2022年二次函数综合运用 .pdf
读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二 次 函 数 综 合 运 用第 1 课时【课前导读知识要点】二次函数2axy（a 0）的性质【课前自主练】1一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径R之间的函数关系式是 . 2 用 16 米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设长方形的长为x米，生物园的面积记y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为 . 3已知函数72)3(mxmy是二次函数，则m的值为 _4已知二次函数2axy，当x=3 时，y=-5 ，当x=-5 时，y的值为 _5当 k 为时，函数1) 1(2kkxky为二次函数 . 6 （1）抛物线212yx的对称轴是（或） ，顶点坐标是，除顶点外抛物线上其它的点都在x轴的方；当x时，y随x的增大而增大， 当x时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最值是；（2）抛物线212yx的对称轴是（或） ，顶点坐标是，除顶点外抛物线上其它的点都在x轴的方；当x时，y随x的增大而增大， 当x时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最值是 . 2axy(a0) a0 a 0 图象（草图）开口方向顶点坐标对称轴增减性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【新知讲授】例一、已知函数422mmxmy是关于x的二次函数 . （1）求满足条件的m的值；（2）当m为何值时，此函数的图象有最低点？并求出这个最低点的坐标，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3） 当m为何值时， 此函数值有最大值？最大值是多少？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？例二、如图，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD 中， AB CD ，AB=20 ， CD=30 ， ADC=45 对于抛物线部分，其顶点为CD的中点 O ，且过 A、B两点，开口终端的连线MN 平行且等于CD （1）如图，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系内，试求抛物线的函数解析式；（2）求此标志的高度（即MN 与 CD所在直线间的距离）. 例三、已知A、B为直线23yxb上的两点，它们的横坐标分别是3，-1 ，顶点在原点的抛物线经过A、B两点 . (1) 请求出直线与抛物线的解析式；(2)P 为 y 轴负半轴上一点，且PAB的内心恰好在 y 轴上，求P点的坐标 . 例四、如图，直线3y交抛物线2yax于 A 、B两点，交y 轴于点 C. CyBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思CyxOyxOMDCyxOBA根据下列条件，分别请求a的值（或取值范围）. （1） AOB=90 （ OAB 为等腰直角三角形） ；（2） AOB=60 （ OAB 为等边三角形） ；（3）与直线2yx没有公共点 . 例五、 如图， 二次函数2yax（0a）的图象与直线3y交于 A、B两点， 与 y 轴交于点 M ，以 AB为直径作 M交抛物线于另两点C、D，是否存在这样的实数a，使得MC MD ？若存在，请求实数a的值 . 例六、如图，抛物线的顶点为原点，直线142yx分别与该抛物线交于点A (8 ，8) ，与x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思轴交于点 C，与 y 轴交于点 B（1）求这个二次函数的解析式及B点坐标；（2）P为线段 AB上的一个动点（点P 与 A、B 不重合），过 P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，E为垂足 设线段 PD的长为h，点 P的横坐标为t ，求h与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，是否存在这样的t ，使得四边形OBPD 恰好是平行四边形？若存在请求 t 的值；若不存在，请说明理由. 例七、 问题情境 ：如图，在x轴上有两点(,0)A m,( ,0)B n（0nm）. 分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线2yx于点C、点D. 直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F, 点E、点F的纵坐标分别记为.Ey、Fy. 特例探究： 填空（直接写出你的答案，不需要证明）：当1m,2n时，.Ey=_,Fy=_；当3m,5n时，.Ey=_,Fy=_；归纳证明： 对任意m,n（0nm）, 猜想Ey与Fy的大小关系，并证明你的猜想；拓展应用： 若将“抛物线2yx”改为“抛物线2(0)yaxa”,其它条件不变，连接EF，当11amn时，请判断四边形ABEF 的形状，并给出你的理由例八、 如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=x2在第一象限上的一个点，连结 OA，过点 A 作 ABOA，交 y 轴于点 B，设点 A 的横坐标为n探究：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（1）当 n=1 时，点 B 的纵坐标是；（2）当 n=2 时，点 B 的纵坐标是；（3）点 B 的纵坐标是（用含 n 的代数式表示） 应用：如图，将OAB 绕着斜边 OB 的中点顺时针旋转180 , 得到 BCO（1）求点 C 的坐标（用含n 的代数式表示） ；（2）当点 A 在抛物线上运动时，点C 也随之运动当1n5 时，线段OC 扫过的图形的面积是例九、如图，在平面直角坐标系中，点P（ 0，m2） （m 0）在 y 轴正半轴上，过点P 作平行于 x 轴的 直线，分别交抛物线C1：214yx于点 A、B，交抛物线C2：219yx于点C、D.原点 O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA ，OB ，QC和 QD. y O x ACB（图）y O x AB（图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思猜想与证明、填表：由右表猜想：对任意m （ m 0）均有ABCD= ；请证明你的猜想. 探究与应用：（1）利用上面的结论，可得AOB与 CQD 面积比为；（2）当 AOB与 CQD 中有一个是等腰直角三角形时，求CQD 与 AOB面积之差；联想与拓展：如图，过点A作 y 轴的平行线交抛物线C2于点 E，过点 D作 y 轴的平行线交抛物线C1于点 F. 在 y 轴上任取一点M ，连接 MA 、ME 、MD和 MF ，则 MAE与 MDF面积的比值为 . 例十、孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)yaxa的性质时， 将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于 A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得2 2OAOB（如图 1） ，求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时，过B 作 BF xm 1 2 3 ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思轴于点 F，测得 OF=1 ，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标例十一、 （20XX年武汉市） 如图， 点 P是直线 l ：22xy上的点， 过点 P的另一条直线m交抛物线2xy于 A、B两点（1）若直线m的解析式为2321xy，求 A、B两点的坐标；（2）若点P的坐标为（2，t） ，当 PA=AB时，请直接写出点A的坐标；试证明：对于直线l 上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（3）设直线 l 交y轴于点 C ，若 AOB的外心在边AB上，且 BPC= OCP ，求点 P的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
