2022年高等数学重要知识点归纳 2.pdf

1 高等数学（上）重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质1、定义（以数列为例）, 0limNaxnn当Nn时，|axn2、性质(1) )()()(lim0 xAxfAxfxx，其中)(x为某一个无穷小。(2)( 保 号 性 ） 若0)(lim0Axfxx， 则,0当),(0 xUxo时 ，0)(xf。(3)* 无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式(1)1sinlim0(2)e)11 (lim2、两个准则(1) * 夹逼准则(2)单调有界准则3、*等价无穷小替换法常用替换：当0时（1)sin（2）tan（3）arcsin（4)arctan（5）)1ln(（6）1e（7）221cos1（8）nn11名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2 4、分子或分母有理化法5、 分解因式法6 用定积分定义三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、连续的定义 *)(xf在a点连续)()()()()(lim0lim0afafafafxfyaxx2、间断点的分类其他震荡型（来回波动）无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类3、曲线的渐近线* axxfAyAxfaxx则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim)2(,)(lim) 1(五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3 第二章 导数与微分一、导数的概念1、导数的定义 * axafxfxafxafxydxdyafyaxxxaxax)()(lim)()(limlim|)(|002、左右导数左导数axafxfxyafaxx)()(limlim)(0右导数axafxfxyafaxx)()(limlim)(03、导数的几何意义* kafaxfyax处的切线斜率在点（曲线)(,)(|4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)()()(tatvtstvtstss5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。可导二、导数的运算1、四则运算vuvu)(vuvuuv)(2)(vvuvuvu2、复合函数求导设)(xfy，一定条件下xuuydxdududydxdy3、反函数求导设)()(1yfxxfy和互为反函数，一定条件下：yxxy14、求导基本公式 * （要熟记）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4 5、隐函数求导 * 方法： 在0),(yxF两端同时对x求导， 其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y6、参 数 方 程确 定函 数 的 求导 *)()(tyytxx设， 一 定 条件 下3)()(,tttttttttxxttxxxyxyxxydxydyxydxdyy（可以不记）7、常用的高阶导数公式（1）.)2, 1 ,0(),2sin(sin)(nnxxn（2）.)2, 1 ,0(),2cos(cos)(nnxxn（3）.)12( ,)1()!1()1()1(ln1)(nxnxnnn（4）.)2, 1 , 0( ,)1 (!)1()11(1nxnxnnn（5）（莱布尼茨公式）nkkknknnvuCuv0)()()()(三、微分的概念与运算1、微分定义* 若)(xoxAy，则)(xfy可微，记AdxxAdy2、公式：dxxfxxfdy)()(3、可微与可导的关系* 两者等价4、近似计算当较小时，| xdyy，xxfxxfxf)()()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 5 第三章 导数的应用一、微分中值定理* 1、柯西中值定理 * )()()()()()(),0)(3),()()()2(,)()() 1(agbgafbfgfbaxgbaxgxfbaxgxf使得：（则：）（内可导在、上连续在、当取xxg)(时，定理演变成：2、拉格朗日中值定理*)()()()()()(),abfafbfabafbffba使得：（当加上条件)()(bfaf则演变成：3、罗尔定理 * 0)(),fba使得：（4、泰勒中值定理在一定条件下：)()(!)(.)()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn其中),)()()!1()()(010)1(nnnnxxoxxnfxR介于xx、0之间 . 当公式中 n=0 时，定理演变成拉格朗日定理. 当00 x时，公式变成 : 5、麦克劳林公式)(!)0(.)0()0()()(xRxnfxffxfnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 6 6、常用麦克劳林展开式（1）)(!1.! 212nnxxoxnxxe（2）)()!12()1(.! 5! 3sin212153nnnxoxnxxxx（3）)()!2() 1(.! 4! 21cos12242nnnxoxnxxx（4）)()1(.32)1ln(132nnnxoxnxxxx二、罗比达法则* 记住：法则仅能对,00型直接用， 对于,0,1 ,000转化后用 . 幂指函数恒等式*fggefln三、单调性判别* 1、,0yyyy02、单调区间分界点：驻点和不可导点. 四、 极值求法 *1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）. 2、求出可疑点后再加以判别. 3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小 . 4、第二判别法： 一阶导等于0，二阶导不为0 时，是极值点 .正为极小，负为极大. 五、闭区间最值求法* 找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 7 六、凹凸性与拐点* 1、,0yyyy02、拐点：曲线上凹凸分界点),(00yx. 横坐标0 x不外乎不存在或)(,0)(00 xfxf， 找到后再加以判别0 x附近的二阶导数是否变号. 七、曲率与曲率半径1、曲率公式232)1 (|yyK2、曲率半径KR1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 8 第四章 不定积分一、不定积分的概念* 若在区间I上，dxxfxdFxfxF)()(),()(亦，则称.)()(的原函数为xfxF称全体原函数F(x)+c 为 f(x)的不定积分，记为dxxf)(. 二、微分与积分的互逆关系1、dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(2、cxfxdfcxfdxxf)()()()(三、积分法 * 1、凑微分法 * 2、第二类换元法3、分部积分法 *duvuvudv4、常用的基本积分公式(要熟记 ). 第五章 定积分一、定积分的定义niiixbaxfdxxf10)(lim)(二、可积的必要条件有界 . 三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调 . 四、几何意义定积分等于面积的代数和. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 9 五、 主要性质 *1、可加性babcca2、估值在a,b上，baabMdxxfabm)()()(3、积分中值定理* 当 f(x)在a,b上连续时：babaabfdxxf,),)()(4、函数平均值：abdxxfba)(六、变上限积分函数* 1、)()()()(,)(xfdttfdttfxFbaxfxaxa可导，且连续，则在若2、)()()()(,)(xxfdttfxbaxfxa）（可导，则：连续，在若七、牛 -莱公式 * )()(|)()(,)(aFbFdxxfdxxfbaxfbbaa连续，则在若八、定积分的积分法* 1、换元法牢记：换元同时要换限2、分部积分法bababav d uuvudv|3、特殊积分（1）aaaxfdxxfxfdxxf0)(,)(2)(,0)(为偶函数时当为奇函数时当（2）当 f(x)为周期为 T 的周期函数时：Tn TaaZndxxfndxxf0,)()(（3）一定条件下 :00)(sin2)(sindxxfdxxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 10 （4）是正偶数时，！是正奇数时，nnnnnnxdxxdxnn2!)!1(!)!1(cossin2020（5）200sin2sinxdxxdxnn九、 反常积分 *1、无穷区间上)()(| )()(lim)(aFFxFdttfdxxfaaxax其他类似2、p 积分 ：apppadxx时发散时收敛11: )0(13、瑕积分：若a 为瑕点：则)()(| )()(lim)(aFbFxFdttfdxxfbababxax其他类似处理第六章定积分应用一、几何应用1、面积（1）dyxxAdxyyAbaba）（）（左右下上-（2）),( ,)()(:ttyytxxC则dttxtyA| )()(|（3）dC）（围成图形面积，（，与221A),(:2、体积 * （1）旋转体体积 *baxdxyV2dcydyxV2或baydxxyV2（2）截面面积为)(xAA的立体体积为badxxAV)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 11 3、弧长（1）)(12bxadxysba（2）)( ,)()(22tdttytxs（3）)( ,22ds二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素：,)(baxdxxFdw， 再积分badxxFw)(克服重力作功的功元素dw=体积g位移2、水压力dP=水深面积g第七章微分方程一、可分离变量的微分方程形式：)()(ygxfdxdy二、一阶线性微分方程*1、线性齐次：0)(yxpy通解公式 *：dxxpCey)(2、线性非齐次)()(xqyxpy通解公式 *：)()()(Cdxxqeeydxxpdxxp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -