2022年九年级数学下册相似三角形的性质及应用知识点+典型例题 .pdf

名师总结优秀知识点相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方， 则分别作出与的高和，则21122=1122ABCAB CBC ADk B Ck A DSkSBCA DB CA D要点诠释： 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 . 要点诠释： 测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页名师总结优秀知识点2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、 CE的距离（长度） ，根据相似三角形的性质，求出AB的长 . 2 如乙图所示，可先测AC 、DC及 DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长 . 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离 / 实际距离 ; 2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. ABC DEF ，若 ABC的边长分别为5cm 、6cm、7cm ，而 4cm是 DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 2. 如图所示，已知ABC中， AD是高，矩形EFGH内接于 ABC中，且长边FG在 BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若 BC=30cm ，AD=10cm. 求矩形 EFGH 的面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页名师总结优秀知识点举一反三1、如图，在和中，的周长是24，面积是48，求的周长和面积 . 2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200 和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点 B重合，折痕为DE ，则 SBCE：SBDE等于（）A. 2 ：5 B14:25 C16:25 D. 4:21 4、在锐角 ABC中， AD,CE分别为BC,AB边上的高，ABC和 BDE的面积分别等于18和 2，DE=2,求 AC边上的高 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页名师总结优秀知识点5、已知：如图，在ABC与 CAD中， DA BC ，CD与 AB相交于 E点，且 AE EB=1 2，EF BC交 AC于 F 点， ADE的面积为 1，求 BCE和 AEF的面积6、如图，已知中，点在上 ( 与点不重合 ) ，点在上.(1) 当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2) 当的周长与四边形的周长相等时，求的长. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页名师总结优秀知识点类型二、相似三角形的应用3. 如图， 我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离 ( 即河宽 ) ，你有什么方法？4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ， 已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m(1) 图中 ABC与 ADE是否相似 ?为什么 ? (2) 求古塔的高度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页名师总结优秀知识点举一反三1、小明把一个排球打在离他2 米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8 米，排球落地点离墙的距离是7 米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？2、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B是 CD的中点， CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长 DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m和 1m ，那么塔高AB为（）A.24m B.22m C.20m D.18m 3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m ，窗口高AB=1.8m ，求窗口底边离地面的高度BC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页名师总结优秀知识点【巩固练习一】一、选择题1如图 1 所示， ABC中 DE BC ，若 AD DB12，则下列结论中正确的是( ) A BCD（图 1）（图 2）2. 如图 2, 在 ABC中, D、 E两点分别在AB 、 AC边上 , DE BC. 若 AD:DB = 2:1, 则 SADE: SABC为 ( )A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:23某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为94，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（） A24 米B 54 米C24 米或 54 米D36 米或 54 米4. 图为 ABC与 DEC重叠的情形，其中E在 BC上， AC交 DE于 F点，且 AB/ DE. 若ABC与 DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则 DF=( ) A3 B7 C12 D15 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C处，已知AB BD ，CD BD ，且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12米，那么该古城墙的高度是（） A 6 米 B8 米 C 18 米D24 米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8 倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍 . A.2 B.4 C.2D.64 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页名师总结优秀知识点二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD 2m的标杆，现测量者从 E处可以看到杆顶C与树顶 A在同一条直线上， 如果测得 BD 20m ， FD4m ， EF1.8m，则树 AB的高度为 _m 8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为_. 9如图，小明为了测量一座楼MN 的高，在离点N为 20m的 A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M ，若 AC 1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是_. （精确到0.1m）10. 梯形 ABCD中，AD BC,AC， BD交于点O, 若AODS=4，OCS B=9，S梯形 ABCD=_. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，点 E为 CD上一点， DE:CE=2:3，连接 AE,BE,BD,且 AE,BD交于点 F，则:DEFEFBAFSSSB_. 12. 把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的 _倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页名师总结优秀知识点14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB ，PQ ，并且 AB PQ ，建筑物的一端DE所在的直线MN AB于点 M ，交 PQ于点 N，小亮从胜利街的A处，沿着 AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点 C标出） （2）已知： MN=30m ，MD=12m ， PN=36m 求（ 1）中的点C到胜利街口的距离15. 在正方形中，是上一动点， ( 与不重合 ) ，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1) 找出与相似的三角形 . (2) 当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页名师总结优秀知识点【巩固练习二】一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（）A只有 1 个 B 可以有2 个C有 2 个以上，但有限 D 有无数个2. 若平行四边形ABCD 中， AB 10，AD 6，E是 AD的中点，在AB上取一点F，使 CBF CDE ，则 BF的长为（）A1.8 B 5 C 6 或 4 D8 或 2 3. 如 图 ， 已 知D、 E 分 别 是的AB、AC 边 上 的 点 ，且那么等于（）A1：9 B1： 3 C1： 8 D1： 2 4如图 G是 ABC的重心，直线过 A点与 BC平行 .若直线 CG分别与 AB 、交于 D、E两点，直线BG与 AC交于 F 点，则 AED的面积：四边形 ADGF的面积 =( ) A1： 2 B2：1 C2：3 D3：2 5. 如图，将ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于（） A.1 234 B.234 5 C.1 357 D.3 579 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页名师总结优秀知识点6. 如图，在ABCD中， E为 CD上一点， DE：CE=2 ：3，连结 AE、BE 、BD ，且 AE 、BD交于点 F，则SDEF：SEBF：SABF等于 ( ) A.4 ：10： 25 B.4 ：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25 二、填空题7. 如图，梯形ABCD 中， AB CD,AC 、BD相交于点E，1,2DECSSCEBDECSSAEB=_. 8. 如图， ABC中，点 D在边 AB上，满足 ADC= ACB,若 AC=2 ，AD=1，则 DB=_. 9. 如图，在 PAB中， M 、N是 AB上两点，且 PMN 是等边三角形，BPM PAN ，则 APB的度数是_. 10. 如 图 ， ABC 中 ， DE BC,BE,CD 交 于 点F， 且SEFC=3SEFD， 则SADE：SABC=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页名师总结优秀知识点11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD ，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达 Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部， 已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是_ 12. 如图，锐角ABC中， AD,CE分别为 BC,AB边上的高，ABC和 BDE的面积分别等于18 和 2，DE=2 ，则 AC边上的高为 _. 三、解答题13. 为了测量图（1）和图（ 2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（ 1） ：测得竹竿CD的长为 0.8 米，其影 CE长 1 米，树影 AE长 2.4 米图（ 2） ：测得落在地面的树影长2.8 米，落在墙上的树影高1.2 米，请问图（ 1）和图（2）中的树高各是多少？14. （1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连结DE交OC于点F，作FGBC于G求证：点G是线段BC的一个三等分点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页名师总结优秀知识点证明 ：在矩形ABCD中，OEBC，DCBC，OEDC，（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程） 15. 已知如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点 E自 A点出发，以每秒1cm的速度向 D点前进， 同时点 F 从 D点以每秒2cm的速度向C点前进， 若移动的时间为t ，且 0t6（1）当 t 为多少时， DE=2DF ；（2）四边形 DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值； 若不是定值， 请说明理由（3）以点 D、E、F为顶点的三角形能否与BCD 相似？若能，请求出所有可能的t 的值；若不能，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页