t76， t时，如图 2，过 Q 点作 QDAB AD=OQ=7 （t1） 2=7t9DP=t（ 7t9）=96t若 PQAC，则有 RtQDPRtABC ，即=， t=，t=符合题意当 Q 点在 BC 上时，即6 7t7 8， t时，如图 3，若 PQAC ，过 Q 点作 QGAC，则 QGPG，即 GQP=90 QPB90 ，这与 QPB 的内角和为180 矛盾，此时 PQ 不与 AC 垂直综上所述，当t=时，有 PQAC 当 PQAC 时，如图4，BPQ BAC ，=，=，解得 t=2，即当 t=2 时， PQAC 此时 AP=2，BQ=CQ=1 ，P（2， 2） ，Q（4， 1） 抛物线对称轴的解析式为x=2，当 H1为对称轴与OP 的交点时，有 H1OQ=POQ，当 yH 2 时， HOQ POQ作 P 点关于 OQ 的对称点P ，连接 PP交 OQ 于点 M，过 P 作 PN 垂直于对称轴，垂足为N，连接 OP，在 RtOCQ 中， OC=4， CQ=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习好资料欢迎下载OQ=，SOPQ=S四边形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQ PM，PM=，PP=2PM=，NPP =COQRtCOQ RtNPP，P N=，PN=，P （，） ，直线 OP的解析式为y=x，OP 与 NP 的交点 H2（2，） 当 yH时， HOP POQ综上所述，当yH 2 或 yH时， HOQ POQ3解： （ 1）当 y=0 时， x2+2x+3=0 ，解得 x1=1，x2=3点 A 在点 B 的左侧，A、B 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 当 x=0 时， y=3C 点的坐标为（ 0， 3）设直线 AC 的解析式为y=k1x+b1（k1 0） ，则，解得，直线 AC 的解析式为y=3x+3 y=x2+2x+3= （ x1）2+4，顶点 D 的坐标为（ 1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习好资料欢迎下载 当点 Q 在 Q1 位置时， Q1 的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1 的坐标为（ 2，3） ； 当点 Q 在点 Q2 位置时，点Q2 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点Q2 坐标为（ 1+， 3） ； 当点 Q 在 Q3 位置时，点Q3 的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3 的坐标为（ 1， 3） ；综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q1（2，3） ，Q2（ 1+， 3） ，Q3（1， 3） （3）点 B 作 BB AC 于点 F，使 BF=BF，则 B 为点 B 关于直线AC 的对称点 连接 B D 交直线 AC 与点 M，则点 M 为所求，过点 B作 B E x 轴于点 E 1 和 2 都是 3 的余角， 1=2RtAOC RtAFB，由 A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）得 OA=1 ，OB=3 ，OC=3，AC=，AB=4 ， BF=， BB =2BF=，由 1=2 可得 RtAOC RtBEB，即BE=，BE=， OE=BE OB=3=B点的坐标为（，） 设直线 B D 的解析式为y=k2x+b2（k2 0） ，解得，直线 BD 的解析式为： y=x+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习好资料欢迎下载联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：，解得， M 点的坐标为（，） 4解： （ 1）抛物线y=x2+h 经过点 C（0，1） ，+h=1，解得 h=1（2）依题意，设抛物线y=x2+1 上的点， P（a，a2+1） 、Q（b，b2+1） （a 0b）过点 A 的直线 l： y=kx+2 经过点 P、Q，a2+1=ak+2b2+1=bk+2 b a得：（a2bb2a）+ba=2（ba） ，化简得： b=；SPOQ=OA?|xQxP|=?OA?|a|=（）+（ a） 2?=4 由上式知：当=a，即 |a|=|b|（P、Q 关于 y 轴对称）时，POQ 的面积最小；即 PQx 轴时， POQ 的面积最小，且POQ 的面积最小为4（3）连接 BQ，若 l 与 x 轴不平行（如图） ，即 PQ 与 x 轴不平行，依题意，设抛物线y=x2+1 上的点， P（a，a2+1） 、Q（b，b2+1） （a0b）直线 BC：y=k1x+1 过点 P，a2+1=ak1+1，得 k1=a，即 y=ax+1令 y=0 得： xB=，同理，由（ 2）得： b=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习好资料欢迎下载点 B 与 Q 的横坐标相同，BQy 轴，即 BQOA ，又 AQ 与 OB 不平行，四边形AOBQ 是梯形，据抛物线的对称性可得（a0b）结论相同故在直线l 旋转的过程中：当l 与 x 轴不平行时，四边形AOBQ 是梯形；当l 与 x 轴平行时，四边形AOBQ 是正方形5解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则：a（ 0+1） （03）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（ x+1） （x3）=x2+2x+3（2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b ，则有：，解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3已知点 M 的横坐标为m，则 M（m， m+3） 、 N（ m， m2+2m+3） ；故 N= m2+2m+3（ m+3）=m2+3m（0 m 3） （3）如图；SBNC=SMNC+SMNB=MN （OD+DB ）=MN?OB，SBNC=（ m2+3m）?3=（m）2+（0m3） ；当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为7解： （1）四边形ABCD 是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD 中， OC=CD ?sinD=4，OD=3 ；OA=AD OD=2 ，即：A（ 2，0） 、B（ 5，4） 、C（0，4） 、D（3，0） ；设抛物线的解析式为：y=a（x+2） （x3） ，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习好资料欢迎下载2 （ 3）a=4，a=；抛物线：y=x2+x+4（2）由 A（ 2，0） 、B（ 5，4）得直线AB：y1=x；由（ 1）得： y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时， 2 x5（3） SAPE=AE?h，当 P 到直线 AB 的距离最远时，SABC最大；若设直线L AB，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线 L：y=x+b，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且 =0；求得： b=，即直线L：y=x+；可得点 P（，） 由（ 2）得： E（5，） ，则直线 PE：y=x+9；则点 F（，0） ，AF=OA+OF=； PAE 的最大值： SPAE=SPAF+SAEF= （+）=综上所述，当P（，）时， PAE 的面积最大，为8解： （1）将 A（0， 4） 、B（ 2，0）代入抛物线y=x2+bx+c 中，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习好资料欢迎下载，解得：抛物线的解析式：y=x2x4（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）2（ x+m）4+，即： y=x2+（ m 1）x+m2m；它的顶点坐标P： （1m， 1） ；由（ 1）的抛物线解析式可得：C（4，0） ；那么直线AB： y=2x4；直线 AC：y=x 4；当点 P 在直线 AB 上时， 2（1m） 4= 1，解得： m=；当点 P 在直线 AC 上时，（1m） 4=1，解得： m=2；当点 P 在ABC 内时， 2m；又 m0，符合条件的m 的取值范围： 0m（3）由 A（0， 4） 、B（4，0）得： OA=OC=4 ，且 OAC 是等腰直角三角形；如图，在OA 上取 ON=OB=2 ，则 ONB= ACB=45 ； ONB= NBA+OAB= ACB= OMB+ OAB ，即 NBA= OMB ；如图，在 ABN 、AM1B 中，BAN= M1AB， ABN= AM1B， ABN AM1B ，得： AB2=AN ?AM1 ；易得： AB2=（ 2）2+42=20，AN=OA ON=4 2=2；AM1=20 2=10，OM1=AM1OA=10 4=6；而 BM1A= BM2A= ABN ，OM1=OM2=6， AM2=OM2OA=6 4=2综上， AM 的长为 10 或 29解： （1）抛物线y=x2 4x+3 中， a=1、b=4、c=3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习好资料欢迎下载=2，=1；二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（ 2， 1） （2） 二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2 或定点的横坐标为2，都经过 A（1，0） ，B（ 3，0）两点； 线段 EF 的长度不会发生变化直线 y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点，kx24kx+3k=8k ，k 0， x24x+3=8，解得： x1=1，x2=5， EF=x2x1=6，线段 EF 的长度不会发生变化10解： （1）二次函数y=ax2+x+c 的图象经过点B（ 3， 0） ，M（0， 1） ，解得 a= ，c=1二次函数的解析式为：y=x2+x1（2）由二次函数的解析式为：y=x2+x 1，令 y=0，得x2+x1=0，解得 x1=3，x2=2， C（2，0） ， BC=5；令 x=0，得 y=1， M（0， 1） ，OM=1 又 AM=BC ， OA=AM OM=4 ， A（0，4） 设 AD x 轴，交抛物线于点D，如图 1 所示，则 yD=x2+x1=OA=4 ，解得 x1=5，x2=6（位于第二象限，舍去）D 点坐标为（ 5，4） AD=BC=5 ，又 AD BC，四边形ABCD 为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习好资料欢迎下载即在抛物线F 上存在点D，使 A、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形设直线 BD 解析式为： y=kx+b ， B（ 3，0） ，D（5，4） ，解得： k=，b=，直线 BD 解析式为： y=x+（3）在 RtAOB 中， AB=5，又 AD=BC=5 ， ?ABCD 是菱形 若直线 l BD，如图 1 所示四边形ABCD 是菱形，AC BD， AC直线 l，BA=BC=5 ， BP=BQ=10 ，=； 若 l 为满足条件的任意直线，如图2 所示，此时 中的结论依然成立，理由如下：AD BC，CDAB ， PAD DCQ，AP?CQ=AD ?CD=5 5=25=11解： （1）二次函数y=x2（ m22）x2m 的图象与x 轴交于点A（x1，0）和点 B（x2，0） ，x1x2，令 y=0，即 x2（ m22）x2m=0 ，则有：x1+x2=m22，x1x2=2m=，化简得到： m2+m 2=0，解得 m1=2，m2=1当 m=2 时，方程 为： x22x+4=0 ，其判别式 =b24ac=120，此时抛物线与x 轴没有交点，不符合题意，舍去；当 m=1 时，方程 为： x2+x 2=0，其判别式 =b24ac=90，此时抛物线与x 轴有两个不同的交点，符合题意m=1，抛物线的解析式为y=x2+x2（2）假设在直线y=x+3 上是否存在一点P，使四边形PACB 为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习好资料欢迎下载如图所示，连接PA、PB、AC 、BC，过点 P 作 PDx 轴于 D 点抛物线y=x2+x2 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，A（ 2，0） ，B（1，0） ，C（0，2） ， OB=1 ，OC=2PACB 为平行四边形，PABC，PA=BC， PAD=CBO ， APD= OCB在 RtPAD 与 RtCBO 中，RtPAD RtCBO，PD=OC=2，即 yP=2，直线解析式为y=x+3 ，xP=1， P（ 1，2） 所以在直线y=x+3 上存在一点P，使四边形PACB 为平行四边形，P 点坐标为（ 1， 2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页