2022年高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结 .pdf

第 1 页 共 6 页第四章圆 与 方 程1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设 M（x,y）为 A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r 2、圆的方程（ 1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)M xy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外 ;当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内 ; （2）一般方程022FEyDxyx（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （0422FED）当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（ 1 ） 设 直 线0:CByAxl， 圆222:rbyaxC， 圆 心baC,到l的 距 离 为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；若求得两个相同的解，带入切线方程， 得到一条切线； 接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2， 圆 上 一 点 为 (x0，y0) ， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24 条外切1+23 条相交| 1-2| 1+22 条内切 | 1-2|1 条内含 | 1-2|0 条名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 6 页4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆 C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆 C2公共弦所在的直线方程； 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆 C2的公切线的方程； 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，得到的 切线长相等 （反之，亦成立）6、已知一直线与圆相交，求弦的长度代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标 ，利用 两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用 弦长公式： | | 21k?| 1- 2| （或者 | | 211k?|y1-y2| ）求解7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标 ；利用 两点间的距离公式求弦长代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B） ；公共弦直线方程与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用 弦长公式：| | 21k?| 1- 2| （或者 | | 211k?|y1-y2| ）求解几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）8、圆系与圆系方程(1) 圆系 :具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2) 圆系方程：（一） .圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程： x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 ( -1 ) - （）若圆C1与圆 C2交于 P1、P2点，那么，方程（）代表过P1、P2两点的圆的方程。若圆C1与圆 C2交于点（一个点） ，则方程（）代表与圆1 、圆2相切于点的圆的方程。（二） .直线： + +0 与圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0 相交或相切则过它们的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+ （ + +） 09、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 6 页ABCPPxy(4,1)(0,4)o轴对称例 1、已知点 A(4,1) ，B(0,4) ，在直线 L：y=3x-1 上找一点 P，求使 |PA|-|PB| 最大时 P的坐标。解：如图，设点C(x,y) 是点B 关于直线L 对称点，则由得：31BCk3lk，方程为：431xy，将其与直线y=3x-1 联立，直线 BC的解得： D27,23, 其中 D为 BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3 ） 。显然：|PA|-|PB| |PA|- |PC| |AC|, 当且仅当 A、C、P三点共线时，|PA|-|PB| 最大。可求得：直线 AC方程为：092yx，与 L 方程联立解得 P的坐标为（ 2,5 ） 。例 2、光线由点 C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1 上，已知其被直线L 反射后经过点 A(4,1) ，求反射光线方程。解：设点 B是点 C关于 L 的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。由例 1 知点 C关于 L 的对称点为 B （0,4 ） ，故直线 AB的方程易求得为：443xy。它即为反射光线方程。直线和圆1自点（ 3，3）发出的光线L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422yxyx相切，求光线 L 所在直线方程解：已知圆的标准方程是 (x 2)2(y 2)21， 它关于 x 轴的对称圆的方程是 (x 2)2(y 2)21。设光线 L 所在直线方程是： y3k(x 3)。由题设知对称圆的圆心C（2，2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2kkd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 6 页整 理 得,01225122kk解 得3443kk或 故 所 求 的 直 线 方 程 是)3(433xy，或)3(343xy， 即 3x4y30，或 4x3y302已知圆 C：044222yxyx，是否存在斜率为1 的直线 L，使以 L 被圆 C截得的弦 AB 为直径的圆过原点， 若存在求出直线 L 的方程，若不存在说明理由（14分）解：圆 C 化成标准方程为 :2223)2()1(yx假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M的坐标为（ a，b）由于 CML，kCMkL=1 kCM=112ab，即 a+b+1=0，得 b= a1 直线 L 的方程为 yb=x，即 xy+ba=0 CM=23ab以 AB 为直径的圆 M 过原点，OMMBMA2)3(92222abCMCBMB，222baOM2222)3(9baab把代入得0322aa，123aa或当25,23ba时此时直线 L 的方程为： xy4=0；当0, 1ba时此时直线 L 的方程为：xy+1=0 故这样的直线 L 是存在的，方程为 xy4=0 或 xy+1=04已知圆 C:252122yx及直线47112:mymxml.Rm（1）证明 :不论m取什么实数 ,直线l与圆 C 恒相交；（2）求直线l与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程解:(1)直线方程47112:mymxml,可以改写为0472yxyxm,所以直线必经过直线04072yxyx和的交点 .由方程组04,072yxyx解得1, 3yx即两直线的交点为 A)1 ,3(又因为点1 ,3A与圆心2, 1C的距离55d,所以该点在C内,故不论m取什么实数 ,直线l与圆 C 恒相交 . (2)连接AC,过A作AC的垂线 ,此时的直线与圆C相交于B、D.BD为直线被圆所截得的最短弦长 .此时,545252,5,5BDBCAC所以.即最短弦长为54. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 6 页又 直 线AC的 斜 率21ACk, 所 以 直 线BD的 斜 率 为2. 此 时 直 线 方 程为:.052,321yxxy即5（12 分）已知圆 x2+y2+x6y+m=0 和直线 x+2y3=0 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值解：由01220503206222myyyxmyxyx51242121myyyy又 OPOQ，x1x2+y1y2=0,而 x1x2=96(y1+y2)+4y1y2= 5274m05125274mm解得 m=3 6.已知圆 C：(x+4)2+y2=4 和点 A(-23，0)，圆 D 的圆心在 y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆 D 与 y 轴交于点 M、N. MAN 是否为定值？若为定值，求出MAN的弧度数；若不为定值，说明理由. 【解】设圆 D 的方程为),0()(222rrbyx那么).,0(),0(rbNrbM因为圆 D 与圆 C 外切, 所以.124162222rrbbr又直线NAMA,的斜率分别为.32,32rbkrbkMBMA.334341234323213232tan22MANrrrbrrbrbrbrbMAN为定值夹角问题例 5 (06 全国卷一文 ) 从圆012222yyxx外一点)2 ,3(P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) xyPQO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 6 页(A)21(B)53(C)23(D) 0 解已知圆化为1)1()1(22yx，即得圆心) 1 , 1(C和半径1r. 设由)2, 3(P向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径r和 PC 构成的直角三角形中，522cos，5312cos2cos2，故选 (B). 点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径r和 PC 所构成的直角三角形中求得2的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -