2022年高考数学一轮复习教案：第六篇数列第讲数列的概念与简单表示法 .pdf

第 1 讲 数列的概念与简单表示法【20XX 年高考会这样考】1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与 an的关系求 an等【复习指导】1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证3熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用基础梳理1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类3.数列的表示法分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中 nN递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数 M，使|an|M摆动数列an的符号正负相间， 如 1，1,1，1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式5Sn与 an的关系已知 Sn，则 anS1，n1，SnSn1，n2.在数列 an中，若 an最大，则anan1，anan1.若 an最小，则anan1，anan1.一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现三种方法由递推式求通项 an的方法：(1)an1anf(n)型，采用叠加法；(2)an1anf(n)型，采用叠乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )已知数列 an的前 4 项分别为 2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列 an的通项公式的一项是 ( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - Aan1(1)n1Ban2sinn2Can1cos n Dan2，n为奇数0，n为偶数解析 根据数列的前 4 项验证答案 B 2在数列 an 中，a11，an2an11，则 a5的值为 ( )A30 B31 C32 D33 解析 a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131. 答案 B 3已知 an1an30，则数列 an是( )A递增数列B递减数列C常数列D不确定解析 an1an30， an1an30， an1an. 故数列 an 为递增数列答案 A 4设数列 an 的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为( )A15 B16 C49 D64 解析 由于 Snn2， a1S11. 当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1，又 a11 适合上式 an2n1， a828115. 答案 A 5(2012 泰州月考 )数列 1,1,2,3,5,8,13 ，x,34,55，中 x 的值为 _解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】?写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2)12，34，78，1516，3132，；(3)1，32，13，34，15，36，；(4)3,33,333,3 333 ，. 审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以an2n1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，所以 an2n12n. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n2 1nn. 也可写为 an1n，n为正奇数，3n，n为正偶数 .(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 9993，分母都是 3，而分子分别是 101,1021,1031，1041，所以 an13(10n1)根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分； (4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来【训练 1】 已知数列 an的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：an1 1n2；an1 1n2；ansin2n2；an1cos n2；an1 n为正偶数0 n为正奇数；an1 1n12(n1)(n2)其中可以作为数列 an的通项公式的有 _(填序号 )答案 考向二 由 an与 Sn的关系求通项 an名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【例 2】?已知数列 an的前 n 项和为 Sn3n1，则它的通项公式为an_. 审题视点 利用 anSnSn1(n2)求解解析 当 n2 时，anSnSn13n1(3n11)2 3n1；当 n1 时，a1S12 也满足an2 3n1. 故数列 an 的通项公式为 an2 3n1. 答案 2 3n1数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anS1，n1，SnSn1，n2.当 n1 时，a1若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a1若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示【训练 2】 已知数列 an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为 _解析 当 n1时，a1S13122112；当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当 n1 时，不满足上式故数列的通项公式为an2，n1，6n5，n2.答案 an2，n16n5，n2考向三 由数列的递推公式求通项【例 3】?根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2；(2)a11，ann1nan1(n2)；(3)已知数列 an 满足 an1an3n2，且 a12，求 an. 审题视点 (1)可用构造等比数列法求解 (2)可转化后利用累乘法求解 (3)可利用累加法求解解 (1)an13an2，an113(an1)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - an11an13，数列 an1 为等比数列，公比 q3，又 a112，an12 3n1，an2 3n11. (2) ann1nan1(n2)， an1n2n1an2， a212a1.以上 (n1)个式子相乘得ana11223 n1na1n1n. (3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2) (a2a1)a1n 3n12(n2)当 n1 时，a112(311)2 符合公式， an32n2n2. 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m 时，构造等差数列；当出现anxan1y 时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现anan1f(n)时，用累乘法求解【训练 3】 根据下列各个数列 an的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln 11n. 解 (1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以上(n1)个式子相加得ana13132 3n11332 3n13n12. (2)an1anln 11n，an1anln 11nlnn1n，anan1lnnn1，an1an2lnn1n2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - a2a1ln21，以上(n1)个式相加得，ana1lnnn1lnn1n2 ln21ln n又 a12，anln n2. 考向四 数列性质的应用【例 4】?已知数列 an 的通项 an(n1)1011n(nN)，试问该数列 an 有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由审题视点 作差： an1an，再分情况讨论解 an1an(n2)1011n1(n1)1011n1011n9n11. 当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an；故 a1a2a3 a9a10a11a12，所以数列中有最大项为第9,10 项(1)数列可以看作是一类特殊的函数， 因此要用函数的知识， 函数的思想方法来解决(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法【训练 4】 已知数列 an的前 n 项和 Snn224n(nN*)(1)求 an 的通项公式；(2)当 n 为何值时， Sn达到最大？最大值是多少？解 (1)n1 时，a1S123. n2 时，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.经验证， a123 符合 an2n25，an2n25(nN*)(2)法一 Snn224n，n12 时，Sn最大且 Sn144. 法二 an2n25，an2n250，有 n252.a120，a130，故 S12最大，最大值为 144. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 难点突破 13数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号【示例 1】? (2010 辽宁)已知数列 an满足 a133，an1an2n，则ann的最小值为 _【示例 2】? (2011浙江)若数列 n n423n中的最大项是第 k 项，则 k_. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -