2022年中考第二轮专题复习二次函数的综合问题 .pdf

学习好资料欢迎下载中考第二轮专题复习二次函数的综合问题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例 1 20XX 年苏州市中考第29 题如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b 是实数且b2）与 x 轴的正半轴分别交于点A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C（ 1）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB 的面积等于2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（ 3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（ 1）B 的坐标为 (b, 0)，点 C 的坐标为 (0, 4b)（ 2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴， PEy 轴，垂足分别为D、E，那么 PDB PEC因此 PDPE设点 P 的坐标为 (x, x) 如图 3，联结 OP所以 S四边形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx2b解得165x所以点P 的坐标为 (16 16,55)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 2 图 3 （ 3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得 A(1, 0)，OA 1如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形OAQC，那么 OQC QOA当BAQAQAOA，即2QABA OA时， BQA QOA所以2( )14bb解得84 3b所以符合题意的点Q 为 (1,23 )如图 5，以 OC 为直径的圆与直线x1 交于点 Q，那么 OQC90。因此 OCQ QOA当BAQAQAOA时， BQA QOA此时 OQB90所以 C、Q、B 三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展第（ 3）题的思路是， A、C、O 三点是确定的，B是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与 QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与 QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线x 1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB4OC 矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页学习好资料欢迎下载1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 1 20XX 年扬州市中考第27题如图 1，抛物线yax2bxc 经过 A( 1,0)、 B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴（ 1）求抛物线的函数关系式；（ 2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点P的坐标；（ 3）在直线l 上是否存在点M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段 BC 上时 P AC 的周长最小2第（ 3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（ 1）因为抛物线与x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x 1)(x 3)，代入点 C(0 ,3)，得 3a3解得 a 1所以抛物线的函数关系式是y (x1)(x3) x22x3（ 2）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1当点 P 落在线段BC 上时， PA PC 最小， P AC 的周长最小设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H由BHPHBOCO，BOCO，得 PHBH2所以点 P 的坐标为 (1, 2)图 2 （ 3）点 M 的坐标为 (1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)考点伸展第（ 3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为 (1,m)在 MAC 中， AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图 3，当 MAMC 时， MA2MC2解方程4m21(m3)2，得 m1此时点 M 的坐标为 (1, 1)如图 4，当 AMAC 时， AM2AC2解方程4m210，得6m此时点 M 的坐标为 (1,6)或(1,6)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页学习好资料欢迎下载如图 5，当 CMCA 时， CM2 CA2解方程1(m3)210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时， M、A、 C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为 (1,0)图 3 图 4 图 5 例 2 20XX 年临沂市中考第26题如图 1，点 A 在 x轴上， OA 4，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120至 OB 的位置（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过A、O、B 的抛物线的解析式；（ 3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起满分解答（ 1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为C在 RtOBC 中， BOC 30， OB4，所以 BC2，2 3OC所以点 B 的坐标为 ( 2,2 3) （ 2）因为抛物线与x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点 B ( 2,2 3) ，232( 6)a解得36a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页学习好资料欢迎下载所以抛物线的解析式为2332 3(4)663yx xxx（ 3）抛物线的对称轴是直线x2，设点 P 的坐标为 (2, y)当 OPOB4 时， OP216所以 4+y216解得2 3y当 P 在 (2, 2 3) 时， B、O、P 三点共线（如图2） 当 BP BO4 时， BP216所以224(23)16y解得122 3yy当 PB PO 时， PB2PO2所以22224(2 3)2yy 解得2 3y综合、，点P 的坐标为 (2,2 3) ，如图 2 所示图 2 图 3 考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么 DOA 与 OAB 是两个相似的等腰三角形由2332 3(4)(2)663yx xx，得抛物线的顶点为2 3(2,)3D因此2 3tan3DOA所以 DOA 30， ODA120例 7 20XX 年重庆市中考第26 题已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上， OA2，OC3，过原点O 作 AOC 的平分线交AB 于点 D，连结 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（ 1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（ 2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点 M 的横坐标为56，那么 EF 2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（ 3）对于（ 2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与 AB的交点 P 与点 C、G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 1 思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2） 、 （3）题的计算中要用到2过点 M 作 MNAB，根据对应线段成比例可以求FA 的长3将 EDC 绕点 D 旋转的过程中，DCG 与 DEF 保持全等4第（ 3）题反客为主，分三种情况讨论PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标满分解答（ 1）由于 OD 平分 AOC，所以点D 的坐标为（ 2，2） ，因此 BC AD1由于 BCD ADE，所以 BDAE1，因此点E 的坐标为（ 0，1） 设过E、D、 C 三点的抛物线的解析式为cbxaxy2，那么.039,224, 1cbacbac解得65a，613b1c因此过E、D、C 三点的抛物线的解析式为1613652xxy（ 2） 把56x代入1613652xxy， 求得512y 所以点 M 的坐标为512,56如图 2， 过点 M 作 MNAB， 垂足为 N， 那么DADNFAMN，即25622512FA解得1FA因为 EDC 绕点 D 旋转的过程中， DCG DEF， 所以 CGEF2 因此 GO1， EF2GO（ 3）在第（ 2）中， GC 2设点 Q 的坐标为161365,2xxx如图3，当CP CG2 时，点P 与点 B（3，2）重合， PCG 是等腰直角三角形此时图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页学习好资料欢迎下载GQQxxy，因此11613652xxx。由此得到点Q 的坐标为57,512如图 4，当 GPGC2 时，点 P 的坐标为（ 1，2） 此时点Q 的横坐标为1，点 Q 的坐标为613, 1如图 5，当 PGPC 时，点 P 在 GC 的垂直平分线上，点P、Q 与点 D 重合此时点Q 的坐标为（ 2，2） 图 3 图 4 图 5 考点伸展在第（ 2）题情景下，EDC 绕点 D 旋转的过程中，FG 的长怎样变化？设 AF 的长为 m，那么82)2()2(222mmmFG点 F 由 E 开始沿射线EA 运动的过程中， FG 先是越来越小， F 与 A 重合时，FG 达到最小值22；F 经过点 A 以后， FG 越来越大，当C 与 O 重合时， FG 达到最大值41.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 20XX 年广州市中考第24题如图 1，抛物线233384yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C（ 1）求点 A、B 的坐标；（ 2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于 ACB 的面积时，求点D 的坐标；（ 3）若直线l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 1 思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个2当直线l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB90的点 M 有 2 个；当直线l 与圆相切时，符合 AMB90的点 M 只有 1 个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（ 1）由23333(4)(2)848yxxxx，得抛物线与x 轴的交点坐标为A( 4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x 1（ 2）ACD 与 ACB 有公共的底边AC，当 ACD 的面积等于ACB 的面积时，点B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D，在 AC 的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与 AC 交于点 H由 BD/AC，得 DBG CAO所以34DGCOBGAO所以3944DGBG，点 D 的坐标为9(1,)4因为 AC/BD，AGBG，所以 HG DG而 DHDH ，所以 DG3DG274所以 D的坐标为27(1,)4图 2 图 3 （ 3）过点 A、B 分别作 x轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点 M以 AB 为直径的 G 如果与直线l 相交，那么就有2 个点 M；如果圆与直线l 相切，就只有1 个点 M 了联结 GM，那么 GM l在 RtEGM 中， GM3，GE 5，所以 EM4精选学习资料 - 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- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页学习好资料欢迎下载例 3 20XX年上海市中考第24 题已知平面直角坐标系xOy（如图1） ，一次函数334yx的图象与y 轴交于点A，点 M 在正比例函数32yx的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc 的图象经过点A、M（ 1）求线段AM 的长；（ 2）求这个二次函数的解析式；（ 3）如果点B 在 y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334yx的图象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点C 的坐标图 1 思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MO MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点 C 的坐标， 先根据菱形的边长、直线的斜率， 用待定字母m 表示点 C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（ 1）当 x0 时，3334yx，所以点 A 的坐标为 (0，3)，OA3如图 2，因为 MOMA，所以点M 在 OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为32将32y代入32yx，得 x1所以点M 的坐标为3(1, )2因此132AM（ 2）因为抛物线yx2bxc 经过 A(0，3)、M3(1, )2，所以3,31.2cbc解得52b，3c所以二次函数的解析式为2532yxx（ 3）如图 3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作 AECD，垂足为 E在 RtADE 中，设 AE4m， DE3m，那么 AD5m因此点C 的坐标可以表示为(4m， 3 2m)将点C(4m， 3 2m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（ 2，2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 2 图 3 考点伸展如果第（ 3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为7 27(,)4 16图 4 例 4 20XX 年江西省中考第24题将抛物线c1：233yx沿 x 轴翻折，得到抛物线c2，如图 1所示（ 1）请直接写出抛物线c2的表达式；（ 2）现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由思路点拨1把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用m 的式子把这六个点平移过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页学习好资料欢迎下载中的坐标罗列出来2B、D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于m 的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答（ 1）抛物线c2的表达式为233yx（ 2）抛物线c1：233yx与 x 轴的两个交点为( 1，0)、 (1， 0)，顶点为 (0,3) 抛物线 c2：233yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为 (0,3) 抛物线c1向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(,3)m，与x 轴的两个交点为( 1,0)Am、(1,0)Bm，AB2抛物线c2向右平移m 个单位长度后，顶点N 的坐标为(,3)m，与x 轴的两个交点为( 1,0)Dm、(1,0)Em所以 AE(1m) (1m)2(1m) B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B 在 D 的左侧，此时123ABAE，AE6所以 2(1m)6解得 m2情形二，如图3，B 在 D 的右侧，此时223ABAE，AE3所以 2(1m)3解得12m图 2 图 3 图 4 如果以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而 OM2 m23，所以 4(1m)24(m23)解得 m1（如图 4） 考点伸展第（ 2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB2，AB 边上的高为3 ，所以 ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时， B、D 两点重合因为起始位置时BD2，所以平移的距离m 1例 5 20XX年河南省中考第23 题如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页学习好资料欢迎下载（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m， MAB 的面积为S，求 S关于 m 的函数关系式，并求出S的最大值；（ 3）若点 P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 y x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标图 1 图 2 思路点拨1求抛物线的解析式，设交点式比较简便2把 MAB 分割为共底MD 的两个三角形，高的和为定值OA3当 PQ 与 OB 平行且相等时，以点P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于 A(4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得12a所以抛物线的解析式为211(4)(2)422yxxxx(2) 如图2，直线AB 的解析式为y x 4过点M 作x 轴的垂线交AB 于D，那么2211(4)(4)222MDmmmmm所以2142MDAMDBSSSMD OAmm2(2)4m因此当2m时， S取得最大值，最大值为4(3) 如果以点P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ/OB，PQOB4设点 Q 的坐标为( ,)xx，点 P 的坐标为21( ,4)2xxx当点 P 在点 Q 上方时，21(4)()42xxx解得22 5x此时点 Q 的坐标为( 22 5, 22 5)（如图 3） ，或( 22 5, 22 5)（如图 4） 当点 Q 在点 P 上方时，21()(4)42xxx解得4x或0 x（与点 O 重合，舍去） 此时点Q 的坐标为 (4,4) （如图 5） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 3 图 4 图 5 考点伸展在本题情境下，以点P、Q、B、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图 6，Q(2,2)；如图 7，Q(2,2)；如图 8，Q(4,4)图 6 图 7 图 8 例 8 20XX 年江西省中考第24题如图 1，抛物线322xxy与 x 轴相交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D（ 1）直接写出A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（ 2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点P 作 PF/DE交抛物线于点F，设点 P 的横坐标为m用含 m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？设 BCF 的面积为S，求 S与 m 的函数关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 1 思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF 为平行四边形时，根据DE=FP 列关于 m 的方程3把 BCF 分割为两个共底FP 的三角形，高的和等于OB满分解答（ 1）A（ 1，0） ， B（3，0） ，C（0，3） 抛物线的对称轴是x 1（ 2）直线BC 的解析式为y x3把 x 1 代入 y x3，得 y2所以点E 的坐标为（ 1，2） 把 x 1 代入322xxy，得 y4所以点D 的坐标为（ 1，4） 因此 DE=2因为 PF/DE， 点 P的横坐标为m， 设点 P的坐标为)3,(mm， 点 F 的坐标为)32,0(2mm，因此mmmmmFP3)3()32(22当四边形PEDF 是平行四边形时， DE=FP于是得到232mm 解得21m，12m（与点 E 重合，舍去） 因此，当m=2 时，四边形PEDF 是平行四边形时设直线PF 与 x 轴交于点M，那么 OM+BM=OB=3因此BMFPOMFPSSSSCPFBPFBCF2121mmmm29233)3(2122m 的变化范围是0m3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页学习好资料欢迎下载图 2 图 3 考点伸展在本题条件下，四边形PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求m 的值；如果不可能，请说明理由如图 4，如果四边形PEDF 是等腰梯形，那么DG=EH，因此EPFDyyyy于是2)3()32(42mmm解得01m（与点 CE 重合，舍去） ，12m（与点E 重合，舍去）因此四边形PEDF 不可能成为等腰梯形图 4 1.5 因动点产生的梯形问题例 1 20XX 年上海市松江区中考模拟第24 题已知直线y3x3 分别与 x 轴、 y 轴交于点A，B，抛物线yax22x c 经过点 A，B（ 1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（ 2）记该抛物线的对称轴为直线l，点 B 关于直线l 的对称点为 C，若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形求点 D 的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线 y 3x3 交于点 E，若73tanDPE，求四边形BDEP的面积图 1 思路点拨1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页学习好资料欢迎下载2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P 两点间的垂直距离等于73已知 DPE 的正切值中的7 的几何意义就是D、P 两点间的垂直距离等于7，那么点 P 向右平移到直线x3 时，就停止平移满分解答（ 1）直线 y 3x3 与 x 轴的交点为A(1，0)，与 y 轴的交点为B(0,3)将 A(1，0)、B(0,3)分别代入yax22xc，得20,3.acc解得1,3.ac所以抛物线的表达式为yx22x3对称轴为直线x 1，顶点为 (1,4)（ 2）如图2，点 B 关于直线l 的对称点C 的坐标为 (2,3)因为 CD/AB，设直线CD 的解析式为y3xb，代入点 C(2,3)，可得 b 3所以点 D 的坐标为（ 0，3） 过点 P 作 PHy 轴，垂足为H，那么 PDH DPE由73tanDPE，得3tan7PHPDHDH而 DH 7，所以 PH3因此点 E 的坐标为（ 3，6） 所以1()242BDEPSBDEPPH梯形图 2 图 3 考点伸展第（ 2）用几何法求点D 的坐标更简便：因为 CD/AB，所以 CDB ABO因此13BCOABDOB所以 BD3BC6， OD3因此 D（0，3） 例 4 20XX年义乌市中考第24 题已知二次函数的图象经过A（2，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与 x 轴的另一交点为点B（ 1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（ 2）如图 1，在直线y2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页学习好资料欢迎下载的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折，得到P1MN 在动点M 的运动过程中，设P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求 S关于 t 的函数关系式图 1 图 2 思路点拨1第（ 2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况2第（ 3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点满分解答（ 1）设抛物线的解析式为2(4)ya xk，代入 A （ 2，0） 、C(0，12) 两点，得40,1612.akak解得1,4.ak所以二次函数的解析式为22(4)4812yxxx，顶点 P 的坐标为（ 4， 4） （ 2）由2812(2)(6)yxxxx，知点 B 的坐标为（ 6，0） 假设在等腰梯形OPBD，那么 DPOB6设点 D 的坐标为 (x，2x)由两点间的距离公式，得22(4)(24)36xx解得25x或 x 2如图 3，当 x 2 时，四边形ODPB 是平行四边形所以，当点D 的坐标为 (52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形图 3 图 4 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页学习好资料欢迎下载（ 3）设 PMN 与 POB 的高分别为PH、PG在 RtPMH 中，2PMt，PHMHt所以24P Gt在 RtPNH 中，PHt，1122NHPHt所以32MNt 如图 4，当 0t2 时，重叠部分的面积等于PMN 的面积此时2133224St tt如图 5，当 2t 4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN 的面积减去P DC 的面积由于2P DCPMNSP GSPH，所以2222433(24)44P DCtSttt此时222339(24)1212444Stttt考点伸展第（ 2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以P 为圆心， OB 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点例 5 20XX 年杭州市中考第24 题如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y 2114x，点 C 的坐标为 ( 4，0)，平行四边形OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在 x 轴上(1) 写出点 M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为12 时，求 t 的值图 1 思路点拨1第（ 1）题求点M 的坐标以后， RtOCM 的两条直角边的比为12，这是本题的基本背景图2第（ 2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t 与 x的比例式，从而得到t 关于 x 的函数关系3探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH 与 MO 的长度比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页学习好资料欢迎下载满分解答(1)因为 ABOC 4，A、B 关于 y 轴对称， 所以点 A 的横坐标为2将 x2 代入 y2114x，得 y2所以点M 的坐标为（ 0，2） (2) 如图 2，过点 Q 作 QHx 轴，设垂足为H，则 HQy2114x，HP x t 因为 CM/PQ，所以 QPH MCO 因此 tanQPH tanMCO ，即12HQOMHPOC所以2111()42xxt整理，得2122txx如图 3，当 P 与 C 重合时，4t，解方程21422xx，得15x如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x 的取值范围是15x，且 x 2 的所有实数图 2 图 3 图 4 因为 sinQPHsinMCO，所以HQOMPQCM，即PQHQCMOM当12PQHQCMOM时，112HQOM 解方程21114x， 得0 x（如图 5） 此时2t当2PQHQCMOM时，24HQOM解方程21144x，得2 3x如图 6，当2 3x时，82 3t；如图 6，当2 3x时，82 3t图 5 图 6 图 7 考点伸展本题情境下，以Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？设点 Q 的坐标为21,14xx，那么222222111144QMxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页学习好资料欢迎下载而点 Q 到 x 轴的距离为2114x因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心Q 到 x 轴的距离，圆Q 与 x 轴相切例 7 20XX 年广州市中考第25题如图 1，二次函数)0(2pqpxxy的图象与x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C（0，1） ， ABC 的面积为45（ 1）求该二次函数的关系式；（ 2）过 y 轴上的一点M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求m的取值范围；（ 3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1根据 ABC 的面积和AB 边上的高确定AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示2数形结合，根据点A、B、C 的坐标确定OA、OB、OC 间的数量关系，得到AOC COB，从而得到 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出m 的取值范围3根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D 有两个，但是求点D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些满分解答（ 1）因为 OC1， ABC 的面积为45，所以 AB25设点 A 的坐标为（ a， 0） ，那么点B 的坐标为（ a25，0） 设抛物线的解析式为)25)(axaxy，代入点C（0， 1） ，得1)25(aa解得21a或2a因为二次函数的解析式qpxxy2中，0p，所以抛物线的对称轴在y 轴右侧因此点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页学习好资料欢迎下载A、B 的坐标分别为)0,21(，)0 ,2(所以抛物线的解析式为123)2)(21(2xxxxy（ 2）如图2，因为1OBOA，12OC，所以OBOCOCOA因此 AOC COB所以ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB因此 m 的取值范围是45 m45图 2 图 3 图 4 （ 3）设点 D 的坐标为)2)(21( ,(xxx如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于D，过点 D 作 DEx 轴于 E因为OBCDABtantan， 所以21BOCOAEDE