2022年二次函数与相似三角形问题2 .pdf

精品资料欢迎下载综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页精品资料欢迎下载yxEQPCBOA例题 2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t （a0）交 x 轴于 A、B 两点，交y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（ -1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点D，当 APD= ACP 时，求抛物线的解析式练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3( 3 3)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式为225 333yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l，使直线l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练习 3、 在平面直角坐标系xOy中， 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象与x轴交于AB，两点 （点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）（2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 10)(3 0),(0 3)ABC，（3） 若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明） ，并写出此时点P的横坐标px的取值范围O x y 练习 2 图C B E D AO y C lx B A 1x练习 3 图oC B A x练习 4 图P y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 4 、如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C ，3tan4BAC（1）求过点AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C ，B(13)，3944yx（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由A C O B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 6、如图，已知抛物线与x交于 A( 1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB 的面积；（3）AOB 与 DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。练习 7、如图， 已知抛物线y34x2 bx c 与坐标轴交于A 、B、C 三点，A 点的坐标为（1，0） ，过点 C 的直线 y34tx3 与 x 轴交于点Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过P 作 PHOB 于点 H若PB5t，且 0t1（1）填空：点C 的坐标是 _ _， b_ _，c_ _；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点 P 的变化，是否存在t 的值，使以P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由ABxyOQHPC练习 8、如图，抛物线经过(4 0)(10)(02)ABC，三点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页精品资料欢迎下载（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D 的坐标练习 9、已知， 如图 1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1 和 4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、（1）求点ABF、 、的坐标；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在， 请求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在， 请说明理由练习 10、当 x2 时，抛物线yax2bxc 取得最小值1，并且抛物线与y 轴交于点C（0，3） ，与 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页精品资料欢迎下载轴交于点 A、 B（1）求该抛物线的关系式；（2）若点 M（x，y1） ，N（x1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与 y2的大小；（3） D 是线段 AC 的中点， E 为线段 AC 上一动点（ A、C 两端点除外） ，过点 E 作 y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F问：是否存在DEF 与 AOC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，则说明理由练习 11、如图，一次函数y=2x 的图象与二次函数y=x2+3x 图象的对称轴交于点B. （1）写出点B 的坐标；（2）已知点P 是二次函数y=x2+3x图象在 y 轴右侧部分上的一个动点，将直线y=2x 沿 y 轴向上平移，分别交 x 轴、y 轴于 C、 D 两点 . 若以 CD 为直角边的PCD 与 OCD 相似，则点 P 的坐标为. 练习 12、如图，抛物线21yaxbx与x轴交于两点 A（ 1，0） ， B（1，0） ，与y轴交于点 CO B C D A BC D O x y E F 3 （第 26 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页精品资料欢迎下载(1)求抛物线的解析式；(2)过点 B作BD CA 与抛物线交于点D，求四边形 ACBD 的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过 M作MN x轴于点 N，使以 A、 M、N为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由练习 13、已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x 轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为B，与 y 轴的交点为A，P 为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B，求 P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M，试探索点M 是否在抛物线y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由A x y O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 14、 如图 , 设抛物线C1:512xay, C2:512xay, C1与 C2的交点为A, B, 点 A 的坐标是)4,2(, 点 B 的横坐标是 2. （1）求a的值及点B 的坐标；（2）点 D 在线段 AB 上 , 过 D 作 x 轴的垂线 , 垂足为点H, 在 DH 的右侧作正三角形DHG .记过 C2顶点的直线为l, 且l与 x 轴交于点N. 若l过 DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为 (1, 2)，求点 N 的横坐标； 若l与 DHG的边 DG相交 , 求点 N的横坐标的取值范围.练习 15、如图，在矩形ABCD 中， AB=3,AD=1,点 P在线段 AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点 P重合，得折痕EF （点 E 、 F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（ 1）当x=0时，折痕EF的长为；当点 E与点 A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令2yEF，当点 E在 AD 、点 F 在 BC上时，写出y与x的函数关系式。 当y取最大值时， 判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 16、如图，已知( 4,0)A，(0,4)B，现以 A 点为位似中心，相似比为9:4，将 OB 向右侧放大，B点的对应点为C(1)求 C 点坐标及直线BC 的解析式 ; (2)一抛物线经过B、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3)现将直线BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB 距离为3 2的点 P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页精品资料欢迎下载参考答案例题、解 :由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a0241a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2如图 1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOB, 由1)2x(4102得4x,0 x21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为6 将 x6 代入1)2x(41y2,得 y 3, D(6, 3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形 ,此时 D 点的坐标为 (2,3), 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点 ,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AO AB,AOB ABO. 若 BOP 与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为x21y由xx41x212, 得6x,0 x21.P(6, 3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB134.PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相似 , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AOB 相似 . EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 1、解： （1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（2）存在设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，当12 3m时，2n，即为Q点，所以得(2 3 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(2 3 2) (3 33)，（3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(2 32)，时，30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页精品资料欢迎下载即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA，又因为QPOPQAOA，30POQAOQ，所以OQAOQP练习 2 解： （1）OCD与ADE相似。理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.，又90CODDAE，OCDADE。（2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t ，则 AD=4t 。由勾股定理得DE=5t 。358OCABAEEBAEDEttt。由（ 1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，10CDt。在DCE中，222CDDECE，222(10 )(5 )(5 5)tt，解得 t=1。OC=8 ，AE=3 ，点 C 的坐标为（ 0，8） ，点 E 的坐标为（ 10，3） ，设直线 CE 的解析式为y=kx+b ，1038kbb，解得128kb，O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页精品资料欢迎下载182yx，则点 P 的坐标为（ 16， 0） 。（3）满足条件的直线l 有 2 条： y=2x+12 ，y=2x 12 。如图 2：准确画出两条直线。练习 3 解： （1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，由1242393212.baabcab，解得123.abc，此二次函数的表达式为223yxx（2）假设存在直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似在223yxx中，令0y，则由2230 xx，解得1213xx，( 1 0)(3 0)AB，令0 x，得3y(0 3)C，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，点A的坐标为( 10)，4345.ABOBOCOBC，22333 2BC要使BODBAC或BDOBAC，已有BB，则只需BDBOBCBA，或.BOBDBCBA成立若是，则有3 3 29 244BO BCBDBAy x B E A O C D 1xl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页精品资料欢迎下载而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222229 224BEDEBEBD解得94BEDE（负值舍去） 93344OEOBBE点D的坐标为3 94 4，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k满足条件的直线l的函数表达式为3yx或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx此时易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为3yx联立33yxyx，求得点D的坐标为3 94 4， 若是，则有3 42 23 2BO BABDBC而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222222(2 2)BEDEBEBD解得2BEDE（负值舍去） 321OEOBBE点D的坐标为(12)，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k满足条件的直线l的函数表达式为2yx存在直线:3lyx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似，且点D的坐标分别为3 94 4，或(12)，（3）设过点(0 3)(10)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页精品资料欢迎下载将点(10)E，的坐标代入3ykx中，求得3k此直线的函数表达式为33yx设点P的坐标为(33)xx，并代入223yxx，得250 xx解得1250 xx，（不合题意，舍去） 512xy，点P的坐标为(512)，此时，锐角PCOACO又二次函数的对称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2 3)，当5px时，锐角PCOACO；当5px时，锐角PCOACO；当25px时，锐角PCOACO练习四解：（ 1）令0y，得210 x解得1x令0 x，得1y A( 1,0)B(1,0)C(0,1)（2） OA=OB=OC=1BAC=ACO=BCO=45APCB ，PAB=45过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形令 OE=a，则 PE=1aP( ,1)a a点 P 在抛物线21yx上 211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）PE=3四边形 ACBP 的面积S=12AB?OC+12AB?PE=112 12 3422(3) 假设存在PAB=BAC =45PAAC x B E A O C 1xP C图 1 C P B y A ox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页精品资料欢迎下载MGx轴于点 G，MGA=PAC =90在 RtAOC 中， OA=OC=1AC=2在 RtPAE 中， AE=PE=3AP= 3 2设 M 点的横坐标为m，则 M 2(,1)m m点 M 在y轴左侧时，则1m() 当AMG PCA 时，有AGPA=MGCAAG=1m，MG=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）() 当MAG PCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：1m（舍去）22mM( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m() 当AMG PCA 时有AGPA=MGCAAG=1m，MG=21m2113 22mm解得11m（舍去）243mM4 7(,)3 9() 当MAGPCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：11m（舍去）24mM(4,15)存在点M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似G M 图 3 C B y P A oxG M 图 2 C B y P A ox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页精品资料欢迎下载M 点的坐标为( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)练习 5、解： （1）点( 3 0)A，(10)C，4AC，3tan434BCBACAC，B点坐标为(13)，设过点AB，的直线的函数表达式为ykxb，由0( 3)3kbkb得34k，94b直线AB的函数表达式为3944yx（2）如图 1，过点B作BDAB，交x轴于点D，在RtABC和RtADB中，BACDABRtRtABCADB，D点为所求又4tantan3ADBABC，49tan334CDBCADB134ODOCCD，1304D，（3）这样的m存在在RtABC中，由勾股定理得5AB如图 1，当PQBD时，APQABD则133413534mm，解得259m如图 2，当PQAD时，APQADB则133413534mm，解得12536mABCDQOyx图 1 PABCDQ Oyx图 2 P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页