2022年二次项定理典型例题教师版 .pdf
学习必备欢迎下载典型例题例 1在二项式nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析： 本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解： 二项式的展开式的通项公式为：4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT前三项的.2, 1 ,0r得系数为：)1(8141C,2121C, 123121nntnttnn，由已知：)1(8112312nnnttt，8n通项公式为1431681,82 ,1 , 021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是 4 的倍数，.8 ,4,0r依次得到有理项为228889448541256121C,83521C,xxTxxTxT说明： 本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项类似地，1003)32(的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有17 项例 2求10321xx的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项分析： 本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值解： 展开式的通项公式为：65301012)1(CrrrrrxT系数的绝对值为rr2C10，记为1rt用前后两项系数的绝对值作商得：.)1(210!102)!10(!)!9()!1(!10C2C2C2C1011010)1(11012rrrrrrttrrrrrrrr令1)1(210rr得：38r即0r、1、2 时，上述不等式成立所以，系数的绝对值从第1 项到第 4 项增加，以后逐项减小系数绝对值最大的项为第4 项，2525334104152)1(CxxT从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3 项与第 5 项的系数，.8105162102C,4452C4410522103tt所以，系数最大的项为第5 项，3558105xt例 3已知7722107)21(xaxaxaax，求：（1）7321aaaa；（2）7531aaaa； （ 3）6420aaaa分析： 本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果字母经常取的值有 0、 1、 1 等解： （1）取0 x可得10a，取1x得1)1(7710aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载27321aaaa. （2）取1x得77632103aaaaaa，记75316420,aaaaBaaaaA73, 1BABA可得1094)31(21,1093)13(2177BA从而10947531aaaa（3）从（ 2）的计算已知10936420aaaa说明： 赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：65)21()1(xx的展开式中各项的系数和为多少？可以看到65)21()1(xx的展开式仍是多项式，令1x， 即 得 各 项 系 数 和 为32) 1(265 再 比 如 ：nnnxaxaxaaxx2222102)1(， 则naaaa2420等于多少？本题可以由取1x得到各项系数和，取1x得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得)13(21220nnaaa此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可如：nxx)log2(2的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式nx)21(代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令1x便得各项系数和为n3例 4（1）求103)1()1 (xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项分析： 本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（ 1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解： （1）103)1 ()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1 (x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用3)1 (x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；用3)1 (x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx；用3)1 (x中的3x项乘以10)1 (x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：5521031041051063)CC3CC(xx（2）2121xxxx1251)21(xxxx由121xx展开式的通项公式rrrrrrxxT61212121C1)2(C，可得展开式的常数项为924C612说明： 问题（ 2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决例 5求62)1 (xx展开式中5x的系数分析：62)1(xx不是二项式，我们可以通过22)1 (1xxxx或)(12xx把它看成二项式展开解： 方法一：6262)1()1(xxxx44256)1 (15)1(6)1 (xxxxx其中含5x的项为55145355566C15C6Cxxxx含5x项的系数为6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载方法二：6262)(1)1(xxxx62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61xxxxxxxxxxxx其中含5x的项为555566)4(15)3(20 xxxx5x项的系数为6方法 3：本题还可通过把62)1 (xx看成 6 个21xx相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x项可由下列几种可能得到5 个因式中取x，一个取1 得到556C x3 个因式中取x，一个取2x，两个取1 得到)(CC231336xx1 个因式中取x，两个取2x，三个取1 得到222516)(CCxx合并同类项为5525161336566)CCCC(Cxx，5x项的系数为6例 6求证： （1）1212CC2Cnnnnnnn； （2）)12(11C11C31C21C1210nnnnnnnn分析： 二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nnnnnn2CCCC210解： （1）11C)!()!1()!1()!()!1(!)!( !Cknknnknknnknknknknkk左边111101CCCnnnnnnn11111012)CCC(nnnnnnn右边（2）)!()!1(!)!( !11C11knknknknkkkn11C11)!()!1()!1(11knnknknn左边112111C11C11C11nnnnnnn)12(11)CC(C111112111nnnnnnn右边说明： 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C2C2C2C22108107910810109的结果仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C2C2C2CC)21 (10101091092102C2C2C21021)C2C2C210(21101099108210从而可以得到：)13(21C2C2C21010101099108210例 7利用二项式定理证明：98322nn是 64 的倍数分析： 64 是 8 的平方，问题相当于证明98322nn是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93nnn，将其展开后各项含有k8，与28的倍数联系起来解： 98322nn98) 18(98911nnnn9818C8C8C81211111nnnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载981)1(88C8C8211111nnnnnnn2111118C8C8nnnnn64)C8C8(112111nnnnn是 64 的倍数说明： 利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数例 8展开52232xx分析 1：用二项式定理展开式解法 1：52232xx2232524150250523)2(23)2(23)2(xxCxxCxxC52554245322352323)2(23)2(xCxxCxxC10742532243840513518012032xxxxxx分析 2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法 2：10535232)34(232xxxx233254315530510)3()4()3()4()4(321xCxCxCx)3()3()4()3()4(5554134532335CxCxC)243716204320576038401024(321369121510 xxxxxx10742532243840513518012032xxxxxx说明： 记准、记熟二项式nba)(的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便例 9若将10)(zyx展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（） A 11B33C 55D66 分析：10)(zyx看作二项式10)(zyx展开解： 我们把zyx看成zyx)(，按二项式展开，共有11“项” ，即10010101010)()()(kkkkzyxCzyxzyx这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式kyx10)(展开，不同的乘积kkkzyxC1010)(（10,1,0k）展开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个乘积kkkzyxC1010)(（10,1,0k） 其中每一个乘积展开后的项数由kyx10)(决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为66191011，应选D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载例 10若nxx21的展开式的常数项为20，求n分析： 题中0 x，当0 x时，把三项式nxx21转化为nnxxxx2121；当0 x时，同理nnnxxxx21)1(21然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n解： 当0 x时nnxxxx2121，其通项为rnrnrrrnrnrxCxxCT222221)()1()1()(，令022rn，得rn，展开式的常数项为nnnC2)1(；当0 x时，nnnxxxx21)1(21，同理可得，展开式的常数项为nnnC2) 1(无论哪一种情况，常数项均为nnnC2) 1(令20)1(2nnnC，以,3,2,1n，逐个代入，得3n例 111031xx的展开式的第3 项小于第4 项，则x的取值范围是 _分析： 首先运用通项公式写出展开式的第3 项和第 4 项，再根据题设列出不等式即可解： 使1031xx有意义，必须0 x；依题意，有43TT，即3373102382101)(1)(xxCxxC31123891012910 xx（0 x） 解得5648980 xx的取值范围是5648980 xx应填：5648980 x例 12已知nxx)1(2log的展开式中有连续三项的系数之比为321，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值解： 设连续三项是第k、1k、2k项（Nk且1k） ，则有32111knknknCCC，即321!) 1)(1(!)(! )1)(1(!knknknknknkn321)1(1)(1)1)(1kkknkknkn32)()1(21132)()1(21) 1)()(knkknkknkkkknknknk14n，5k所求连续三项为第5、6、7三项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载又由已知，1122log1314xxC即82logxx两边取以2为底的对数，3)(log22x，3log2x，32x，或32x说明： 当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解例 13nx)21(的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析： 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项解：556)2( xCTn，667)2( xCTn，依题意有8226655nCCnn8)21(x的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(xxCT设第1r项系数最大，则有65222211881188rCCCCrrrrrrrr5r或6r（8,2,1,0r） 系娄最大的项为：561792xT，671792xT说明： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得例 14设nmxxxf)1()1()(Nnm,)， 若其展开式中关于x的一次项的系数和为11， 问nm,为何值时，含2x项的系数取最小值？并求这个最小值分析： 根据已知条件得到2x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题解：1111mnCCnm211)(21222222nmnnmmCCnm499)211(55112211022nnnmnNn，5n或6，6m或5时，2x项系数最小，最小值为25说明： 二次函数499)211(2xy的对称轴方程为211x，即5.5x，由于5、6距5.5等距离，且对Nn，5、6距5. 5最近，所以499)211(2n的最小值在5n或6n处取得例 15若0166777)13(axaxaxax，求 (1) 721aaa；(2) 7531aaaa；(3) 6420aaaa解： (1)令0 x，则10a，令1x，则128270167aaaa129721aaa(2)令1x，则701234567)4(aaaaaaaa由2得：825641282177531）（aaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载(3)由2得：6420aaaa210123456701234567）（）（aaaaaaaaaaaaaaaa8128)4(128217说明： （1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式(2)一般地，对于多项式nnnxaxaxaaqpxxg2210)()(，)(xg的各项的系数和为)1 (g：)(xg的奇数项的系数和为)1()1(21gg)(xg的偶数项的系数和为)1()1 (21gg例 16填空： (1) 3230除以7的余数 _；(2) 155555除以8的余数是 _. 分析 (1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数解：32303)2(1033)8(103)17(1037771010910911010010CCCC277791081109010CCC又余数不能为负数，需转化为正数3230除以7的余数为5应填：5分析 (2)：将5555写成55)156(，然后利用二项式定理展开解：15555515)156(5515565656555554555415555055CCCC该式只有14155555C不能被8整除，因此155555除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6应填：6例 17求证：对于Nn，111111nnnn证明：nn11展开式的通项rrnrrnrnrpnCT!11rrrnnnnr) 1()2)(1(!1)11 ()21)(11 (!1nrnnr1111nn展开式的通项rrnrrnrnrAnCT) 1(!)1(111)111 ()121)(111(!1nrnnr由二项式展开式的通项明显看出11rrTT，所以111111nnnn说明： 本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明例 18在52)23(xx的展开式中x的系数为（） A 160B 240C360D800 分析： 本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解解法 1：由52522)3()23(xxxx，得kkkkxxCT2)3(5251kkkxxC525)3(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载再一次使用通项公式得，rkrrkkkrxCCT21055132，这里50k，kr50令1210rk，即92rk所以1r，4k，由此得到x的系数为24032445C解法 2：由5552)2() 1()23(xxxx，知5) 1(x的展开式中x的系数为45C，常数项为1，5)2(x的展开式中x的系数为4452C，常数项为52因此原式中x的系数为24022445545CC解法 3：将52)23(xx看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取x3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415CC应选B例 19已知92xxa的展开式中3x的系数为49，常数a的值为 _分析： 利用二项式的通项公式解： 在92xxa的展开式中，通项公式为rrrrxxaCT299192329921) 1(rrrrrxaC根据题设，3923r，所以8r代入通项公式，得39169axT根据题意，49169a，所以4a应填：4例 20(1)求证：nnnnnnCCC)2(3) 1(333133221(2)若443322104)32(xaxaxaxaax，求2312420)()(aaaaa的值分析： (1)注意观察nnnnnnxCxCxCx2211)1(的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明(2)注意到)()()(432102312420aaaaaaaaaa)(43210aaaaa，再用赋值法求之解： (1)在公式nnnnnnxCxCxCx2211)1(中令3x，即有nnnnnnCCC)3()3()3(1)31(2211nnnnCC3)1(331221等式得证(2)在展开式443322104)32(xaxaxaxaax中，令1x，得443210)32( xaaaaa；令1x，得443210)32(aaaaa原式)()(4321043210aaaaaaaaaa1)32()32(44说明： 注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，如nnnxaxaxaabxa2210)(或baCaCbannnnn110)(222baCnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载nnnbC中，对任意的Ax（Aba,）该式恒成立，那么对A中的特殊值，该工也一定成立特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强一般取1,1,0 x较多一般地，多项式)(xf的各项系数和为)1 (f，奇数项系数和为)1()1 (21ff，偶次项系数和为)1()1(21ff二项式系数的性质nnnnnnCCCC2210及15314202nnnnnnnCCCCCC的证明就是赋值法应用的范例例 21若Nn，求证明：3724332nn能被64整除分析： 考虑先将323n拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开解：3724332nn37243322nn3724931nn3724) 18(31nn37248888311112111101nCCCCCnnnnnnnnnn372418) 1(8883121111nnCCnnnnn3724)98(88883211121111nnCCCnnnnnnn3724)98(3888831132121112nnCCCnnnnnnn648886433212111nnnnnCC，18n，2118nnC，3218nnC，均为自然数，上式各项均为64的整数倍原式能被64整除说明： 用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷例 22已知nxx)3(232的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解： 令1x得展开式的各项系数之和为nn22)31 (，而展开式的二项式系数的和为nnnnnnCCCC2210，有992222nn5n(1)5n，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项62233225390)3()(xxxCT，32232232354270)3()(xxxCT(2)设展开式中第1r项的系数最大341052532513)3()(rrrrrrrxCxxCT，故有115511553333rrrrrrrrCCCC即.1351,613rrrr解得2927rNr，4r，即展开式中第5项的系数最大32642132455405)3()(xxxCT说明： 展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载例 23求证： (1) pnmmpnpmnpmnCCCCCCC0110；(2) 1144220242333nnnnnnnnCCCC(Kn2，*Nn) 分析： (1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路 (2)同上构造函数，赋值证明： (1)(法 1)nmnmxxx)1 ()1()1(，)1()1 ()1 (221221nnnnnmmmmmnmxCxCxCxCxCxCx此式左右两边展开式中Px的系数必相等左边Px的系数是pnmC，右边Px的系数是022110mpnpmnpmnpmnCCCCCCCC，pnmmpnpmnpmnpmnCCCCCCCCC022110等式成立(法 2)设想有下面一个问题：要从nm个不同元素中取出P个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有pnmC种不同取法第二种解法，可将nm个元素分成两组，第一组有m个元素，第二组有n个元素，则从nm个元素中取出P个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成1P类：从第一组取P个，第二组不取，有0npmCC种取法；从第一组取1P个，从第二组取1个，有11npmCC种取法，第一组不取， 从第二组取P个因此取法总数是pnmnpmnpmnpmCCCCCCCC022110而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有pnmmpnpmnpmnpmnCCCCCCCCC022110(2)n为偶数，nnnnnnnCCCC333)31 (2210；nnnnnnnCCCC333)31 (2210两式相加得)333(22444220nnnnnnnnCCCC，1144220242333nnnnnnnnCCCC说明： 构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
